GRACE卫星非差简化动力学定轨研究
GRACE 卫星非差简化动力学定轨研究
益鹏举①②，赵春梅①，郑作亚
②
（①中国测绘科学研究院 大地测量与地球动力学研究所，北京 100830；②山东科技大学 测绘科学
与工程学院，山东 青岛 266510）
【摘 要】本文基于卫星精密定轨的基本理论，研究了GRACE 卫星非差简化动力学定轨的方法；并用自行研制的定轨软件CASMORD 对实测的星载GPS 数据进行非差数据的简化动力学定轨，通过比较GRACE 卫星解算的轨道与JPL 事后轨道及SLR 测距信息，结果表明：利用非差观测值进行GRACE 卫星的简化动力学定轨，三维位置精度（3D-RMS ）优于7cm ，X 、Y 、Z 方向RMS 约为3~5cm ，从而论证了该方法的可行性、实用性。
【关键词】非差；GRACE 卫星；简化动力学定轨；星载GPS
【中图分类号】P228 【文献标识码】A 【文章编号】1009-2307（2011）03- - GRACE reduced-dynamic orbit determination using zero-difference data
Astract: Based on the basic theory of Precise Orbit Determination, the method of the reduced-dynamic orbit determination using zero-difference data onboard GPS observations was researched in this paper. The orbit of GRACE satellite was determined by the autonomic software CASMORD. Compared GRACE orbiting results of reduced-dynam i c m et hod’s solutions with JPL ’s PSO and SLR measurement, the results showed that the 3D-RMS was better than 7 cm and the direction of X ,Y ,Z was about 3~5 cm, to demonstrate the feasibility and practicability of this method.
Key words: zero difference ；GRACE satellite ；reduced-dynamic orbit determination ；onboard GPS YI Peng-ju ①②, ZHAO Chun-mei ①, ZHENG Zuo-ya ②(①Institute of Geodesy and Geodynamics, Chinese Academy of Surveying and Mapping, Beijing 100830, China; ②Geomatics College, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266510, China)
1 引言
随着低轨卫星在国民经济、军事、科研等方面的广泛应用，各国发射的低轨卫星越来越多，这些卫星身负着不同的科学任务，为各国的经济发展及科研事业做出了贡献。为了保障不同种类的低轨卫星完成相应的科学任务，卫星的精密定轨便成为卫星顺利完成其任务的重要前提之一。相对传统的SLR 动力学定轨精度差及纯几何法定轨受观测值品质，卫星观测几何图形等的影响比较大，并且得到的轨道是一组离散的点，轨道外推精度差等原因，1992年，美国和法国联合研制TOPEX/POSEIDON （T/P ）卫星，采用星载GPS 定轨的新方法，该方法由Yunck 等科学家于1986年提出，对TOPEX/POSEIDON （T/P ）卫星的定轨精度，已达厘米级。由此，采用星载GPS 定轨便成为众多低轨卫星定轨的新手段。星载GPS 定轨按观测方程的不同组合分为非差、单差、双差，按是否考虑摄动力及与摄动力模型的关系可分为动力学定轨、几何法定轨、简化动力学定轨。本文采用非差简化动力学定轨的方法，以GRACE 卫星为例，分析研究了GRACE 卫星的精密定轨。
本文主要探讨利用GRACE 卫星星载GPS 观测值及GPS 精密星历及钟差，采用星载GPS 定轨中的非差简化动力学定轨方法进行GRACE 卫星的定轨。该方法采用非差定轨，利用星载GPS 观测数据，以无电离层线性组合的相位观测值作为观测量对GRACE 卫星进行简化动力学定轨，并将GRACE 卫星解算的结果与JPL 发布的事后轨道（PSO ）及SLR 高精度测距信息进行比较，结果表明：该方法能够充分吸收GPS 几何法定轨和动力学法定轨的优点，同时顾及低轨卫星的动力学状态信息以及几何信息，通过两者权信息的适当调整，以此达到改善定轨精度的目的。从而论证了该定轨方法及解算方案的可行性、实用性。
2 观测模型
2.1 基本观测方程
LEO 卫星与GPS 卫星（G ）之间的相位观测和伪距观测基本方程分别为[1,2]：
,.G G G L i L L
ion i i P c t c t e ρδδδρ=+???++ （1） ,,,,,G
G G G G L i L L ion i rel pco i pco i i L i i L c t c t N ρδδδρδρδρδρλε=+????++++?+ （2）
DOI ：CNKI:11-4415/P.20101130.1621.046 网络出版时间：2010-11-30 16:21
网络出版地址：https://www.360docs.net/doc/5012971763.html,/kcms/detail/11.4415.p.20101130.1621.046.html
式中，i 表示两个频率1L 和2L ；,G L i L 为相位非差观测值；,G L i P 为伪距观测值（伪距）
；G L ρ为站星间几何距离；c 为真空中光速；L t δ为低轨卫星钟差改正；G t δ为GPS 卫星钟差改正；i ion ,δρ为电
离层延迟；rel δρ为相对论改正；i pco ,δρ为相位中心改正；i λ为GPS 信号波长（1L 或2L ）；,G L i N 为
非差整周模糊度；i ε为相位噪声（1L 或2L ）；i e 为伪距噪声。
由于GRACE 卫星的轨道高度约485km ，而对流层在40km 以下，所以，星载GPS 接收机不受对流层延迟的影响。另外，多路径效应也由于经过对天线高度的精心设计而大大削弱，因此，上述方程没有考虑这种影响。
2.2 无电离层LC 组合 为了消除电离层的影响，进行无电离层LC 组合[3]。
码和相位观测的无电离层LC 组合为：
2212,3
,1,222221212G G G L L L f f P P P f f f f =??? （3） 2212,3,1,222221212
G
G G L L L f f L L L f f f f =??? （4） 由式（3）、（4）得码和相位观测方程为：
码观测方程为：
