东北育才双语学校2014届高三第三次模拟考试(文科卷)

东北育才双语学校2014届高三第三次模拟考试

数学试题（文科）

满分：150 时间：120分钟 命题及校对：王海涛

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1．全集{}0,1,2,3=U ，{}2=U C A ，则集合A = A ．}3,1,0{ B ．}3,1{ C ．}3,0{ D ．}2{ 2.命题“20,10x R x ax ?∈++<使”的否定是

A ．20,10x R x ax ?∈++>使

B ．20,10x R x ax ?∈++≥使

C ．2,10x R x ax ?∈++>成立

D ．2,10x R x ax ?∈++≥成立 3.已知复数z 满足34(1)i i i z +?-=?（为虚数单位），则z 的虚部为 A ．5i -

B ．5-

C ．5i

D ．5

4.若直线()2360t x y -++=不经过第二象限，则t 的取值范围是

A ．(

23, +∞) B ．[2

3

, +∞) C ．(－∞, 23] D ．(－∞, 2

3

)

5.将正方体截去两个三棱锥，得到如图所示几何体，

则该几何体的左视图（沿向量AB

方向）为

6.已知变量x y ，满足约束条件1031010x y x y x y +-≤??

-+≥??--≤?

，若z mx y =+仅在点()1,0处取得最大值，

则实数m 的取值范围是

A ．()1,+∞

B ．()1,-+∞

C ．(),1-∞

D ．(),1-∞-

7.设,l m 为两条不同的直线，α为一个平面， α//m ，则“m l ⊥”是“α⊥l ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8.若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是 111

12≥ab 1

1?

乙

甲

C 1

A 1

C 1

A 1

B

9.函数()sin ()f x x x x =-∈R 的部分图像可能是

A B C D

10.已知()y f x =是奇函数，当()0,2x ∈时，()ln f x x ax =-；当()2,0x ∈-时，

()y f x =的最小值为1，则实数a 的值为

A. 14

B. 13

C. 1

2

D. 1

11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，

则过棱1AA 和BC 的中点P 、Q 的直线被球面截得的弦MN 的长为 A

．．3 D

12.定义：设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''. 若在区间(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()y f x =在区间(),a b 上为“凸函数”. 若函数()32

1162

g x x mx x =

-+在区间()1,2-是“凸函数”，则函数()g x 在区间()1,2-上 A.有极大值，也有极小值； B.有极大值，没有极小值； C.没有极大值，也没有极小值； D.有极大值，还有最小值.

二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题纸的相应位置.) 13.两条平行线012=++y x 和0142=-+y x 间的距离是 ．

14.已知函数()||f x x x a =-，若对任意的12,[2,)x x ∈+∞且12x x ≠， 1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 15.如右图，已知单位圆上点P 43,55??

-

???

，∠POQ=60°， 始边在x 轴非负半轴的角α的终边与射线OQ 重合， 则cos α= .

16.

见右图，将甲图中边长为

2

2

的正方形铁皮， 适当剪下圆O 和扇形A -EPF ，使得它们恰好构成 乙图中圆锥的底面和侧面，则所得圆锥的体积

为 .

三、解答题：(本大题共6个小题满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.)

17．（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）令b n =

2

1

1

n a -(*n ∈N )，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18. （本小题满分12分） 如图，在直．

三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =1，

12AC AA BC ==，点M 是A 1B 的中点，

点N 是B 1C 的中点，连接MN . （1）证明：MN ⊥平面ABB 1A 1；

（2）若点P 是CC 1的中点，求四面体B 1-APB 的体积.

19. （本小题满分12分）

已知函数2

()2cos

cos()23

x

f x x ωπ

ω=++()0ω>的最小正周期为π. (1)求实数ω的值，并求使得关于x 的方程()f x m =在区间20,

3π??

????

上有解的实数m 的取值范围； (2)在锐角．．ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若1

(),32

f A c =-=,ABC ?

的面积为求角A 的值和边a 的值.

20. （本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=AD=1，点E 、F 、G 分别是各自所在棱的中点. （1）在棱A 1D 1所在的直线上是否存在一点P ，使得PE 与平面B 1FG 平行？

若存在，确定点P 的位置，并证明；否则说明理由. （2）求点B 1到平面EFG 的距离.

1

C

乙甲

?

