2.2对数和对数函数练习题及答案

2．2对数与对数函数练习题

一、选择题：1．

3

log 9log 28的值是（ ）

A ．

3

2 B ．1

C ．

2

3

D ．2

2．若log 2)](log

[log

log )](log

[log

log )](log

[log 5

5

153

3

1322

1z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系

是（ ）

A ．z ＜x ＜y

B ．x ＜y ＜z

C ．y ＜z ＜x

D ．z ＜y ＜x

3．已知x =2+1,则lo g 4(x 3

－x －6)等于（ ）

A.2

3 B.

4

5 C.0 D.

2

1

4．已知lg2=a ，lg3=b ，则

15

lg 12lg 等于（ ）

A ．

b

a b a +++12 B ．

b

a b a +++12 C ．

b

a b a +-+12 D ．

b

a b a +-+12

5．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则y

x 的值为 ( ）

A ．1

B ．4

C ．1或4

D ．4 或

6.函数y =)12(log 2

1-x 的定义域为（ ）

A ．(

2

1，＋∞) B ．［1，＋∞) C ．(

2

1，1] D ．(－∞，1)

7．已知函数y =log 2

1 (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．a ＞ 1

B ．0≤a ＜ 1

C ．0＜a ＜1

D ．0≤a ≤1 8.已知f (e x

)=x ，则f (5)等于（ ）

A ．e 5

B ．5

e

C ．ln5

D ．log 5e

9．若1()log (01),(2)1,()a f x x a a f f x -=>≠<且且则的图像是（ ）

A B C D 10．若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-

上是增函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．[223,2]-

B ．)

223,2?-?

C ．(

223,2?-?

D ．()

223,2-

11．设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{2

2等于（ ）

A ．}1|{>x

x

B ．}0|{>x x

C ．}1|{-

D ．}

11|{>-

1ln

+∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）

A ．),0(,11+∞∈+-=

x e e y x

x

B ．)

,0(,11+∞∈-+=

x e e y x

x

C ．)0,(,1

1-∞∈+-=

x e e y x

x

D ．)0,(,1

1-∞∈-+=x e e y x x

二、填空题：

13．计算：log 2.56.25＋lg

100

1＋ln e ＋3log 122+= ．

14．函数y =log 4(x －1)2

(x ＜1)的反函数为 ．

15．已知m ＞1，试比较(lg m )0.9与(lg m )0.8的大小 ．

16．函数y =(log 4

1x )2－log 4

1x 2＋5 在 2≤x ≤4时的值域为 ．

三、解答题：

17．已知y =log a (2－ax )在区间[0，1]上是x 的减函数，求a 的取值范围．

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．

19．已知f(x)=x2＋(lg a＋2)x＋lg b，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？

20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．

21．已知函数f(x)=log a(a－a x)且a＞1，

（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

（3）证明函数图象关于y=x对称．

22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

2.2对数与对数函数参考答案

一、选择题： AABCB CDCBA AB 二、填空题：13.

2

13，14.y =1－2x (x ∈R )， 15. (lg m )0.9≤(lg m )0.8

，16.

84

25≤≤y

三、解答题：

17.解析：先求函数定义域：由2－ax ＞0，得ax ＜2

又a 是对数的底数，

∴a ＞0且a ≠1，∴x ＜

a

2

由递减区间[0，1]应在定义域内可得a

2＞1，∴a ＜2

又2－ax 在x ∈[0，1]是减函数

∴y =log a (2－ax )在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a ＞1 ∴1＜a ＜2

18、解：依题意(a 2－1)x 2

＋(a ＋1)x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立．

当a 2

－1≠0时，其充要条件是：

?????<--+=?>-0

)1(4)1(0

12

22a a a 解得a ＜－1或a ＞35 又a =－1，f (x )=0满足题意，a =1，不合题意． 所以a 的取值范围是：(－∞，－1]∪(

3

5，＋∞)