,3,33G G G L L L P c t c t e ρδδ=+???+ （5）
相位观测方程为：
,3,3,3,33G
G G G G L L L pco pco L L c t c t B ρδδδρδρε=+???++++ （6）
式中： 2212,3,1,222221212
pco pco pco f f f f f f δρδρδρ=??? 2212,3,1,222221212
G G G pco pco pco f f f f f f δρδρδρ=??? (),31,12,22212G G G L L L c B f N f N f f =
???? 在非差简化动力学定轨方法中，如果高精度的GPS 卫星轨道和卫星钟是可靠的，则非差简化动力学精密定轨是一个有效的定轨方法，它不涉及繁杂的地面IGS 站并且动力学模型是简化的。由于精密星历和钟差是事后得到的，IGS 提供的精密星历和钟差约为13天，CODE 提供的约为5-11天。因此，在无法获得实时GPS 精密星历和钟差的情况下，对LEO 的定轨都为事后处理。本文即为基于IGS 精密卫星星历及钟差的事后LEO 定轨。
3 简化动力学模型
对于遵循牛顿第二定律、在轨运行的低轨卫星来说，除受到地球的中心引力外，还受到各种各样力的作用，在这些力当中，地球的中心引力是主要的，它规定着卫星运行的总体轨迹，而其它力
在总体轨道不变的情况下，对卫星起着次要的摄动作用。中心引力与摄动力共同规定着低轨卫星的运行轨迹。
总体上可将作用于LEO 卫星的力分为：除二体中心引力以外的保守力与非保守力，事实上，中心引力亦为保守力，在这里只不过把作用于LEO 主要的力与次要的力分开，便于问题的分析、说明。
在惯性系中，低轨卫星的运动方程为[4-6]： NG G TB f f f r ΓΓΓ##Γ++= (7) 其中，r ##Γ为卫星的加速度，等式右边为作用于卫星单位质量上的力。TB f Γ为地球对卫星的二体中心引力；G f Γ，NG f Γ分别为除中心引力外的保守力和非保守力。并且 RL TD NS NB G f f f f f ΓΓΓΓΓ+++= TH AL DG SR NG f f f f f ΓΓΓΓΓ+++= 式中：NB f Γ为N 体摄动力；NS f Γ为地球非球形部分对卫星的力；TD f Γ为地球潮汐与自转形变对卫星的摄动力；RL f Γ为相对论效应对卫星的压力；SR f Γ为太阳辐射对卫星造成的压力；DG f Γ为大气阻力摄动；AL f Γ为地球红外辐射和地球反射太阳光压摄动；TH f Γ为作用在卫星上的其他力，如姿态控制力等。
对于上述方程，一般来说，很复杂，除二体问题外尚无法得到严格的解析解，只有在某些近似的假设下方可得到近似的解析解，对于轨道精度要求要求不太高的卫星，一阶近似解很有效，对于轨道精度要求较高的卫星，解析解难以获得。由此，可将运动方程用数值积分的方法表示为：
?????==+=0
0000)(,)(),,,()(r t r r t r t r r F r F r #Γ#ΓΓΓ#ΓΓΓΓΓ##Γεε （8） 式中，0F Γ是地球中心引力；εF Γ是各种摄动力；0
000)(,)(r t r r t r #Γ#ΓΓΓ==为初始条件。 对于低轨卫星来说，上述SLR 动力学定轨随轨道高度降低轨道精度急剧下降的限制。采用简化的动力学模型，并通过估计载体速度随机噪声，用与时间有关的随机脉冲参数来吸收卫星动力学模型的误差。由于随机速度脉冲参数并不是每个历元都估计，而是每隔一段时间估计一次，因此把这种速度脉冲称伪随机脉冲（Pesudo stochastic pulses ）。
简化动力学法与完全动力学方法的差异就在于使用较少的力学模型，在定轨中，一般在某些方向上按一定的间隔设置伪随机脉冲参数，具体为在径向、切向和法向按一定的时间间隔各预置一组随机脉冲用来吸收力学模型误差。对于引入的随机参数，特点在于给予一个期望值及先验权。
其公式为[7]：
202a a
w δδ= （9） 0δ代表先验的单位权，对于给予的先验方差2a δ，以此来决定a w 。此先验权将制约想要求解的参数，使欲求解的参数值不会偏离期望值太远。
最后根据无电离层LC 组合，再搭配简化动力学模型，采用最小二乘估计的方法得到卫星的三维位置与速度。
4 算例分析
本文采用GRACE A/B 卫星2006年6月1~20日20天的星载GPS 观测数据[8]以及GPS 精密星历与卫星钟差，以非差简化动力学定轨的方法进行GRACE A/B 卫星的精密定轨，并与JPL 的事后轨道（PSO ）以及SLR 测距信息进行比较，进而分析非差简化动力学的定轨精度。
非差简化动力学定轨中所使用的模型、参数如表1。
表1 非差简化动力学定轨中所用到的模型及参数
模型/参数说明备注
地球重力场模型GGM02C
行星星历表DE405
固体潮Anelastic
海潮CSR4.0
轨道参数 6
辐射压参数9
伪随机参数 3 RTN方向每10-15min一组
LEO 钟差每历元估算一个非差参数
大气阻力摄动无
4.1 与JPL事后轨道（PSO）的比较
以非差简化动力学定轨的方法进行GRACE A/B卫星的精密定轨，定轨结果与JPL事后轨道（PSO）进行了对比分析[9]，GRACE A/B的残差图分别为：图1、图2。图中，横坐标为年积日，纵坐标分别为X、Y、Z三个方向上的偏差。
图1 GRACE A卫星解算的轨道与JPL（PSO）轨道的较差
图2 GRACE B卫星解算的轨道与JPL（PSO）轨道的较差
从上述的残差统计及图示可以得出：残差大部分在10cm以内，变化范围约为-25cm~20cm，并无明显的系统偏差，三轴RMS为3~5cm左右，定轨精度大约为7cm。
4.2 与SLR的比较
由于SLR的高精度测距信息可达1cm，甚至达到更高的水平，因此可以用SLR的高精度测距信息对解算的卫星轨道进行检验[10]，以此来判断解算的轨道精度。
本文采用2006年6月1~20日20天采样为5s的CDDIS标准点数据，并对该数据进行处理，对潮汐、测站偏心、大气折射、相对论效应、卫星质心等进行改正，采用改正后的观测数据进行检校。与SLR比较的较差如图3所示。
图3 GRACE A卫星站星距与SLR测距信息的较差
图4 GRACE B 卫星站星距与SLR测距信息的较差
从上述的SLR残差图示可以看出：残差大部分在10cm以内，无明显的系统偏差，比较的结果与JPL的事后轨道（PSO）也是相符的。
5 结束语
GRACE A/B非差简化动力学定轨方法解算的轨道与JPL的事后轨道及SLR高精度测距信息的比较表明：解算的非差简化动力学轨道无明显系统误差，定轨精度大约为7cm，可满足低轨卫星科学任务的需求。
简化动力学模型仅考虑重力场模型、日月引力、固体潮和相对论效应等力学模型，而不考虑大气阻力等非保守力的影响，实践证明：通过设置相应的随机脉冲参数可有效地吸收力学模型误差的影响。
参考文献
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作者简介：益鹏举（1983-），男，河南舞阳人，硕士研究生，从事星载GPS低轨卫星精密定轨方面的研究。
E-mail：yipengju@https://www.360docs.net/doc/5012971763.html,
