安徽省合肥市2016届高三第一次教学质量检测数学理试题

合肥市2016年高三第一次教学质量检测

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内,复数12i

+(其中i 是虚数单位,满足21)i =-对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.sin18sin 78cos162cos78?-? 等于

A.32-

B.12-

C.32

D.12 3.一次数学考试后,某老师从自己带的两个班级中各抽取5人,记录他们的考试成绩,

得到如右图所示的茎叶图,已知甲班5名同学成绩的平均数为81,乙班5名同学的

中位数为73,则x y -的值为

A.2

B.2-

C.3

D.3-

4.“1x ≥”是“12x x

+≥”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

5.执行如下程序框图,则输出结果为

A.2

B.3

C.4

D.5

6.已知,,l m n 为三条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,则下列判断正确的是

A .若//,//m n αα,则//m n B.若,//,m n αβαβ⊥⊥,则m n ⊥

C.若,//,//l m m αβαβ= ,则//m l

D.若,,,m n l m l n αβαγ==⊥⊥ ,则l α⊥

7.ABC ?的三内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若7cos ,2,3,8

A c a b =

-==则a 等于 A.2 B.52 C .3 D.72

8.若双曲线221:128x y C -=与双曲线22

222:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的渐近线相同,且双曲线2C 的焦距为45,则b 等于 A .2 B.4 C.6 D.8

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.476

B.152

C.233

D.8 10.某企业的4名职工参加职业技能考核,每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核,则恰有一个项目未被抽中的概率为 A.

916 B.2764 C.81256 D.716

11.在1(1)

n k k x =+∑的展开式中含2x 项系数与含10x 项系数相等,则正整数n 的取值为

A.12

B.13

C.14

D.15

12.函数22()3,()2x f x x x a g x x =-++=-,若[()]0f g x ≥对[0,1]x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是

A.[,)e -+∞

B.[ln 2,)-+∞

C.[2,)-+∞

D.1

(,0]2

- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分,第13题至第21题为必考题,每个考生都必须作答,第22题至第24题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.

13.已知集合2{0,1,3},{|30}A B x x x ==-=,则A B =

14.已知实数,x y 满足26002x y x y x -+≥??+≥??≤?,则目标函数z x y =-的最大值是

15.已知等边ABC ?的边长为2,若3,BC BE AD DC == ,则BD AE ?=

16.存在实数?,使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数sin()y x k

π?=+图象的最高点或最低点共三个,则正数k 的取值范围是

三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17(本小题满分12分)

在数列{}n a 中,*1111,,.22n n n a a a n N n ++=

=∈ (Ⅰ)求证:数列n a n ??????

为等比数列; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和.

18(本小题满分12分)

某医院对治疗支气管肺炎的两种方案,A B 进行比较研究,将志愿者分为两组,分别采用方案A 和方案B 进行治疗,统计结果如下:

有效 无效 合计

使用方案A 组

96 120 使用方案B 组

72 合计

32 (Ⅰ)完成上述列联表,并比较两种治疗方案有效的频率;

(Ⅱ)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关?

附:2

2()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++ 20(P K k ≥） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841

5.024

6.635

7.879 10.828

19(本小题满分12分)

四棱锥E ABCD -中,//,222,AD BC AD AE BC AB AB AD ====⊥,平面EAD ⊥平面 ABCD ,点F 为DE 的中点.

(Ⅰ)求证://CF 平面EAB ;

(Ⅱ)若CF AD ⊥,求二面角D CF B --的余弦值.

20(本小题满分12分)

设,A B 为抛物线2y x =上相异两点,其纵坐标分别为1,2-,分别以,A B 为切点作抛物线的切线12,l l ,设12,l l 相交于点P .

(Ⅰ)求点P 的坐标;

(Ⅱ)M 为,A B 间抛物线段上任意一点,设PM PA PB λμ=+

,试判断λμ+是否为定值,如果为定值,求出该定值,如果不是定值,请说明理由.

21(本小题满分12分) 已知函数2

()4

x x f x e =-

,其中 2.71828e = 是自然对数的底数. (Ⅰ)设()(1)'()g x x f x =+(其中'()f x 为()f x 的导函数),判断()g x 在(1,)-+∞上的单调性; (Ⅱ)若()ln(1)()4F x x af x =+-+无零点,试确定正数a 的取值范围.

请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

已知AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上(异于点,)A B ,连接BC 并延长至点

D ,使得BC CD =,连接DA 交圆O 于点

E ,过点C 作圆O 的切线交AD 于

点F .

(Ⅰ)若60DBA ∠= ,求证:点E 为AD 的中点;

(Ⅱ)若12

CF R =,其中R 为圆C 的半径,求DBA ∠

23(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线112:(332

x t l t y t ?=+????=+??为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为223sin (3)a a ρρθ-=>-

(Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;

(Ⅱ)若曲线C 与直线l 有唯一公共点,求实数a 的值.

24(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知0,0a b >>,记,A a b B a b =+=+.

(Ⅰ)求2A B -的最大值;

(Ⅱ)若4,ab =是否存在,a b ,使得6?A B +=并说明理由.