概率图模型的稀疏化学习

机器学习 —— 概率图模型(推理：决策)

Koller 教授把决策作为一种单独的模块进行讲解，但我认为，决策和推理本质上是一样的，都是在假设已知CPD或者势函数的情况下对模型给出结论。 1、决策==逐利 决策的基本思想很intuitive，并且非常有用。在赌博行为中，最后获得的钱与硬币的正反，赌注的大小有关。硬币的正反显然是随机变量，而赌注的大小却是决策量。显而易见的是，决策的最终目的是使得某个期望最大化。再举一个视觉中的例子，对于双目配准算法而言，左相机对应右相机的像素可以认为是随机变量。但是否将两个像素配在一起却可以认为是一个决策（假设像素一一对应，如果甲配了乙就不能配丙了，希望配准的最终结果是尽可能正确的）。故决策的数学表达为： 其中，P(X|A)表示在给定决策下，随机变量X的概率。U(x,a)表示给定决策下，x发生所获得的收益。简单的决策如图所示：

2、决策的方法 显然从上面的分析可知，我们要做的决策就是使得期望最大化的那个。换一个角度来看，如果每次的决策都是未知的，决策取决于已知信息，决策影响最终结果，如果决策也是随机变量，我们应该把获利最多的那个决策组作为我们所需采取的决策库。换而言之，凡事应有a,b,c三策，不同的策略对应不同的情况。显然，我们所需要采取的策略取决于已知的信息（Action的父节点）。而策略组本身就是一个随机变量。 如图所示，如果变量真实值无法观测，只能通过一个传感器（survey）来进行推测时，决策应该取决于S的值。S的值又和其所有父节点（M）的值相关。MEU表示所选择的策略。

显然，我们需要P(S)deta(F|S)U(F,M)，然后P(S)需要对P(M,S)进行边际获得。故表达式如上。带入数据发现

概率图模型研究进展综述

软件学报ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@https://www.360docs.net/doc/5416526083.html, Journal of Software,2013,24(11):2476?2497 [doi: 10.3724/SP.J.1001.2013.04486] https://www.360docs.net/doc/5416526083.html, +86-10-62562563 ?中国科学院软件研究所版权所有. Tel/Fax: ? 概率图模型研究进展综述 张宏毅1,2, 王立威1,2, 陈瑜希1,2 1(机器感知与智能教育部重点实验室(北京大学),北京 100871) 2(北京大学信息科学技术学院智能科学系,北京 100871) 通讯作者: 张宏毅, E-mail: hongyi.zhang.pku@https://www.360docs.net/doc/5416526083.html, 摘要: 概率图模型作为一类有力的工具,能够简洁地表示复杂的概率分布,有效地(近似)计算边缘分布和条件分 布,方便地学习概率模型中的参数和超参数.因此,它作为一种处理不确定性的形式化方法,被广泛应用于需要进行 自动的概率推理的场合,例如计算机视觉、自然语言处理.回顾了有关概率图模型的表示、推理和学习的基本概念 和主要结果,并详细介绍了这些方法在两种重要的概率模型中的应用.还回顾了在加速经典近似推理算法方面的新 进展.最后讨论了相关方向的研究前景. 关键词: 概率图模型;概率推理;机器学习 中图法分类号: TP181文献标识码: A 中文引用格式: 张宏毅,王立威,陈瑜希.概率图模型研究进展综述.软件学报,2013,24(11):2476?2497.https://www.360docs.net/doc/5416526083.html,/ 1000-9825/4486.htm 英文引用格式: Zhang HY, Wang LW, Chen YX. Research progress of probabilistic graphical models: A survey. Ruan Jian Xue Bao/Journal of Software, 2013,24(11):2476?2497 (in Chinese).https://www.360docs.net/doc/5416526083.html,/1000-9825/4486.htm Research Progress of Probabilistic Graphical Models: A Survey ZHANG Hong-Yi1,2, WANG Li-Wei1,2, CHEN Yu-Xi1,2 1(Key Laboratory of Machine Perception (Peking University), Ministry of Education, Beijing 100871, China) 2(Department of Machine Intelligence, School of Electronics Engineering and Computer Science, Peking University, Beijing 100871, China) Corresponding author: ZHANG Hong-Yi, E-mail: hongyi.zhang.pku@https://www.360docs.net/doc/5416526083.html, Abstract: Probabilistic graphical models are powerful tools for compactly representing complex probability distributions, efficiently computing (approximate) marginal and conditional distributions, and conveniently learning parameters and hyperparameters in probabilistic models. As a result, they have been widely used in applications that require some sort of automated probabilistic reasoning, such as computer vision and natural language processing, as a formal approach to deal with uncertainty. This paper surveys the basic concepts and key results of representation, inference and learning in probabilistic graphical models, and demonstrates their uses in two important probabilistic models. It also reviews some recent advances in speeding up classic approximate inference algorithms, followed by a discussion of promising research directions. Key words: probabilistic graphical model; probabilistic reasoning; machine learning 我们工作和生活中的许多问题都需要通过推理来解决.通过推理,我们综合已有的信息,对我们感兴趣的未 知量做出估计,或者决定采取某种行动.例如,程序员通过观察程序在测试中的输出判断程序是否有错误以及需 要进一步调试的代码位置,医生通过患者的自我报告、患者体征、医学检测结果和流行病爆发的状态判断患者 可能罹患的疾病.一直以来,计算机科学都在努力将推理自动化,例如,编写能够自动对程序进行测试并且诊断 ?基金项目: 国家自然科学基金(61222307, 61075003) 收稿时间:2013-07-17; 修改时间: 2013-08-02; 定稿时间: 2013-08-27