19、解析：由f (－1)=－2 ，得：f (－1)=1－(lg a ＋2)＋lg b =－2，解之lg a －lg b =1，

∴b

a =10，a =10

b ．

又由x ∈R ，f (x )≥2x 恒成立．知：x 2

＋(lg a ＋2)x ＋lg b ≥2x ，即x 2

＋x lg a ＋lg b ≥0，对x ∈R 恒

成立，

由Δ=lg 2a －4lg b ≤0，整理得(1＋lg b )2－4lg b ≤0 即(lg b －1)2≤0，只有lg b =1，不等式成立． 即b =10，∴a =100．

∴f (x )=x 2＋4x ＋1=(2＋x )2

－3 当x =－2时，f (x ) min =－3． 20.解法一：作差法

|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|

a

x lg )1lg(- |－|

a

x lg )1lg(+|=

|

lg |1a (|lg(1－x )|－|lg(1＋x )|)

∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＜1＋x ∴上式=－

|

lg |1a [(lg(1－x )＋lg(1＋x )]=－

|

lg |1a ·lg(1－x 2

)

由0＜x ＜1，得，lg(1－x 2

)＜0，∴－|

lg |1

a ·lg(1－x 2

)＞0，

∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|

解法二：作商法 |

)1(log ||)1(log |x x a a -+=|log (1－x )(1＋x )|

∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1＋x ，∴|log (1－x )(1＋x )|=－log (1－x )(1＋x )=log (1－x )x

+11

由0＜x ＜1，∴1＋x ＞1，0＜1－x 2＜1 ∴0＜(1－x )(1＋x )＜1，∴

x

+11＞1－x ＞0

∴0＜log (1－x ) x

+11＜log (1－x )(1－x )=1

∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|

解法三：平方后比较大小

∵log a 2(1－x )－log a 2(1＋x )=[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )] =log a (1－x 2)·log a

x

x +-11=

|

lg

|12

a ·lg(1－x 2)·lg

x

x +-11

∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2

＜1，0＜

x

x +-11＜1

∴lg(1－x 2)＜0，lg

x

x +-11＜0

∴log a 2

(1－x )＞log a 2

(1＋x )，即|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 解法四：分类讨论去掉绝对值

当a ＞1时，|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=－log a (1－x )－log a (1＋x )=－log a (1－x 2) ∵0＜1－x ＜1＜1＋x ，∴0＜1－x 2＜1 ∴log a (1－x 2)＜0，∴－log a (1－x 2)＞0

当0＜a ＜1时，由0＜x ＜1，则有log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0 ∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|=|log a (1－x )＋log a (1＋x )|=log a (1－x 2)＞0 ∴当a ＞0且a ≠1时，总有|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

(2)设1＞x 2＞x 1

∵a ＞1，∴1

2

x x a a >，于是a －2

x a ＜a －1

x a

则log a (a －a 2

x a )＜log a (a －1

x a )

即f (x 2)＜f (x 1)

∴f (x )在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y =log a (a －a x )(x ＜1)，则a －a x =a y ，x =log a (a －a y

) ∴f －1(x )=log a (a －a x )(x ＜1)

故f (x )的反函数是其自身，得函数f (x )=log a (a －a x )(x ＜1＝图象关于y =x 对称． 22.

解析：根据已知条件，A 、B 、C 三点坐标分别为(a ，log 2a )，(a ＋1，log 2(a ＋1))，(a ＋2，log 2(a ＋2))，则△ABC 的面积

S=

)]2(log [log

2

)]

2(log )1([log 2

)]

1(log [log

22

2222

++-++++

++a a a a a a

2

2

2

)]2([)

1)(2(log

21+++=

a a a a a )

2()

1(log

2

12

2

++=

a a a

a

a a a 21

2log

2

12

2

2

+++=)211(log 2

12

2a

a ++

=

因为1≥a ,所以3

4

log

2

1)311(log 2

12

2max =

+

=S