2015初一希望杯复赛题目、答案、解析、详解

2015年初一希望杯第二试

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一、选择题（每小题4分，共40分）

1.请你想好一个数。将该数与2015之和乘以4，减去12，再将其差除以4，然后减去你想好

的那个数，最后的结果等于（）

(A) 0(B) 2008(C) 2012(D)2015

【答案】C【难度】☆☆

【卓越解析】[(x+2015)×4?12]÷4?x=x+2015?3?x=2012

2.若a+2015=0，则a?2015的值是（）

(A) ?4030(B) ?2015(C) 0(D)2015

【答案】A【难度】☆☆

【卓越解析】a+2015=0,则a=?2015，a?2015=?2015?2015=?4030.

3.如图1，MA//BN//CP，若BA=BC，∠MAC=50°，∠NBC=150°，则∠ABC=（）

(A) 60°(B) 150°(C) 140°(D) 130°

【卓越解析】C【难度】☆☆

【详解】因为∠MAC=50°，所以∠ACP=50°；因为∠NBC=150°，

所以∠BCP=180°?150°=30°，∠BCA=20°。又因为BA=BC，则

∠BCA=∠ACB=20°，∠ABC=180°?20°?20°=140°。

4.卓越教育（红光中学）初一年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为

45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47。则三个班的总人数为（）

(A) 68(B) 70(C) 72(D)74

【答案】B【难度】☆☆☆

【卓越解析】45+48+47=三个班总人数的两倍；三个班的总人数为70。

5.As shown in the Fig.2，Points A, B and C on the number axis represent non-

zero rational number a, b, and c respectively .If |a|+|a+b|+|b?c|=?c, then the point represent 0is（）

(A) on the right side of A(B) on the left side of C

(C) between B and C(D) between B and A

【答案】D【难度】☆☆☆

【翻译】如图2，数轴上的点A, B，C代表非零数字a, b和c，如果|a|+|a+b|+|b?c|=?c，则代表0的点位于（）

(A) A点的右边(B) C点的左边

(C) B ,C之间(D) B ,A之间

【卓越解析】?c >0，。b ?c >0，a +b <0，a >0。

6. 如图3，正方形ABCD 由四个相同的小长方形和一个小正方形EFGH 组成。若一个小长方

形的周长和小正方形的周长相等，则正方形ABCD 和正方形EFGH 的

面积比是（ ）

(A ) 2:1 (B ) 3:1 (C ) 4:1 (D )9:4 【答案】 C 【难度】☆☆☆ 【卓越解析】因为一个小长方形的周长和小正方形的周长相等，即AB =2FG , 则正方形ABCD 和正方形EFGH 的面积比是4:1。

7. 甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A 站到B 站（卓越教育精英数理化），甲要用30分

钟，乙要用40分钟。如果乙比甲早出发5分钟去B 站，则甲追上乙时，是甲出发后的第（ ） (A ) 12分钟 (B ) 13分钟 (C ) 14分钟 (D ) 15分钟

【答案】 D

【难度】☆☆

【卓越解析】此题为追击问题。两站的距离为单位1，甲乙速度分别为1

30

，1

40

；乙先走的一段距离为1

40×5，则追击时间为1

40×5÷(1

30?1

40)=15分钟。

8. 如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，若S △ABE =2，S △ECF =7，S △ADF =8，则△AEF 的面积为（ ）

(A ) 15 (B ) 14 (C ) 13 (D ) 12 【答案】 A 【难度】☆☆☆ 【卓越解析】此题为图形面积计算题。设矩形的长、宽分别为x 和y 。

9. 小明、小红、小华、小彬四人中的一人书包里有苹果。老师问：谁的书包里有苹果？四

人回答如下：

小明：苹果不在我这里； 小红：苹果在小彬哪里； 小华：苹果在小红那里； 小彬：苹果不在我这里。 若其中只有一人说了假话，则书包里有苹果的是（ ） (A ) 小明 (B ) 小红

(C ) 小华

(D ) 小彬

【答案】 B

【难度】☆☆

【卓越解析】此题为常见的逻辑题目。假定一人说了假话，其余人均说真话进行推导即可。

10. 若a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 是1到6这六个自然数的一个排序，则|a 1?a 2|+|a 2?a 3|+

|a 3?a 4|+|a 4?a 5|+|a 5?a 6|+|a 6?a 1|的最大值是（ ）卓越教育精英数理化

(A ) 14 (B ) 16 (C ) 18 (D ) 20 【答案】 C

【难度】☆☆☆☆

【卓越解析】此题为技巧性较强。要最终值最大，则相邻两数之间的差值要大，则一定有排序“1 ,6 ,2 ”,进一步逆推可得3,5 ,1 ,6 ,2 ,4 。

二、填空题（每小题4分）

11．已知a

b =19，则

a 2+ab+

b 2a 2?b 2

=___________.

【答案】17120

【难度】☆☆

【卓越解析】由a b

=19得a =19b ，代入原式=

(19b)2+19b?b+b 2

(19b )2?b 2

=1

7120

12．In the Fig.5，the value of y is ________. 【答案】20 【难度】☆☆

【卓越解析】利用三角形内角和定理以及外角定理列方程组求解可得

13．(31×33×35×37×39×311×313×315)×(1

3)59的值为__________. 【答案】243 【难度】☆☆ 【卓越解析】利用指数运算律以及等差数列求和公式

14．如图6，ABCD 为矩形，E 、F 、M 、N 是AB 的五等分点，G 、H 、P 、Q 是DC 的五等分点，其中AE =1

2AD =1cm . 那么图中所有直角梯形面积的和为_________cm 2.