新资本协议中违约概率模型的研究及应用

新资本协议中违约概率模型的研究与应用 Research and Application of PD Model in New Basel Capi tal Accord 武剑王健内容摘要：巴塞尔新资本协议实施在即，新资本协议与往常版本的重大突破在于它倡导使用内部评级法（IRB）以加强风险监管的敏感性。而客户违约概率（PD）的准确计算正是内部评级法的核心内容。本文就详尽介绍了违约概率的概念、定义，计算违约概率的进展过程；并重点研究分析了一些较为成熟的违约概率计算模型和数学统计方法，并结合建行违约概率计算的应用提出一

些经验之谈，同时对国内商业银行客户违约概率研究的进展提出了建设性的意见。 关键词：内部评级法违约概率违约数据 背景 巴塞尔新资本协议立即于2003年底正式公布，并拟于200 6年在各成员国实施。新资本协议首次提出了涵盖“三大支柱”（资本充足率、市场监管和市场纪律）的监管框架，进一步充实了金融风险监管的内容和方式，这将对业以后进展产生重大和深远的阻碍。新资本协议的核心内容是内部评级法（IRB法），同意治理水平高的银行采纳IRB法计算资本充足率，从而将资本充足率与银行信用风险的大小紧密结合起来。能够讲，满足资本监管的IRB法代表了巴塞尔委员会认可的并希望商业银行，特不是大银行今后广泛采纳的内部评级体系。IRB法代表了信用风险治理技术进展的大方向。在新协议的推动下，许多国家的银行都在积极开发IRB法，力争在2006年达标。银监会也差不多明确指出，各家商业银行应该尽早着手收集内部评级体系所需的各项必要信息，为今后采纳定量分析方法监测、治理信用风险做好基础性工作。在一段时刻之后，如银行条件具备，银监会将考虑使用

概率图模型中的推断

概率图模型中的推断 王泉 中国科学院大学网络空间安全学院 2016年11月

?推断问题回顾 ?精确推断：信念传播 –信念传播算法回顾 –信念传播在HMM中的应用?近似推断：吉布斯采样–吉布斯采样算法回顾 –吉布斯采样在LDA中的应用

?推断问题回顾 ?精确推断：信念传播 –信念传播算法回顾 –信念传播在HMM中的应用?近似推断：吉布斯采样–吉布斯采样算法回顾 –吉布斯采样在LDA中的应用

?已知联合概率分布 P x 1,?,x n ，估计 –x Q 问题变量；x E 证据变量；x Q ∪x E =x 1,?,x n P R =1 P R =0 0 P R =1G =1= ? P B =0.001 P E =0.002 P A B ,E =0.95 P A B ,?E =0.94 P A ?B ,E =0.29 P A ?B ,?E =0.001 P J A =0.9 P J ?A =0.05 P M A =0.7 P M ?A =0.01 P B =1E =0,J =1=? P x Q x E =x Q ,x E x E

?已知联合概率分布 P x 1,?,x n ，估计 –x Q 问题变量；x E 证据变量；x Q ∪x E =x 1,?,x n P x Q x E =x Q ,x E x E 观测图片 y i 原始图片 x i y ?=argmax P y x 朴素贝叶斯 x ?=argmax P x y 图像去噪

?精确推断：计算P x Q x E的精确值 –变量消去 (variable elimination) –信念传播 (belief propagation) –计算复杂度随着极大团规模的增长呈指数增长，适用范围有限?近似推断：在较低的时间复杂度下获得原问题的近似解–前向采样 (forward sampling) –吉布斯采样 (Gibbs sampling) –通过采样一组服从特定分布的样本，来近似原始分布，适用范围更广，可操作性更强