收稿日期：2009-11-18
基金项目：国家高技术研究发展计划（2009AA12Z318）；国家测绘局资源三号卫星项目
第三章 瞬态动力学分析
§3.1瞬态动力学分析的定义 瞬态动力学分析（亦称时间历程分析）是用于确定承受任意的随时间变化载荷结构的动力学响应的一种方法。可以用瞬态动力学分析确定结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的随时间变化的位移、应变、应力及力。载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要。如果惯性力和阻尼作用不重要，就可以用静力学分析代替瞬态分析。 瞬态动力学的基本运动方程是： 其中： [M] =质量矩阵 [C] =阻尼矩阵 [K] =刚度矩阵 {}=节点加速度向量 {}=节点速度向量 {u} =节点位移向量 在任意给定的时间，这些方程可看作是一系列考虑了惯性力（[M]{}）和 阻尼力（[C]{}）的静力学平衡方程。ANSYS程序使用Newmark时间积分方法在离散的时间点上求解这些方程。两个连续时间点间的时间增量称为积分时间步长（integration time step）。 §3.2学习瞬态动力学的预备工作 瞬态动力学分析比静力学分析更复杂，因为按“工程”时间计算，瞬态动力学分析通常要占用更多的计算机资源和更多的人力。可以先做一些预备工作以理解问题的物理意义，从而节省大量资源。例如，可以做以下预备工作：
1.首先分析一个较简单模型。创建梁、质量体和弹簧组成的模型，以最小的代价深入的理解动力学认识，简单模型更有利于全面了解所有的动力学响应所需要的。 2.如果分析包括非线性特性，建议首先利用静力学分析掌握非线性特性对结构响应的影响规律。在某些场合，动力学分析中是没必要包括非线性特性的。 3.掌握结构动力学特性。通过做模态分析计算结构的固有频率和振型，了解这些模态被激活时结构的响应状态。同时，固有频率对计算正确的积分时间步长十分有用。 4.对于非线性问题，考虑将模型的线性部分子结构化以降低分析代价。<<高级技术分指南>>中将讲述子结构。 §3.3三种求解方法 瞬态动力学分析可采用三种方法：完全（Full）法、缩减（Reduced）法及模态叠加法。ANSYS/Professional产品中只允许用模态叠加法。在研究如何实现这些方法之前，让我们先探讨一下各种方法的优点和缺点。 §3.3.1完全法 完全法采用完整的系统矩阵计算瞬态响应（没有矩阵缩减）。它是三种方法中功能最强的，允许包括各类非线性特性（塑性、大变形、大应变等）。 注─如果并不想包括任何非线性，应当考虑使用另外两种方法中的一种。这是因为完全法是三种方法中开销最大的一种。 完全法的优点是： ·容易使用，不必关心选择主自由度或振型。 ·允许各种类型的非线性特性。 ·采用完整矩阵，不涉及质量矩阵近似。 ·在一次分析就能得到所有的位移和应力。 ·允许施加所有类型的载荷：节点力、外加的（非零）位移（不建议采用）和单元载荷（压力和温度），还允许通过TABLE数组参数指定表边界条件。 ·允许在实体模型上施加的载荷。 完全法的主要缺点是它比其它方法开销大。
齿轮机械传动动力学研究文献综述完整版
基于齿轮传动的机械动力学研究文献综述 摘要：本文结合相关文献对机械动力学中齿轮传动动力学部分的研究进行了综述。综合文献对齿轮传动动力学研究现状和发展趋势有了整体把握。 关键词：动力学；齿轮传动；综述； The Literature Review of Mechanical Dynamics based on gear transmission Abstract：In this paper, the studies of mechanical dynamics of gear transmission were reviewed. On the whole, we grasp the studies status and development trend of gear transmission. Keywords: Dynamics；Gear transmission；Review 1.前言 随着机械向高效、高速、精密、多功能方向发展，对传动机械的功能和性能的要求也越来越高，机械的工作性能、使用寿命、能源消耗、振动噪声等在很大程度上取决于传动系统的性能。因此必须重视对传动系统的研究。机械系统中的传动主要分为机械传动、流体传动(液压传动、液力传动、气压传动、液体粘性传动和高等优点机械传动的形式也有多种，如各种齿轮传动、带(链)传动、摩擦传动等。 齿轮传动是机械传动中的主要形式之一。在机械传动中占有主导地位。由于它具有速比范围大、功率范围广、结构紧凑可靠等优点，已广泛应用于各种机械设备和仪器仪表中。成为现有机械产品中所占比重最大的一种传动。齿轮从发明到现在经历了无数次更新换代，主要向高速、重载、平稳性、体积小、低噪等方向发展。 2. 齿轮动力学的发展概述 齿轮的发展要追溯到公元前，迄今已有3000年的历史。虽然自古代人们就使用了齿轮传动，但由于动力限制了机器的速度。因此齿轮传动的研究迟迟未发展到动力学研究的阶段。 第一次工业革命推动了机器速度的提高，Euler提出的渐开线齿廓被广泛运用，这属于从齿轮机构的几何设计角度来适应速度的提高。
简明常用血流动力学参数意义对照表
简明常用血流动力学参数意义对照表 1. LSI 左心搏指数 2. RSI 右心搏指数 3. LCI 左心排指数 4. RCI 右心排指数 以上四个指数代表心脏的功能指数，其中左心排指数最重要，等同于心脏指数（CI），一般来说，CI<1.5=预后极差；1.5—2.0= 心源性休克；2.0—2.2=前向性心功能不全。 5. CWT 心脏总功率：反映心脏的负荷，一般运动时，功率会增大，如果正常情况总功率偏大，则代表心脏负荷偏大；偏小则视情况而定，有身体强健者，心脏功率不必很大，但器质性偏小，则有可能造成供血不足，头晕眼花等等。 6. LWE 左心室有效功率 7. LTPF 左心室总泵力 8. LWT 左心室功率 9. LEWK 左心室机械效率 10. JP 左心室喷血压力：该指数与血压有关，如果该指数偏大，则需要小心高血压了。 11. VP 左心室有效泵力 12. EF 喷血分数：非常重要的指标，EF值长期偏小，则有很大可能性是心衰。 13. AWK 动脉机械效率 14. EPE 射流压力 15. LCRI 左室等容指数 16. RCRI 右室等容指数 15/16两个参数代表心脏的容血量，其意义不如有效循环容量重要。 17. LVDV 左室舒张末血量 18. LVDP 左室舒末期压力 19. CR 左室喷血阻抗 20. PDM 平均舒张压：高血压的判断指标之一 21. PSM 平均收缩压：高血压的判断指标之一 22. PPM 平均脉压：高血压的判断指标之一 23. MAP 平均动脉压：高血压的判断指标之一 24. HR 心率 25. CVPS 中心静脉收缩压 26. CVPM 中心静脉平均压：非常重要的指标 严重升高：1.静脉充盈过量（循环超负荷） 2.静脉充血（心脏压塞、PEEP
第一章 非线性动力学分析方法