D

A

C

P P

C 1

B B

21. （本小题满分12分） 已知函数ln ()1,(),a x

f x

g x x x

=-=且函数()(1,(1))f x f 在点处的切线与直线30x y ++=垂直. （1）求a 的值；

（2）证明：()()(0,)g x f x x ≤∈+∞在内恒成立.

请考生在第．．．．．22．．、．23．．、．24．．题中任选一．．．．．题做答．．．，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图,已知四边形ABCD 内接于O ,且AB 是O 的直径, 过点D 的O 的切线与BA 的延长线交于点M . (1)若MD =6，MB =12,求AB 的长； (2)若AM =AD ，求∠DCB 的大小.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 圆C 的极坐标方程为 ()2sin cos ρθθ=-，直线l 的参数方程为：212x t

y t

=+??=-+?(t 为参数) .

（1）写出圆C 和直线l 的普通方程；

（2）点P 为圆C 上动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.

24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数a x a x x f -+-=2)(,a ∈R ,0a ≠． （1）当1=a 时,解不等式: 2)(>x f ；

（2）若b ∈R 且0≠b ,证明：()()f b f a ≥，并求在等号成立时b

a

的取值范围．

东北育才双语学校2014届高三第三次模拟考试数学试题答题纸（文科）

参考答案：

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1．A ．2. D ．3. B ． 4. C ．5.B 6.A ． 7. B ． 8. D ．9.A 10. D.11. D ． 12. B. 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题纸的相应位置.)

13.

10；14. 2a ≤；

15. 410+；

16. 3

. 三、解答题：(本大题共6个小题满分70分.)

17．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

1127

21026

a d a d +=??

+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)

3n+22

?=2n +2n 。………………6分 （2）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

2

11n a -=21=2n+1)1-（11

4n(n+1)?=111(-)4n n+1

?， 所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4

n+1?n

4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

.……………12分

18.（1）可以证明MN ∥AC ，易于证明；（2）

12

. 19.解答：(Ⅰ)

化简函数式得：())16

f x x π

ω=++，

∵函数的周期为π，且0ω>，∴2ω=……2分

于是())16f x x π

=+

+，而20,3x π??

∈????

，得32,662x πππ??+∈????，

进而得5()12f x ?

?∈???

?

，所以要是方程有解，m

的取值范围是512

?

????

?

.…………6分

(Ⅱ)可以求得A=60°…………8分 依据面积得b=4，…………10分 进而有余弦定理可求得

…………12分 20.

P

（1）点P在D1A1的延长线上，满足A1P=1

4

，证明略；

（2）利用体积相等法求解，结果为1

21.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22.解：(1)因为MD为O

的切线,由切割线定理知,

MD2=MA MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB , ………………………………………………2分

所以MA=3，AB=12－3=9. …………………………………………………………………5分

(2)因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM,

连接DB，又MD为O

的切线,由弦切角定理知,

∠ADM=∠ABD，……………………………………………………………………………7分

又因为AB是O

的直径,所以∠ADB为直角，

即∠BAD=90°-∠ABD.

又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,

于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. …………………………8分

又四边形ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°…………10分 23.解：（1）由已知()2sin cos ρθθ=-得()22sin cos ρρθρθ=-，

所以2222x y y x +=-，即圆C 的普通方程为：()()2

2

112x y ++-=. …………3分 由212x t

y t

=+??

=-+?,得12(2)y x =-+-，所以直线l 的普通方程为250x y --=. …6分

（2）方法一：由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，令圆心C 到直线l 的距离为d ，则

d =

=

，………9分

所以最小值

5

-

……………………………………………………………………10分

方法二：令(

)

1,1P ??-+

+，………………………………………………7分

设点P 到直线l 的距离为d .

d =

=

5

=

≥=

-………………………………………10分 24.解: （1）因为1=a ,

所以原不等式为212x x -+->.

当1x ≤时, 原不等式化简为120x ->,即1

2

x <； ………………………………………2分 当12x <≤时, 原不等式化简为12>,即x ∈?；

当2x >时, 原不等式化简为232x ->,即5

2

x >.

综上,原不等式的解集为15|22x x x ??

<>????

或. …………………………………………5分 （2）由题()f a a = ,

()2f b b a b a =-+-2a b b a =-+- 2a b b a a ≥-+-=，所以()()f b f a ≥,8分

又等号成立当且仅当2a b -与b a -同号或它们至少有一个为零, 从而(2)()0a b b a --≥. 即2

2

320ab a b --≥, 即2

3()20b

b a

a -

+≤,从而12b

a

≤≤. ……………………………………………………10分