读懂概率图模型：你需要从基本概念和参数估计开始

读懂概率图模型：你需要从基本概念和参数估计开始 选自statsbot作者：Prasoon Goyal机器之心编译参与：Panda 概率图模型是人工智能领域内一大主要研究方向。近日，Statsbot 团队邀请数据科学家Prasoon Goyal 在其博客上分两部分发表了一篇有关概率图模型的基础性介绍文章。文章从基础的概念开始谈起，并加入了基础的应用示例来帮助初学者理解概率图模型的实用价值。机器之心对该文章进行了编译介绍。 第一部分：基本术语和问题设定 机器学习领域内很多常见问题都涉及到对彼此相互独立的 孤立数据点进行分类。比如：预测给定图像中是否包含汽车或狗，或预测图像中的手写字符是0 到9 中的哪一个。 事实证明，很多问题都不在上述范围内。比如说，给定一个句子「I like machine learning」，然后标注每个词的词性（名词、代词、动词、形容词等）。正如这个简单例子所表现出的那样：我们不能通过单独处理每个词来解决这个任务——「learning」根据上下文的情况既可以是名词，也可以是动词。这个任务对很多关于文本的更为复杂的任务非常重要，比如从一种语言到另一种语言的翻译、文本转语音等。 使用标准的分类模型来处理这些问题并没有什么显而易见

的方法。概率图模型（PGM/probabilistic graphical model）是一种用于学习这些带有依赖（dependency）的模型的强大框架。这篇文章是Statsbot 团队邀请数据科学家Prasoon Goyal 为这一框架编写的一份教程。 在探讨如何将概率图模型用于机器学习问题之前，我们需要先理解PGM 框架。概率图模型（或简称图模型）在形式上是由图结构组成的。图的每个节点（node）都关联了一个随机变量，而图的边（edge）则被用于编码这些随机变量之间的关系。 根据图是有向的还是无向的，我们可以将图的模式分为两大类——贝叶斯网络（?Bayesian network）和马尔可夫网络（Markov networks）。 贝叶斯网络：有向图模型 贝叶斯网络的一个典型案例是所谓的「学生网络（student network）」，它看起来像是这样： 这个图描述了某个学生注册某个大学课程的设定。该图中有5 个随机变量：课程的难度（Difficulty）：可取两个值，0 表示低难度，1 表示高难度 学生的智力水平（Intelligence）：可取两个值，0 表示不聪明，1 表示聪明 学生的评级（Grade）：可取三个值，1 表示差，2 表示中，3 表示优

概率图模型介绍与计算

概率图模型介绍与计算 01 简单介绍 概率图模型是图论和概率论结合的产物，它的开创者是鼎鼎大名的Judea Pearl,我十分喜欢概率图模型这个工具，它是一个很有力的多变量而且变量关系可视化的建模工具，主要包括两个大方向：无向图模型和有向图模型。无向图模型又称马氏网络，它的应用很多，有典型的基于马尔科夫随机场的图像处理，图像分割，立体匹配等，也有和机器学习结合求取模型参数的结构化学习方法。严格的说他们都是在求后验概率:p(y|x)，即给定数据判定每种标签y的概率，最后选取最大的后验概率最大的标签作为预测结果。这个过程也称概率推理(probabilistic inference）。而有向图的应用也很广，有向图又称贝叶斯网络(bayes networks),说到贝叶斯就足以可以预见这个模型的应用范围咯，比如医疗诊断，绝大多数的机器学习等。但是它也有一些争议的地方，说到这就回到贝叶斯派和频率派几百年的争议这个大话题上去了，因为贝叶斯派假设了一些先验概率，而频率派认为这个先验有点主观，频率派认为模型的参数是客观存在的，假设先验分布就有点武断，用贝叶斯模型预测的结果就有点“水分”，不适用于比较严格的领域，比如精密制造，法律行业等。好吧，如果不遵循贝叶斯观点，前面讲的所有机器学习模型都可以dismiss咯，我们就通过大量数据统计先验来弥补这点“缺陷”吧。无向图和有向图的例子如（图一）所示： 图一(a)无向图（隐马尔科夫）(b)有向图 概率图模型吸取了图论和概率二者的长处，图论在许多计算领域中扮演着重要角色，比如组合优化，统计物理，经济等。图的每个节点都可看成一个变量，每个变量有N个状态（取值范围），节点之间的边表示变量之间的关系，它除了

运筹学答案_第_11_章__图与网络模型

第11章图与网络模型 习题1 配送的最短距离。用解：这是一个最短路问题，要求我们求出从v1到v 7 Dijkstra算法求解可得到这问题的解为27。我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行计算而得出最终结果为： 从节点1到节点7的最短路 ************************* 起点终点距离 ------------ 124 2312 356 575 此问题的解为:27 → 12357 习题2 解：这是一个最短路的问题，用Dijkstra算法求解可得到这问题的解为4.8，即在4年内购买、更换及运行维修最小的总费用为：4.8万元。 最优更新策略为：第一年末不更新 第二年末更新 第三年末不更新 第四年末处理机器 我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题的解为4.8。 习题3 解：此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v8的最小生成树。解此题可以得出结果为18。也可以使用管理运筹学软件，得出如下结果： 此问题的最小生成树如下： ************************* 起点终点距离 ------------ 132 342 124 252 573