第一章非线性动力学分析方法（6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念； 2、掌握线性稳定性的分析方法； 3、掌握奇点的分类及判别条件； 4、理解结构稳定性及分支现象； 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法； 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程
本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。 1.1相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ???=λ ),,,(2122 n X X X f dt dX ???=λ (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如:)cos(t A x x ω=+
ANSYS动力学分析
第5章动力学分析 结构动力学研究的是结构在随时间变化载荷下的响应问题，它与静力分析的主要区别是动力分析需要考虑惯性力以及运动阻力的影响。动力分析主要包括以下5个部分：模态分析：用于计算结构的固有频率和模态。 谐波分析（谐响应分析）：用于确定结构在随时间正弦变化的载荷作用下的响应。 瞬态动力分析：用于计算结构在随时间任意变化的载荷作用下的响应，并且可涉及上述提到的静力分析中所有的非线性性质。 谱分析：是模态分析的应用拓广，用于计算由于响应谱或PSD输入（随机振动）引起的应力和应变。 显式动力分析：ANSYS/LS-DYNA可用于计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 本章重点介绍前三种。 【本章重点】 ?区分各种动力学问题； ?各种动力学问题ANSYS分析步骤与特点。 5.1 动力学分析的过程与步骤 模态分析与谐波分析两者密切相关，求解简谐力作用下的响应时要用到结构的模态和振型。瞬态动力分析可以通过施加载荷步模拟各种何载，进而求解结构响应。三者具体分析过程与步骤有明显区别。 5.1.1 模态分析 1.模态分析应用 用模态分析可以确定一个结构的固有频率利振型，固有频率和振型是承受动态载荷结构设计中的重要参数。如果要进行模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析，固有频率和振型也是必要的。可以对有预应力的结构进行模态分析，例如旋转的涡轮叶片。另一个有用的分析功能是循环对称结构模态分析，该功能允许通过仅对循环对称结构的一部分进行建模，而分析产生整个结构的振型。 ANSYS产品家族的模态分析是线性分析，任何非线性特性，如塑性和接触(间隙)单元，即使定义也将被忽略。可选的模态提取方法有6种，即Block Lanczos(默认)、Subspace、Power Dynamics、Reduced、Unsymmetric、Damped及QR Damped，后两种方法允许结构中包含阻尼。 2.模态分析的步骤
动力学方法及应用
【巩固练习】 一、选择题 1、如图所示，一物块在光滑的水平面上受一恒力F 的作用而运动，其正前方固定一个足够 长的轻质弹簧，当物块与弹簧接触后，则（ ） A.物块立即做减速运动 B.物块在开始的一段时间内仍做加速运动 C.当弹簧的弹力等于恒力F 时，物块静止 D.当弹簧处于最大压缩量时，物块的加速度不为零 2、如图（a ）所示，质量m =1kg 的物体置于倾角θ=37°的固定粗糙斜面上。t =0时对物体 施以平行于斜面向上的拉力F ，t =1s 时撤去拉力，斜面足够长，物体运动的部分v t 图如 图（b ）所示，则下列说法中正确的是（ ） A ．拉力的大小为20N B ．t =3s 时物体运动到最高点 C ．t =4s 时物体的速度大小为10m/s D ．t =1s 时物体的机械能最大 3、如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动。对于半径R 不同的圆形轨道，小球m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力。下列说法中正确的是 （ ） A ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大 B ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小 C ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大 D ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 4、如图所示，竖直平面内有一足够长的金属导轨，金属导体棒ab 可在导轨上无摩擦地上下滑动，且导体棒ab 与金属导轨接触良好，ab 电阻为R ，其它电阻不计。导体棒ab 由静止开始下落，过一段时间后闭合电键S ，发现导体棒ab 立刻作变速运动，则在以后导体棒ab 的运动过程中，下列说法中不正确的是 （ ） A ．导体棒ab 作变速运动期间加速度一定减小 B ．单位时间内克服安培力做的功全部转化为电能，电能又转化为电热 C ．导体棒减少的机械能转化为闭合电路中的电能和电热之和，符合 能的转化和守恒定律
齿轮动力学
（一） 直齿圆柱齿轮传动的扭转振动模型 若忽略传动轴的扭转变形，只考虑齿轮副处的变形，则得到最简单的扭转振动模型，如图1所示。其中r b1、r b2为主从动齿轮的基圆直径，k v 为齿轮副的综合啮合刚度，并且考虑齿轮副的啮合阻尼系数c v 以及齿廓误差e 的作用，主动轮上作用与转动方向相同的驱动力矩T 1，从动轮上作用与转动方向相反的阻力矩T 2 图1 齿轮副的扭转振动模型 啮合线上的综合变形δi 可写为： 1122i b b i r r e δθθ=-- (1) 设重合度小于2，啮合齿对为i ，法向啮合力可以表示为： ()()() 11221122i vi i vi i vi b b i vi b b i i i i F F k c k r r e c r r e δδθθθθ??==+=--+--??∑∑∑&&&& (2) 式中：i 为参与啮合的齿对序号，i =1,2；k vi 、c vi 为齿对i 在啮合点位置的综合啮合刚度和阻尼系数。 主、从动齿轮的力矩平衡方程为： 12111222 b b J T r F J T r F θθ=-=-&&&& (3) 将(2)带入(1)中得到： ()() ()() 111112211221222112211222 b vi b b i vi b b i i b vi b b i vi b b i i J r k r r e c r r e T J r k r r e c r r e T θθθθθθθθθθ??+--+--=????---+--=-??∑∑&&&&&&&&&& (4)