【答案】100 【难度】☆☆☆

【卓越解析】以AB 边为上底寻找所有直角梯形，并求出面积和，2倍即为所求。

15．若一个四位数与4的乘积是这个四位数的反序数（如1234的反序数是4321），则这个四位数是_________.

【答案】2178 【难度】☆☆☆

【卓越解析】假设这个四位数为abcd ???????，则abcd ???????×4=dcba

??????? 分析可知a =1或2，由4d 末尾数字不可能为1，因此a =2，此时d =8

所以2bc8???????×4=8cb2???????，得390b ?60c +30=0，b 只能取1，则c =7

16．如图7，△ABC 中，AB >AC >BC ，分别延长CA ，AB ，BC 到点A′，B′，C′，连接A′B′，

B′C′，A′C′. 若∠ABC =∠A′B′C′，∠ABC =∠A′C′B′，则除这两对相等的角外，图中还有_______对相等的角.

【答案】4 【难度】☆☆☆

【卓越解析】利用三角形外角等于不相邻两内角之和定理以及等量代换。

17．某人在早晨6时至7时的某时刻开始晨练，7时至8时的某时刻结束晨练，结果发现晨练结束时与晨练开始时，手表的时针与分针恰好交换位置. 这个人共晨练________分钟. 【答案】555

13 【难度】☆☆☆

【卓越解析】设共晨练x 分钟，时针运动速度为0.5°/分钟，分针运动速度为6°/分钟，分针时针交换位置，可知分针时针一共走了360°，于是6x +0.5x =360，解得x =555

13

18．如图8，在四边形ABCD 中，S △ABC =15，S △BCD =27，S △ACD =30，AC 与BD 交于点O ，

则S △OAB = ___________.

【答案】6 【难度】☆☆☆

【卓越解析】设S △OAB =x ，依题意不难将各个小三角形面积均用含x 的表达式表示出来。由三角形面积之比可列方程x

15?x =18?x

x+12，解得x =6

19．有一列数1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，则第2015个数被12除，得到的余数是_________. 【答案】1 【难度】☆☆☆☆ 【卓越解析】从第一个数起余数分别为

1，1，2，3，5，8，1，9，10，7，5，0，5，5，10，3，1，4，5，9，2，11，1，0，1，1，2，3，可知周期T =24，2015÷24=83—23，所以第2015个数的余数为1

20．如图9，点P 在线段MN 上. 以MP 为直径画圆A ，以PN 为直径画圆B ，以MN 为直径画圆C . 已知MP =m 厘米，PN =n 厘米. 若nm =12，则阴影部分的面积为________平方厘米.（圆周率用π表示）卓越教育精英数理化

【答案】6π 【难度】☆☆☆ 【卓越解析】S 阴

=

π(m+n

2)2

?π(m 2)2

?π(n 2)2

=π

mn 2=6π

三、解答题

21．（本题满分10分）

设有2015个数：a 1，a 2，a 3，…，a 2014，a 2015，其中a i （i =1,2,…,2015）取值只能是?1，0，1中的一个. 已知a 1+a 2+a 3+?+a 2014+a 2015=70，且(a 1+1)2+(a 2+1)2+?+(a 2014+1)2+(a 2015+1)2=4001，求a 1，a 2，a 3，…，a 2014，a 2015中取值为1的、取值为0的以及取值为?1的各有多少个？

【答案】958个1，169个0，888个?1 【难度】☆☆☆☆

【卓越解析】设1，0，?1的个数分别为x ，y ，z ，则有{x +y +z =2015x ?z =704x +y =4001，解得{x =958

y =169z =888

22．（本题满分15分）

求证：若正数a 不能被2和3整除，则a 2+23必能被24整除. 【难度】☆☆☆☆

【卓越解析】a 不能被2整除，即a 为奇数，于是可改写为a =2k +1（k 为整数） 则a 2+23=(2k +1)2+23=4k 2+4k +24=4k (k +1)+24， 由于k 和k +1为连续整数，必有一个偶数，因此4k (k +1)必为8的倍数 所以a 2+23一定能被8整除；

同理，a 不能被3整除，则a =3m +1或3m +2（m 为整数） 则a 2+23=(3m +1)2+23=9m 2+6m +24， 或a 2+23=(3m +2)2+23=9m 2+12m +27 以上均满足a 2+23能被3整除；

因为(8，3)=1，所以a 2+23一定能被24整除

23．（本题满分15分）

如图10，在△ABC 中，点D 、E 在BC 上，且BD =EC =1

5

BC ，F 在AC 上，且AF =2

3

AC . BF 和

AD 、AE 分别交于点G 、H ，若△ABC 的面积为1155，求

（1）AH

HE 的值； （2）四边形GHED 的面积的值.

【答案】

AH HE

=52

，S GHED =243 【难度】☆☆☆☆

【卓越解析】（1）连接EF ，根据题目条件不难求出各个小三角形的面积，而

AH HE

=

S △ABF S △BEF

（2）连接EG ，设S △DEG =a ，S △EGH =b ，则S △AGH =52

b

列得方程组{43

a +

b =264a +72

b =693，解得{a =63 b =180，所以S GHED =a +b =243 （卓越教育精英数理化）