习题4 782 763此问题的解为:18 解：此题是一个求解最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到 v6 的最 大流量。解此题可以得出最大流量为 出结果为： 22。使用管理运筹学软件，我们也可以得v1从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点距离 ------------ 126 146 1310 240 256 345 365 455 466 5611 此问题的解为:22 即从v1到v6的最大流量为：22 习题5 解：此题是一个求解最小费用最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v6的最小费用最大流量。解此问题可以得出最大流为5，最小费用为39。使用管理运筹学软件，我们也可以得出结果如下： 从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点流量费用 ---------------- 1213 1341 2424 3211 3533 4624

各种概率分布及应用场合(建模对象)

1、高斯分布 高斯分布是最常见的分布，我现在觉得高斯分布中最难的就是，如何说服别人，你假设某个分布是高斯，是有依据的，而不是一个所谓的“经验假设”。 高斯分布的概率密度函数为： 各种各样的心理学测试分数、各种各样的无力现象、测量误差等都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，但是理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。 由正态分布还可以到处一些常见的分布： 2、伯努利分布（又称：两点分布，0-1分布） 均值为p，方差为p(1-p). 这是为纪念瑞士科学家伯努利而命名的，猜测应该与伯努利本人没有太大关系吧，哈哈。 3、二项分布

进行独立的n次伯努利实验得到。均值为np，方差为np(1-p)。 与高斯分布的关系：当n足够大时，且p不接近于0或1，则二项分布近似为高斯分布，且n越大越近似。 4、多项分布 与二项分布对应，每次独立事件会出现3个及3个以上可能值。 二项分布和多项分布的概率值都可以经过计算多项式（x1+x2）^n 和多项式 (x1+x2+...+xm)^n的通项得到，对于二项分布，此时的x1=p，x2=1-p。 5、泊松分布 参考资料： https://www.360docs.net/doc/5416526083.html,/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E5%B8%83 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。 概率质量函数为：（区分概率质量函数和概率密度函数，概率质量函数-离散，是概率值；概率密度-连续，不是概率值）

概率论中几种概率模型方法总结

概率论中几种概率模型方法总结 绪论：概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努里概型.本文对概率论中几种概率模型方法进行了总结。 1 古典概型 古典概型及其概率是概率论的基础知识,它既是进一步学习概率的基础,下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤:确定所研究的对象为古典概型;计算样本点数;利用公式计算概率。即如果随机试验只有有限个可能结果,而且每一个可能结果出现的可能性相同,那么这样的随机试验就是古典概型问题。若设Ω是一个古典概型样本空间, 则对任意事件A 有: A m P ( A ) ==Q n 中的样本点数中的样本点数。在计算m 和n 时,经常使用排列与组合计算公式。在确定一个试验的每个基本事件发生的可能性相同时,经常根据问题本身所具有的某种“对称性”,即利用人们长期积累的关于“对称性”的实际经验,认为某些基本事件发生的可能性没有理由偏大或偏小。关于古典概型的数学模型如下: 1.1 袋中取球问题 1.1.1 随机地同时从袋中取若干球问题 随机地同时从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题,其特点是所考虑的事件中只涉及球的结构而不涉及取球的先后顺序,计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中的很多问题常常可以归结为此类问题来解决。 事件1 一袋中有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从袋中取出k 个球( k ≤m + n) ,求其中恰好有l 个白球( l ≤n)的概率。 分析:随机地从袋中取出k 个球有k m+n C 种可能的结果,其中“恰好有l 个白球”这 一事件包含了l k-l n m C C 种结果,因此所求概率为l k - l n m k m + n C C P =C 这个结论可以作为一个公式来应用。用它可以解决一些类似的问题。 1.1.2 随机地从袋中不放回地取球若干次 随机地从袋中不放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球,取后不再放回袋中,连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的,所考虑的事件也会涉及到取球的顺序,所以要用排列数计算样本点数。 事件2 一袋中装有m + n 个球,其中m 个黑球, n 个白球,现随机地从中每次取出一

机器学习 —— 概率图模型(推理：团树算法)

在之前的消息传递算法中，谈到了聚类图模型的一些性质。其中就有消息不能形成闭环，否则会导致“假消息传到最后我自己都信了”。为了解决这种问题，引入了一种称为团树（clique tree)的数据结构，树模型没有图模型中的环，所以此模型要比图模型更健壮，更容易收敛。 1.团树模型 链模型是一种最简单的树模型，其结构如下图所示，假设信息从最左端传入则有以下式子。 假设要对变量CD 进行推断，则应该求Belief(3) = deta 2->3 *deta 4->3 * phi(3). 从这里可以看出，团树算法是一种精确推断算法。它和变量消除算法在理论推导上是等价的。 上面的例子只是一种非常简单的团树，团树的本质还是聚类图，只不过是一种特殊的聚类图。对于更一般的概率图，也可以生成团树图。