由此式可看出，即使主动齿轮转速以及传动载荷恒定，由于时变综合刚度k v 的变化，也会使从动轮的转动出现波动，即造成齿轮的圆周振动。为了方便讨论时变综合刚度k v 对振动方程(4)的影响，定义啮合线上两齿轮的相对位移x 为： 1122b b x r r θθ=- (5) 不考虑齿轮传动的效率，齿轮的静态啮合力为： 12 01 2 b b T T F r r = = (6) 将式(5)、(6)带入方程(4)中，则可将其简化为一元微分方程： e v v d m x c x k x F ++=&&& (7) 式中，m e 称为系统的当量质量： 12 22 2112 e b b J J m J r J r = + (8) 激振力为： 0d vi i vi i i i F F c e k e =++∑∑& (9) 根据方程(9)可以将一对齿轮的振动视为单自由度系统的振动，如图2所示。可以看出时变综合刚度k v 和齿廓误差e i 都是随时间变化的量，也即是齿轮系统的刚度激励和误差激励。 图2 齿轮传动的单自由度模型 与方程(7)对应的系统的固有频率可以表示为： n f = = (10) （二） 直齿圆柱齿轮副啮合耦合型振动分析 在不考虑齿面摩擦的情况下，典型的直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型如图4所示。
ansys动力学分析全套讲解
第一章模态分析 §模态分析的定义及其应用 模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性（固有频率和振型），即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。 ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。 ANSYS产品家族中的模态分析是一个线性分析。任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使定义了也将被忽略。ANSYS提供了七种模态提取方法，它们分别是子空间法、分块Lanczos法、PowerDynamics法、缩减法、非对称法、阻尼法和QR阻尼法。阻尼法和QR阻尼法允许在结构中存在阻尼。后面将详细介绍模态提取方法。 §模态分析中用到的命令 模态分析使用所有其它分析类型相同的命令来建模和进行分析。同样，无论进行何种类型的分析，均可从用户图形界面（GUI）上选择等效于命令的菜单选项来建模和求解问题。 后面的“模态分析实例（命令流或批处理方式）”将给出进行该实例模态分析时要输入的命令（手工或以批处理方式运行ANSYS时）。而“模态分析实例（GUI方式）” 则给出了以从ANSYS GUI中选择菜单选项方式进行同一实例分析的步骤。（要想了解如何使用命令和GUI选项建模，请参阅<
(2009)血流动力学参数集合
Sang-Wook Lee Biomedical Simulation Laboratory, University of Toronto, 5King’s College Road Toronto, Toronto,ON M5S3G8Canada; School of Mechanical and Automotive Engineering, University of Ulsan, Ulsan680-749,South Korea Luca Antiga Department of Bioengineering, Mario Negri Institute for Pharmacological Research, 24020Ranica(BG),Italy David A.Steinman1 Biomedical Simulation Laboratory, University of Toronto, 5King’s College Road Toronto, Toronto,ON M5S3G8Canada e-mail:steinman@mie.utoronto.ca Correlations Among Indicators of Disturbed Flow at the Normal Carotid Bifurcation A variety of hemodynamic wall parameters(HWP)has been proposed over the years to quantify hemodynamic disturbances as potential predictors or indicators of vascular wall dysfunction.The aim of this study was to determine whether some of these might,for practical purposes,be considered redundant.Image-based computational?uid dynamics simulations were carried out for N?50normal carotid bifurcations reconstructed from magnetic resonance imaging.Pairwise Spearman correlation analysis was performed for HWP quantifying wall shear stress magnitudes,spatial and temporal gradients,and harmonic contents.These were based on the spatial distributions of each HWP and, harmonic(DH)parameter were found to depend on how the wall shear stress magnitude was de?ned in the presence of?ow reversals.Many of the proposed HWP were found to provide essentially the same information about disturbed?ow at the normal carotid bifurcation.RRT is recommended as a robust single metric of low and oscillating shear. On the other hand,gradient-based HWP may be of limited utility in light of possible redundancies with other HWP,and practical challenges in their measurement.Further investigations are encouraged before these?ndings should be extrapolated to other vas-cular territories. ?DOI:10.1115/1.3127252? Keywords:wall shear