2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

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试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域

内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、

试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B e=

（A ）{48}，

（B ）{026}

，，

（C ）{02610}

，，，

（D ）{0246810}，，，，，

（2）若43i z =+，则

||

z

z = （A ）1 （B ）1-

（C ）43+i 55 （D ）

43

i 55- （3）已知向量BA =（12，32），BC =（32

，1

2），则∠ABC =

（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°

（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最

低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是

（A）各月的平均最低气温都在0℃以上

（B）七月的平均温差比一月的平均温差大

（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同

（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个

（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

（A）

8

15（B）

1

8（C）

1

15（D）

1

30

（6）若tan

1

3

θ=，则cos2θ=

（A）

4

5

-

（B）

1

5

-

（C）

1

5（D）

4

5

（7）已知

421

333

2,3,25

a b c

===，则

(A)b

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （9）在ABC △中，π4B =

，BC 边上的高等于1

3

BC ,则sin A = (A)310 (B)1010 (C)55 (D)310

10

（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81

（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）

9π2 （C ）6π （D ）32π

3

（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，

右顶点.

P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）

13 （B ）12 （C ）23 （D ）3

4

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥??

--≤??≤?

则z =2x +3y –5的最小值为________.

（14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到.

（15）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴

交于,C D 两点，则||CD =__________ .

（16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程是____________

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，2

11(21)20n n n n a a a a ++---=.

（I ）求23,a a ；

（II ）求{}n a 的通项公式. （18）（本小题满分12分）

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：

参考数据：7

1

9.32i i y ==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑，

7

2

1

()

0.55i

i y y =-=∑，7≈2.646.

参考公式：1

2

2

1

1

()()

()(y

y)n

i

i

i n n

i i

i i t t y y r t t ===--=

--∑∑∑，

回归方程y a bt =+

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

1

2

1

()()

()n

i

i i n

i

i t

t y y b t

t ==--=

-∑∑ ， a

y bt =- （19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.

（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；

（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

（21）（本小题满分12分） 设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，1

1ln x x x

-<

<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O 中

AB 的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点。 （Ⅰ）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；

（Ⅱ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD 。

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。为参数）。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。.

（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=∣2x-a∣+a.

（I）当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；

（II）设函数g(x)=∣2x-1∣.当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围。

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试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学正式答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

（1）C （2）D （3）A （4）D （5）C （6）D （7）A （8）B （9）D （10）B （11）B （12）A

第II 卷

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）10- （14）

3

π

（15）4 （16）2y x = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得4

1

,2132==

a a . .........5分 （Ⅱ）由02)12(112

=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .

因为{}n a 的各项都为正数，所以2

1

1=+n n a a . 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此12

1

-=n n a . ......12分 （18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

4=t ，28)(7

1

2

=-∑=i i t t ，

55.0)

(7

12

=-∑=i i

y y ，

89.232.9417.40))((7

1

71

7

1

=?-=-=--∑∑∑===i i i i i i i i

y t y t y y t t

，

99.0646

.2255.089

.2≈??≈

r . ........4分

因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性

回归模型拟合y 与t 的关系. ............6分

（Ⅱ）由331.17

32.9≈=y 及（Ⅰ）得103.028

89

.2)()

)((?7

1

2

7

1

≈=

---=∑∑==i i

i i i

t t

y y t t

b ， 92.04103.0331.1??≈?-≈-=t b y a

. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y

10.092.0?+=. ..........10分 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0?=?+=y

. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. .........12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知得23

2

==

AD AM ，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，22

1

==

BC TN . ......3分 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //. 因为?AT 平面PAB ，?MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB . ........6分

（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，

所以N 到平面ABCD 的距离为PA 2

1

. ....9分

取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .

由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故52542

1

=??=?BCM S .

所以四面体BCM N -的体积3

5

4231=

??=?-PA S V BCM BCM N . .....12分 （20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设)0,2

1

(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且

22111(,),(,),(,),(,),(,)222222

a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则

222111k b a

ab

a a

b a b a a b a k =-=-==--=+-=

. 所以FQ AR ∥. ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2

,21

21211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=

--=-=

??. 由题设可得221211b

a x a

b -=--，所以01=x （舍去），11=x .

设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(1

2≠-=+x x y

b a . 而

y b

a =+2

，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 （21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1

()1f x x

=

-，令'()0f x =，解得1x =. 当01x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，'()0f x <，()f x 单调递减. ………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =. 所以当1x ≠时，ln 1x x <-. 故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln

1x x <-，即11ln x x x

-<<. ………………7分 （Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x g x c x c =+--，则'()1ln x g x c c c =--，令'()0g x =，

解得01

ln

ln ln c c x c

-=.

当0x x <时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，'()0g x <，()g x 单调递减. ……………9分

由（Ⅱ）知，1

1ln c c c

-<

<，故001x <<，又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >. 所以当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->. ………………12分 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

解：（Ⅰ）连结BC PB ,，则BCD PCB PCD BPD PBA BFD ∠+∠=∠∠+∠=∠,.

因为BP AP =，所以PCB PBA ∠=∠，又BCD BPD ∠=∠，所以PCD BFD ∠=∠. 又PCD PFB BFD PFD ∠=∠=∠+∠2,180 ，所以 1803=∠PCD ， 因此 60=∠PCD . （Ⅱ）因为BFD PCD ∠=∠，所以 180=∠+∠EFD PCD ，由此知E F D C ,,,四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过E F D C ,,,四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此CD OG ⊥

.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）1C 的普通方程为2213

x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=. ……5分

（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos ,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，

即为P 到2C 的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32

d ααπ

αα+-==+-.

………………8分 当且仅当2()6

k k Z π

απ=+

∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为

31

(,)22

. ………………10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.

解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.

因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. ………………5分 （Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-

|212|x a x a ≥-+-+

|1|a a =-+，

当1

2

x =

时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① ……7分 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. ………………10分