其中，每个cluster都是变量消除诱导图中的一个最小map。 2.团树模型的计算 从上面分析可知，团树模型本质上和变量消除算法还有说不清道不明的关系（团树模型也是精确推理模型）。但是这个算法的优势在于，它可以利用消息传递机制达到收敛。之前提过，聚类图模型中的收敛指的是消息不变。除此之外，聚类图的本质是一种数据结构，它可以储存很多中间计算结果。如果我们有很多变量ABCDEF，那么我们想知道P(A)，则需要执行一次变量消除。如果要计算P(B)又要执行一次变量消除。如果中途得到了某个变量的观测，又会对算法全局产生影响。但是使用团树模型可以巧妙的避免这些问题。 首先，一旦模型迭代收敛之后。所有的消息都是不变的，每个消息都是可以被读取的。 每个团的belief，实际上就是未归一划的联合概率，要算单个变量的概率，只需要把其他的变量边际掉就行。这样一来，只需要一次迭代收敛，每个变量的概率都是可算的。并且算起来方便。 其次，如果对模型引入先验知识比如A = a 时，我们需要对D 的概率进行估计。按照变量消除的思路又要从头来一次。但是如果使用团树结构则不用，因为A的取值只影

一个概率模型的拓展和应用

一个概率模型的拓展和应用 陈锁华 同时抛掷3枚相同的硬币，计算正面都朝上的概率，这是常见的一种游戏。本文研究将相同的n 枚硬币同时抛出，如何计算n 枚硬币同是正面朝上的概率及其推广和应用。 概率模型： 将1枚硬币抛出，正面朝上的概率是21，即12 1。用树状图验证如图1。 将相同的2枚硬币同时抛出，2枚硬币同是正面朝上的概率是41，即22 1。用树状图验证如图2。 将相同的3枚硬币同时抛出，3枚硬币同是正面朝上的概率是81，即32 1。用树状图验证如图3。 将相同的4枚硬币同时抛出，4枚硬币同是正面朝上的概率是 161，即421（验证略）。 图1 图2 图3 由此可以推断，将相同的n 枚硬币同时抛出，n 枚硬币同是正面朝上的概率是n 2 1。 特别提起注意，在这个问题中，“将n 枚硬币同时抛出”，“将1枚硬币连续抛出n 次”，“将n 枚硬币一枚一枚连续抛出”，在这三种不同的操作情形下出现的结果概率是相同的，用树状图可以验证。 拓展延伸：如果将硬币换成一个正方体的骰子，骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，那么将完全相同的n （2 n ）枚骰子同时抛出，n 枚骰子同时出现朝上一面是数字1的概率又是多少呢？ 还是从最简单的实验开始。将完全相同的2枚骰子同时抛出，2枚骰子朝上的一面同是数字1

的概率是26 1361=。将完全相同的3枚骰子同时抛出，3枚骰子朝上的一面同是数字1的概率是3612161=。将完全相同的4枚骰子同时抛出，4枚骰子朝上的一面同是数字1的概率是46112961=。由此可以推断，将完全相同的)2(≥n n 枚骰子同时抛出，n 枚骰子朝上的一面同是数字1的概率应该是n 61。 结论应用：我们以2005年中考试题为例说明这个模型的应用。 例1. （徐州市）交通信号灯俗称红绿灯，至今已有一百多年的历史了。“红灯停，绿灯行”，这是我们必须遵守的交通规则。小刚每天骑自行车上学都要经过3个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到1次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（请用树状图分析） 分析：可以将上述问题看成是抛硬币概率模型的应用。不遇红灯的概率相当于同时抛出3枚硬币时，3个反面都朝上的概率，即 81。因此至少遇到1次红灯的概率是87。（解答略） 例2. （常州市）某中学七年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动。七（1）班必须参加，另外再从七（2）班至七（6）班选出1个班。七（4）班有同学建议用如下方法：从装有编号为1，2，3的3个白球的A 袋中摸出1个球，再从装有编号为1，2，3的3个红球的B 袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上数字和是几，就选几班。你认为这种方法公平吗？说明理由。 分析：A 袋中有3个球，每个球出现的可能性相同；B 袋中也有3个球，每个球出现的可能性也相同。由上面的概率模型可得所有可能的情况共有932=种，其中两数和为2，3，4，5，6的情况出现的次数分别为1，2，3，2，1。因此七（2）至七（6）班依次被选中的概率为9192319291，，，，。因此这种方法不公平。（解答略）