stress,atherosclerosis,hemodynamic wall parameter,carotid bifurcation 1Introduction There is much evidence suggesting that initiation and progres-sion of atherosclerotic disease is in?uenced by“disturbed?ow”?1?.Notwithstanding the imprecise nature of this term?2?,various metrics have been proposed over the years to quantify?ow dis-turbances.Originally focused on the magnitudes of wall shear stress?WSS??3,4?these hemodynamic wall parameters?HWP?have since incorporated spatial and temporal gradients of WSS ?5–8?and,more recently,the harmonic content of time-varying WSS waveforms?2,9?. In a recent computational?uid dynamics?CFD?study of the relationship between geometry and disturbed?ow at the carotid bifurcations of young adults?10?,we noted that our?ndings were relatively insensitive to the choice of either time-averaged wall shear stress magnitude?TAWSS?or oscillatory shear index?OSI?as metrics of disturbed?ow.This was found to be explained by a strong and signi?cant inverse correlation between these two quan-tities.Such correlations among HWP are not unexpected,as rec-ognized early by Friedman and Deters?11?;however,they have been little-investigated in light of the growth in the number and complexity of candidate HWP. With this in mind,the objective of the present study was to use a representative sample of normal carotid bifurcation geometries to comprehensively test for correlations among established and recently-proposed HWP.Especially in the context of large-scale studies of so-called geometric and hemodynamic risk factors in atherosclerosis,we aimed to determine whether a subset of HWP, or even a single HWP,might serve as a suf?ciently robust marker of disturbed?ow. 2Materials and Methods 2.1Computational Fluid Dynamics.N=50anatomically re-alistic carotid bifurcation geometries were digitally reconstructed from black blood magnetic resonance imaging?MRI?of25osten- sibly healthy young adults,as described previously?12?.CFD simulations were carried out using a well-validated in-house ?nite-element-based CFD solver?13–15?.Quadratic tetrahedral- element meshes were generated by a commercial mesh generator ?ICEM-CFD;ANSYS,Berkeley,CA?using a nominally uniform node spacing of0.2mm,previously shown to be suf?cient for resolving wall shear stresses to within10%accuracy?16?.Rigid walls and Newtonian rheology were assumed.Pulsatile?ow boundary conditions were prescribed based on representative waveform shapes and allometrically-scaled inlet and outlet?ow rates.Further details of the CFD simulations are provided else- where?10?. For each tetrahedral element the vector WSS,?w,was calcu-lated as the projection of the stress tensor onto the element’s sur-face at each node,using the element’s quadratic shape functions. As nodes are connected to multiple elements,contributions to each nodal?w were averaged together.From these time-varying nodal WSS vectors,a variety of HWP were computed,as summa-rized in Table1,and detailed below. 1Corresponding author. Contributed by the Bioengineering Division of ASME for publication in the J OUR-NAL OF B IOMECHANICAL E NGINEERING.Manuscript received August12,2008;?nal manuscript received January1,2009;published online May11,2009.Review con-ducted by Fumihiko Kajiya.Paper presented at the2008Summer Bioengineering Conference?SBC2008?,Marco Island,FL,June25–29,2008.
