海淀区高三年级第二学期期中练习(文)答案

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（文）

答案及评分参考 2011．4

选择题 （共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

非选择题 （共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）

9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）

解：（I ）因为1tan 2B =

，1tan 3

C =,tan tan tan()1tan tan B C

B C B C ++=

- …………………3分 代入得到，1123tan()111123

B C +

+==-?. …………………6分

（II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+

=-+=- …………………9分 又0180A <<

，所以135A = . …………………10分 因为1

tan 03C =

>，且0180C << ，所以sin C =， …………………11分 由sin sin a c A C

=，得a = …………………13分

16. （共13分）

解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分

即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==?, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212

n

n a a S n n n +=

?=+ ，*N n ∈ …………………6分 （II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立

所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分

所以由 112339, b a b a b a ===，，则

23

12

3b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ， 其通项公式为1

23n n b -=? . ………………13分

17. （共13分）

证明: (I) 因为O 为AB 中点，

所以1

,2

BO AB =

…………………1分 又//,AB CD 1

2

CD AB =，

所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分

所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分 又DO ?平面,POD BC ?平面,POD

所以//BC 平面POD . …………………5分 (II)连接OC .

因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，

所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，

所以PO AB ⊥ ， …………………8 分 又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD 平面PAB AB = ，

B

A

C

D

O

P

B

A C

D O

P

所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ?平面ABCD ，所以 PO AC ⊥，

又PO DO O = ，所以AC ⊥平面POD . …………………12分 又PD ?平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分

18. （共14分）

解：（I ）因为2211'()a ax f x x x x -=-+= ， …………………2分 当1a =， 21

'()x f x x

-= ，

令'()0f x =，得 1x =，

…………………3分

又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：

所以1x =时，()f x 的极小值为1 . …………………5分

()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分

（II ）解法一：

因为2211

'()a ax f x x x x

-=-

+= ，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1

x a

= ，

若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，

其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分 （1）当1

0x a

=

<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11

()ln f e a e a e e =

+=+， 由10a e +<，得1

a e <-，即1(,)a e

∈-∞- …………………9分

（2）当1

0x a =

>，即0a >时， ① 若1

e a

≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，

所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11

()ln 0f e a e a e e

=+=+>，

显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e

<

<，即1

a >时，则有 所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()ln

f a a a

a

=+， 由11

()ln

(1ln )0f a a a a a a

=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e

∈-∞-+∞ 符合题意. …………………14分 解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即

00

1

ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可

因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1

x e = …………………

9分 （1）当0a <时：

因为(0,)x e

∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+，

只要10ae +<，得1

a e <-，即1(,)a e

∈-∞- …………………11分

所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln

1a g a e

e

e e

=+?=-， 由10a

e

-

<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1

(,)(,)a e e

∈-∞-+∞ . …………………14分

19. （共14分）

解：（Ⅰ）由已知，222

2

14

a b e a -==，所以22

34a b =， ① …………………1分 又点3

(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b

+= ， ② …………………2分 由①②解之，得224,3a b ==.

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，

则由22

,

1.4

3y kx m x y

=+??

?+=?

? 消去y 得，222(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分

222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ?=-+-=+->， ③…………7分

设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：

01201212

2286,()23434km m

x x x y y y k x x m k k =+=-

=+=++=++，

…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以22

00

143x y +=

. ……… 9分

从而

222

2222

1612

1

(34)(34)

k m m

k k

+=

++

，化简得22

434

m k

=+，经检验满足③式.

………10分

又点O到直线l的距离为：

d===≥=

………11分

当且仅当0

k=时等号成立…………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，

从而P点为(2,0),(2,0)

-，直线l为1

x=±，所以点O到直线l的距离为1 ……13分所以点O到直线l

……14分

20.（共13分）

解: (I)因为数列12

40,30,

k k

==

3

20,

k=

4

10

k=，

所以1234

40,70,90,100

b b b b

====，

所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100

g g g g

=-=-=-=-. …………………3分

(II) 一方面，

1

(1)()100

m

g m g m b

+

+-=-，

根据j b的含义知1100

m

b

+

≤，

故0

)

(

)1

(≤

-

+m

g

m

g，即)1

(

)

(+

≥m

g

m

g

，①…………………5分

当且仅当

1

100

m

b

+

=时取等号.

因为

123100

,,,,

a a a a

中最大的项为50，所以当50

m≥时必有100

m

b=，

所以(1)(2)(49)(50)(51)

g g g g g

>>>===

即当149

m

<<时，有()(1)

g m g m

>+；当49

m≥时，有()(1)

g m g m

=+.

…………………7分

（III）设M为{}

12100

,,,

a a a

中的最大值.

由（II）可以知道，()

g m的最小值为()

g M. 下面计算()

g M的值.

123()100M g M b b b b M =++++-

1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-

233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-

12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++ ，

∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，

∴()g m 最小值为100-. …………………13分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.