概率图模型

概率图模型 过去的一段时间里，忙于考试、忙于完成实验室要求的任务、更忙于过年，很长时间没有以一种良好的心态来回忆、总结自己所学的东西了。这几天总在想，我应该怎么做。后来我才明白，应该想想我现在该做什么，所以我开始写这篇博客了。这将是对概率图模型的一个很基础的总结，主要参考了《PATTERN RECOGNITION and MACHINE LEARNING》。看这部分内容主要是因为LDPC码中涉及到了相关的知识。概率图模型本身是值得深究的，但我了解得不多，本文就纯当是介绍了，如有错误或不当之处还请多多指教。 0. 这是什么？ 很多事情是具有不确定性的。人们往往希望从不确定的东西里尽可能多的得到确定的知识、信息。为了达到这一目的，人们创建了概率理论来描述事物的不确定性。在这一基础上，人们希望能够通过已经知道的知识来推测出未知的事情，无论是现在、过去、还是将来。在这一过程中，模型往往是必须的，什么样的模型才是相对正确的？这又是我们需要解决的问题。这些问题出现在很多领域，包括模式识别、差错控制编码等。 概率图模型是解决这些问题的工具之一。从名字上可以看出，这是一种或是一类模型，同时运用了概率和图这两种数学工具来建立的模型。那么，很自然的有下一个问题 1. 为什么要引入概率图模型？ 对于一般的统计推断问题，概率模型能够很好的解决，那么引入概率图模型又能带来什么好处呢？ LDPC码的译码算法中的置信传播算法的提出早于因子图，这在一定程度上说明概率图模型不是一个从不能解决问题到解决问题的突破，而是采用概率图模型能够更好的解决问题。《模式识别和机器学习》这本书在图模型的开篇就阐明了在概率模型中运用图这一工具带来的一些好的性质，包括

概率图模型理论及应用教学大纲

教学大纲 统计推理和学习（Statistical Inference and Learning）是信号处理、模式识别、通信系统等工程应用中处理不确定性的一个重要方法。新兴的（概率）图模型是概率论与图论相结合的产物，为各种统计推理和学习提供了一个统一的灵活框架。 本课程介绍图模型基本理论，包括：图论相关知识，图模型上条件独立性，有向图模型（贝叶斯网络）、无向图模型（马尔可夫随机场），图模型的统计推理算法，图模型的学习算法（参数学习和结构学习）等，以及图模型在语音识别、图像处理、计算机视觉、通信信道编码（Turbo-coding）等应用中的具体实例。具体包括如下内容：第一章引言 统计推理和学习的概念 第二章图模型 图论相关知识（简介） 图模型上条件独立性（d-separation，Bayes ball） 有向图模型（贝叶斯网络），无向图模型（马尔可夫随机场） 在图模型框架下介绍： 多元高斯模型、 主成分分析（PCA）、 混合分布（Mixtures）、 因子分析（FA）、 隐马尔科夫模型（HMM） 第三章图模型上的推理（Inference） 图论知识深入：簇（Cliques）、可分解图（Decomposable graph），连接树（Junction tree），规范化（Moralization），三角化（Triangulation）等概念 Junction Tree算法 对HMM的前向-后向算法、Viterbi算法，线性动态系统的Kalman滤波的统一描述 1

第四章图模型的参数学习（Parameter Learning） 完整数据下的最大似然（ML）参数估计 不完整数据（Incomplete Data）下的ML参数估计（EM算法） 完整数据下的贝叶斯学习 不完整数据下的贝叶斯学习 第五章图模型的结构学习（Structure Learning） 模型选取准则，包括最小描述长度（Minimum Description Length，MDL），贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）等 结构EM算法（Structural EM） 结构的贝叶斯学习 第六章图模型的应用选讲 图模型在语音识别应用中的实例 图模型在图像处理应用中的实例 图模型在计算机视觉应用中的实例 图模型在通信信道编码（Turbo-coding）应用中的实例 （前面各章中配合理论的讲解，相应有应用实例的介绍。） 2