动力学分析方法
1 动力学分析方法 结构动力学的研究方法可分为分析方法（结构动力分析）和试验方法（结构动力试验）两大类。[7-10] 分析方法的主要任务是建模（modeling），建模的过程是对问题的去粗取精、去伪存真的过程。在结构动力学中，着重研究力学模型（物理模型）和数学模型。建模方法很多，一般可分为正问题建模方法和反问题建模方法。正问题建模方法所建立的模型称为分析模型（或机理模型）。因为在正问题中，对所研究的结构（系统）有足够的了解，这种系统成为白箱系统。我们可以把一个实际系统分为若干个元素或元件（element），对每个元素或元件直接应用力学原理建立方程（如平衡方程、本构方程、汉密尔顿原理等），再考虑几何约束条件综合建立系统的数学模型。如果所取的元素是一无限小的单元，则建立的是连续模型；如果是有限的单元或元件，则建立的是离散模型。这是传统的建模方法，也称为理论建模方法。反问题建模方法适用于对系统了解（称黑箱系统——black box system）或不完全了解（称灰箱系统——grey box system）的情况，它必须对系统进行动力学实验，利用系统的输入（载荷）和输出（响应——response）数据，然后根据一定的准则建立系统的数学模型，这种方法称为试验建模方法，所建立的模型称为统计模型。 在动力平衡方程中，为了方便起见一般将惯性力一项隔离出来，单独列出，因此通常表达式为： +P M (2) u I - = 其中M为质量矩阵，通常是一个不随时间改变的产量；I和P是与位移和速度有关的向量，而与对时间的更高阶导数无关。因此系统是一个关于时间二级导数的平衡系统，而阻尼和耗能的影响将在I和P中体现。可以定义： + = (3) I Ku C u 如果其中的刚度矩阵K和阻尼矩阵C为常数，系统的求解将是一个线性的问题；否则将需要求解非线性系统。可见线性动力问题的前提是假设I是与节点位移和速度是线性相关的。 将公式(2)代入(1)中，则有 (4) + M= + u P Ku C u
药代动力学参数
药代动力学参数 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
一、吸收 溶出度：药物分子在消化道中溶解的程度 生物利用度：药物吸收的程度 绝对生物利用度 最大血药浓度(Cmax) 达峰时间(Tmax) 二、分布 由于体内环境的非均一性（血液、组织），导致药物浓度变化的速度不同。 隔室(compartment)：同一隔室药物浓度的变化速度相同，均相。 一室模型：药物进入血液迅速分布全身，并不断被清除。 二室模型: 药物进入体内后，首先快速分布于组织中，然后进入较慢的消除过程。 表观分布体积(Vd)(aparent volume of distribution)：表征药物在体内被组织摄取的能力。表观容积大的药物体内存留时间较长。 药物浓度-时间曲线下面积(AUC）；系统药物暴露（Systemic Exposure） 血脑屏障；蛋白结合率；分布半衰期（t 1/2(α) 三、消除 消除(elimination)：原药在体内消失的过程。包括肾（尿）或胆汁（粪）或呼吸排泄及代谢转化的总和。
消除速率常数（elimination constants）：反映药物在体内消失的快慢。不完全反映药物的作用时间（代谢物也有活性）。 半寿期或半衰期（t1/2）：药物浓度或药量降低50%所需的时间。消除半衰期t1/2(β)）Terminal Half-life ，Elimination Half-life。 清除率（clearance，廓清率）或肾清除率（renal clearance）：反映药物或代谢物经肾被排出体外的速度。 一方面是药物对机体的作用，产生药效、毒性或副作用，表现为药物的药理作用或毒理作用，决定于特定的化学结构，具有较强的结构特异性。 另一方面是机体对药物的作用：吸收、分布，生物转化和排泄，表现为药物的药代动力学性质。主要取决于药物的溶解性、脂水分配系数、电荷等药物分子整体的理化性质，结构特异性不强。 药物的吸收是药物由给药部位通过生物膜进入血液循环的过程。 吸收部位 消化道（口服给药，口腔、胃、小肠、大肠）、呼吸道（鼻腔给药，肺）、肌肉（）、粘膜（栓剂）。 吸收部位不同，药物被吸收的程度和快慢，有差异（静注、肌注；皮下给药，口服。） 共性：药物是通过生物膜吸收的。 吸收过程 扩散
齿轮动力学国内外研究现状
1.2.1 齿轮系统动力学研究 从齿轮动力学的研究发展来看，先后进行了基于解析方法的非线性齿轮动力学研究、基于数值方法的齿轮非线性动力学研究、基于实验方法的齿轮系统的非线性动力学研究和考虑齿面摩擦及齿轮故障的齿轮系统的非线性动力学研究。其中，解析方法包括谐波平衡法、分段技术法和增量谐波平衡法等；数值方法则不胜枚举，包括Ritz法、Parametric Continuation Technique方法等。[1]齿轮系统间隙非线性动力学的研究起始于1967年K.Nakamura的研究。[2]在1987年，H. Nevzat ?zgüven等人对齿轮系统动力学的数学建模方法进行了详细的总结。他分别从简化的动力学因子模型、轮齿柔性模型、齿轮动力学模型、扭转振动模型等几个方面分类，详细总述了齿轮动力学的发展进程。[3]1990年，A. Kaharman等人分析了一对含间隙直齿轮副的非线性动态特性，考虑了啮合刚度、齿侧间隙和静态传递误差等内部激励的影响，考察了啮合刚度与齿侧间隙对动力学的共同影响。[4] 1997年，Kaharaman和Blankenship对具有时变啮合刚度、齿侧间隙和外部激励的齿轮系统进行了实验研究，利用时域图、频域图、相位图和彭家莱曲线等揭示了齿轮系统的各种非线性现象。[5]同年，M. Amabili和A. Rivola研究了低重合度单自由度的直齿轮系统的稳态响应及其系统的稳定性。 [6]2004年，A. Al-shyyab等人用集中质量参数法建立了含齿侧间隙的直齿齿轮副的非线性动力学模型，利用谐波平衡阀求解了方程组的稳态响应，并研究了啮合刚度、啮合阻尼、静态力矩和啮合频率对齿轮系统振动的影响。[7]2008年，Lassaad Walha等人建立了两级齿轮系统的非线性动力学模型，考虑了时变刚度、齿侧间隙和轴承刚度对动力学的影响。对非线性系统分段线性化并用Newmark迭代法进行求解，研究了齿轮脱啮造成的齿轮运动的不连续性。[8]2010年，T. Osman 和Ph. Velex在齿轮轻微磨损的情况下，建立了动力学模型，通过数值模拟揭示了齿轮磨损的非对称性。