概率图模型介绍与计算

概率图模型介绍与计算． 概率图模型介绍与计算 01 简单介绍概率图模型是图论和概率论结合的产物，它的开创者是鼎鼎大名的Judea

Pearl,我十分喜欢概率图模型这个工具，它是一个很有力的多变量而且变量关系可视化的建模工具，主要包括两个大方向：无向图模型和有向图模型。无向图模型又称马氏网络，它的应用很多，有典型的基于马尔科夫随机场的图像处理，图像分割，立体匹配等，也有和机器学习结合求取模型参数的结构化学习方法。严格的说他们都是在求后验概率:p(y|x)，即给定数据判定每种标签y的概率，最后选取最大的后验概率最大的标签作为预测结果。这个过程也称概率推理(probabilistic inference）。而有向图的应用也很广，有向图又称贝叶斯网络(bayes networks),说到贝叶斯就足以可以预见这个模型的应用范围咯，比如医疗诊断，绝大多数的机器学习等。但是它也有一些争议的地方，说到这就回到贝叶斯派和频率派几百年的争议这个大话题上去了，因为贝叶斯派假设了一些先验概率，而频率派认为这个先验有点主观，频率派认为模型的参数是客观存在的，假设先验分布就有点武断，用贝叶斯模型预测的结果就有点“水分”，不适用于比较严格的领域，比如精密制造，法律行业等。好吧，如果不遵循贝叶斯观点，前面讲的所有机器学习模型都可以dismiss咯，我们就通过大量数据统计先验来弥补这点“缺陷”吧。无向图和有向图的例子如（图一）所示：

图一 (a)无向图（隐马尔科夫） (b)有向图 概率图模型吸取了图论和概率二者的长处，图论在许多计算领域中扮演着重要角色，比如组合优化，统计物理，经济等。图的每个节点都可看成一个变量，个状态（取值范围），节点之间的边表示变量之间的关系，它除N每个变量有． 了可以作为构建模型的语言外，图还可以评价模型的复杂度和可行性，一个算法的运行时间或者错误界限的数量级可以用图的结构性质来分析，这句话说的范围很广，其实工程领域的很多问题都可以用图来表示，最终转换成一个搜索试问还有什么问题不是搜索问题？目标就是快速的定位到目标，或者查找问题，树是图，旅行商问题是基于图，染色问题更是基于图，他们具有不同的图的结 构性质。对于树的时间复杂度我们是可以估算出来的，而概率图模型的一开始

经济问题中的概率统计模型及应用

经济问题中概率统计模型及应用 目录 摘要 (2) 英文摘要 (3) 1引言 (4) 2市场调查过程中统计模型的应用 (4) 2.1市场调查的定义 (4) 2.2样本容量的确定 (4) 2.3选取合理的抽样方法 (5) 3早期概率统计模型的经济学应用 (5) 3.1古典概型与早期博彩 (5) 3.2数学期望与街头博彩式营销 (6) 4保险业中的概率统计模型 (7) 4.1 随机变量与保险业 (7) 4.2中心极限定理与保险业 (8) 4.3保险业中的大数定理 (8) 4.3.1伯努利大数定理 (8) 4.3.2泊淞大数定理 (8) 4.3.3保险业中大数定理的应用实例 (9) 5概率统计模型在营销行业的应用 (9) 6概率统计模型与经济预测——回归分析 (11) 7概率统计模型与投资决策 (12) 7.1概率统计在投资决策中应用的理论基础 (12) 7.2概率统计在风险型决策中应用 (13) 7.3概率统计在风险型决策中应用实例 (13) 7.4概率统计模型在不确定型投资决策中的应用 (14) 8本文总结 (15) 参考文献 (16)

经济问题中的概率统计模型及应用 数学与统计学院统计学姓名（学号） 指导老师：姓名（职称） 摘要：在经济全球化和大数据时代到来的今天，数据和经济的联系无疑更加密切。为了从复杂的现实数据中得到具有针对性的有效信息，需要借用一定的数学方法，即概率统计模型。概率统计模型不仅被用于进行市场调查、经济预测、风险决策等经济过程中，同时也应用于保险业、营销、管理等各个经济领域。通过概率统计模型，可以将错综复杂的经济问题具体化、数量化，使经济现象得到精确化的表述。 关键词：概率统计模型；经济问题；市场调查；保险；营销；经济预测；风险决策

概率论与数理统计在数学建模中的应用__本科毕业设计论文

概率论与数理统计在数学建模中的应用 ——国 冰 。 第一节 概率模型 一、初等概率模型 初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题： 1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型 设某种机器的工作系统由N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第i 个部件上装有i x 个备用件(1,2,,)i N =,此时该部件正常工作的概率为()i p x ，那么整个系统正常工作的可靠度便可用 1()n i i p p x ==∏ （9.1） 来表示. 又设第i 个部件上的每个备用件的费用为i C ，重量为i W ，并要求总费用不超过C ，总重量不超过W ，则问题的数学模型便写成为 1max ()n i i p p x ==∏ （9.2）

1 1 ..,1,2,N i i i N i i i i c x c s t w x c x N i N ==?≤???≤???∈=??∑∑ 问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数，属于非线性整数规划问题。 2、传染病流行估计的数学模型 问题分析和模型假设 本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有 关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。 这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨 论传染病的蔓延过程。 假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人，即可能感染者，任 何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的. 问题在于一旦掌握了随机规律，那么如何去估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大? 给出以下假设 （1）设人群只分病人和健康人两类，病人数和健康人数分别记为i 和s ，总 数n 不变，即 i s n += （9.3） （2）人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率p ，每人每天平 均与m 人接触； （3） 当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率为λ。 模型建立求解 由假设（2）知道一个健康人每天接触的人数服从(1,)b n p -，且平均值是m ，则 (1)m n p =-

概率图模型理论及应用教学日历

教学日历 上课时间：第四大节（15:20~16:55） 上课地点：六教6A403 大节课次内容 （1）9月13日第一章引言 统计推理和学习的概念 （2）9月20日第二章图模型 图论相关知识 有向图模型（贝叶斯网络） （3）9月27日图模型上条件独立性（d-separation，Bayes ball）无向图模型（马尔可夫随机场） （4） 10月4日 国庆放假 （5）10月11日在图模型框架下介绍： 多元高斯模型、 主成分分析（PCA）、 混合分布（Mixtures）、 （6）10月18日因子分析（FA）、 隐马尔科夫模型（HMM） （7）10月25日第三章图模型上的推理（Inference） 图论知识深入：簇（Cliques）、可分解图（Decomposable graph），连接树（Junction tree），规范化（Moralization），三角化（Triangulation）等 （8） 11月1日 图论知识深入（续） 1

（9） 11月8日 Junction Tree算法 （10） 11月15日 Junction Tree算法（续） （11） 11月22日 HMM的前向-后向算法、Viterbi算法 （12） 11月29日 线性动态系统的Kalman滤波 （13）12月6日第四章图模型的参数学习（Parameter Learning） 完整数据下的最大似然（ML）参数估计 不完整数据（Incomplete Data）下的ML参数估计（EM算法）完整数据下的贝叶斯学习 不完整数据下的贝叶斯学习 （14）12月13日第五章图模型的结构学习（Structure Learning） 模型选取准则，包括最小描述长度（Minimum Description Length，MDL），贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）等 结构EM算法（Structural EM） 结构的贝叶斯学习 （15）12月20日第六章图模型的应用选讲 图模型在语音识别应用中的实例 图模型在图像处理应用中的实例 （16）12月27日图模型在计算机视觉应用中的实例 图模型在通信信道编码（Turbo-coding）应用中的实例 2

高中数学：概率模型的应用

高中数学：概率模型的应用 在求解概率问题时，当题意所表述的形式难于解决时，可将该问题转化成一个熟悉的“概率模型”，从而求解，常见的解法就是转化为摸球与放球问题，使问题得以解答。 袋中有N个白球、M个黑球，现有放回地从袋中摸球，求： （1）在n次摸球中恰好摸到k（k=0，1，…，n）个黑球的概率； （2）第k次才摸到黑球的概率； （3）第r次摸到的黑球是在第k次摸球时实现的概率。 解：由于袋中有N+M个球且是有放回地摸球，故每次摸球都有N+M种等可能结果（此时设想球是编了号，可区别的）。 （1）设在n次摸球中恰好模型k（k=0，1，…，n）个黑球为事件A，考虑前n次有放回摸球，共有 （N+M）n种可能，对于事件A有种不同情况，而每种情况（如前k次均摸到黑球，后n－k次摸到白球）都有种可能，又因种情况是两两互斥事件，故A

有种结果，由等可能事件概率公式得 。 （2）设第k次才摸到黑球为事件B，前k次摸球有（N+M）k种等可能结果，事件B的发生表明前k－1次均摸到白球有种可能，第k次才摸到黑球有M种可能，故事件B有M种可能，由等可能事件概率公式得P（B）=。 （3）设第r次摸到黑球是在第k次摸球时实现的为事件C，前k次摸球有种等可能结果。第k次摸到黑球，有M种结果，前k－1次摸球有r－1次摸到黑球，有种可能，故C事件共有M种结果。由等可能事件概率公式得P（C）=。 可化为摸球问题举例： 例1 100件产品（各不相同）中有35件次品，随机不放回地抽取5件，求： （1）“仅后两件是次品”的概率； （2）“有两件是次品”的概率。

分析：此问题，可将“产品”换成“球”，“次品”换成“黑球”，“件”换成“个”，“抽”换成“摸”，就变成无放回摸球问题。 解：（1）设仅后两件是次品为事件A，球各不相同，总的抽法有。则对于事件A来说，前三次抽得正品、后两次抽得次品有种可能，由等可能事件概率公式得P（A）=。 （2）设有两件是次品为事件B，则P（B） =。 例2 一副扑克牌（除了大小王）有4种花色，每种花色13张，共52张，从中有放回地任取4张，求有两张方块的概率。 分析：把“52张牌”看成“52个球”，“方块”看成“黑球”，相当于求从52个球中有放回地摸出4个球，其中有两个黑球的概率。 解：设有放回地摸出4个球，其中有两个黑球为事件A，则套用摸球问题第一问可得P（A） =。