[9]2011年，Marcello Faggioni等人通过分析直齿轮的非线性动力学特性及其响应，建立了以齿轮振动幅值的目标函数，利用Random–Simplex优化算法优化了齿廓形状。[10]2013年，Omar D. Mohammed等人对时变啮合刚度的齿轮系统动力学进行了研究，对于裂纹过长所带来的有限元误差问题，提出了一种新的时变啮合刚度模型。通过时域方面的故障诊断数据和FEM结果对比，证明了新模型能够更好地解长裂纹问题。[11] 国内研究齿轮系统动力学也进行了大量的研究。2001年，李润芳等人建立了具有误差激励和时变刚度激励的齿轮系统非线性微分方程，利用有限元法求得齿轮的时变啮合刚度和啮合冲击力，研究了齿轮系统在激励作用下的动态响应。 [12]2006年，杨绍普等人研究了考虑时变刚度、齿轮侧隙、啮合阻尼和静态传递误差影响下的直齿轮副的非线性动力学特性，利用增量谐波平衡法对系统方程进行了求解，研究了系统的分岔特性以及阻尼比和外激励大小对系统幅频曲线的影响。[13]2010年，刘国华等人建立了考虑齿轮轴的弹性、齿侧间隙、油膜挤压刚度和时变啮合刚度等因素的多体弹性非线性动力学模型，研究了齿廓修形和轴的扭转刚度对动力学特性的影响。[14] 2013年，王晓笋，巫世晶等人建立了含有非线性齿侧间隙、内部误差激励和含磨损故障的时变啮合刚度的三自由度齿轮传动系统平移—扭转耦合动力学方程。采用变步长Gill积分、GRAM—SCHMIDT方法，得到了系统对应的分岔图和李雅普诺夫指数谱，研究发现了系统内部丰富的非线性现象，而系统进入混沌运动的途径也是多样的。[15]
知识讲解 动力学方法及应用
高考冲刺：动力学方法及应用 编稿：xx 审稿：xx 【高考展望】 本专题主要讨论利用动力学方法分析解决物理问题的方法。动力学问题是高中物理的主干和重点知识，动力学方法是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法，也是历年高考热点。历年高考试卷中的综合问题往往与动力学知识有关，并且往往把动力学知识与非匀变速直线运动、圆周运动、平抛运动、电场、磁场、电磁感应等知识点综合起来，这类问题过程多样复杂，信息容量大，综合程度高，难度大。 牛顿运动定律、运动学知识是本专题知识的重点。在对本专题知识的复习中，应在物理过程和物理情景分析的基础上，分析清楚物体的受力情况、运动情况，恰当地选取研究对象和研究过程，准确地选用适用的物理规律。 【知识升华】 “动力学方法”简介：从“力与运动的关系”角度来研究运动状态和运动过程的学习研究方法。物体所受的合外力决定物体运动的性质。物体所受的合外力是否为零，决定物体的运动是匀速运动（或静止）还是变速运动；物体所受的合外力是否恒定，决定物体的运动是匀变速运动还是非匀变速运动；物体所受合外力的方向与物体运动方向的关系决定物体的运动轨迹是直线还是曲线。 解决动力学问题，要对物体进行受力分析，进行力的分解和合成；要对物体运动过程进行分析，然后根据牛顿第二定律，把物体受的力和运动联系起来，列方程求解。 【方法点拨】 常用的解题方法：整体法和隔离法；正交分解法；合成法。 考点一、整体法和隔离法 整体法和隔离法通常用于处理连接体问题。 要点诠释：作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。 考点二、正交分解法 当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题。 要点诠释：多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，x F ma =（沿加速度方向）0y F =(垂直于加速度方向），特别要注意在垂直于加速度方向根据合力为零的特点正确求出支持力。特殊情况下也可以分解加速度。 考点三、合成法（也叫平行四边形定则、三角形定则） 要点诠释：若物体只受两个力作用而产生加速度时，这时二力不平衡，根据牛顿第二定律可知，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单（匀速圆周运动都属于这类问题）。 【典型例题】 类型一、匀变速直线运动 用动力学方法解决匀变速直线运动问题时，主要根据牛顿运动定律，往往结合运动学知识和动能定理（动能定理是根据牛顿第二定律推导出来的，导出的公式、定理等很多时候用起来要简单得多）
高考冲刺动力学方法及应用
高考冲刺：动力学方法及应用 编稿：李传安 审稿：张金虎 【高考展望】 本专题主要讨论利用动力学方法分析解决物理问题的方法。动力学问题是高中物理的主干和重点知识，动力学方法是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法，也是历年高考热点。历年高考试卷中的综合问题往往与动力学知识有关，并且往往把动力学知识与非匀变速直线运动、圆周运动、平抛运动、电场、磁场、电磁感应等知识点综合起来，这类问题过程多样复杂，信息容量大，综合程度高，难度大。 牛顿运动定律、运动学知识是本专题知识的重点。在对本专题知识的复习中，应在物理过程和物理情景分析的基础上，分析清楚物体的受力情况、运动情况，恰当地选取研究对象和研究过程，准确地选用适用的物理规律。 【知识升华】 “动力学方法”简介：从“力与运动的关系”角度来研究运动状态和运动过程的学习研究方法。物体所受的合外力决定物体运动的性质。物体所受的合外力是否为零，决定物体的运动是匀速运动（或静止）还是变速运动；物体所受的合外力是否恒定，决定物体的运动是匀变速运动还是非匀变速运动；物体所受合外力的方向与物体运动方向的关系决定物体的运动轨迹是直线还是曲线。 解决动力学问题，要对物体进行受力分析，进行力的分解和合成；要对物体运动过程进行分析，然后根据牛顿第二定律，把物体受的力和运动联系起来，列方程求解。 【方法点拨】 常用的解题方法：整体法和隔离法；正交分解法；合成法。 考点一、整体法和隔离法 整体法和隔离法通常用于处理连接体问题。 要点诠释：作为连接体的整体，一般都是运动整体的加速度相同，可以由整体求解出加速度，然后应用于隔离后的每一部分；或者由隔离后的部分求解出加速度然后应用于整体。处理连接体问题的关键是整体法与隔离法的配合使用。隔离法和整体法是互相依存、互相补充的，两种方法互相配合交替使用，常能更有效地解决有关连接体问题。 考点二、正交分解法 当物体受到两个以上的力作用而产生加速度时，常用正交分解法解题。 要点诠释：多数情况下是把力正交分解在加速度方向和垂直加速度方向上，x F ma =（沿加速度方向）0y F =(垂直于加速度方向），特别要注意在垂直于加速度方向根据合力为零的特点正确求出支持力。特殊情况下也可以分解加速度。 考点三、合成法（也叫平行四边形定则、三角形定则） 要点诠释：若物体只受两个力作用而产生加速度时，这时二力不平衡，根据牛顿第二定律可知，利用平行四边形法则求出的两个力的合外力方向就是加速度方向。特别是两个力相互垂直或相等时，应用力的合成法比较简单（匀速圆周运动都属于这类问题）。 【典型例题】 类型一、匀变速直线运动 用动力学方法解决匀变速直线运动问题时，主要根据牛顿运动定律，往往结合运动学知识和动能定理（动能定理是根据牛顿第二定律推导出来的，导出的公式、定理等很多时候用起来要简单得多）