数形结合思想1
【专题一】数形结合思想
【考情分析】
在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2013年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
【知识归纳】
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
1．数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
4)1()2(22=-+-y x 如等式。
常见方法有：
①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。
②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a ＞0与距离互化，将a 2与面积互化，将a 2+b 2+ab=a 2+b 2－2)12060(cos ?=?=θθθ或b a 与余弦定理沟通，将a≥b≥c ＞0且b+c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。
常见的转换途径为：
①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
②利用平面向量的数量关系及模AB
的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2
a
与正方形的面积互化，将abc
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离
点到直线的距离d =
，直线的斜率，直线的截距）、
定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。 2．数形结合的原则 （1）等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
【考点例析】
题型1：数轴、韦恩图在集合中的应用
例1．（1）（2012高考真题浙江理1）设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2
x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=（ ）
A ．(1,4)
B ．(3,4)
C ．.(1,3)
D ．(1,2)∪（3,4） 解析：B ；B ={x|2
x -2x-3≤0}=}31|{≤≤-x x ，A ∩（C R B ）={x|1＜x ＜4} }3,1|{>- 点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。 （2）（2011湖南文1）设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N === 则N = （ ） A ．{1,2,3} B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 解析：B ；解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。 点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。 （3）（2012高考真题重庆理10）设 平面点集 {} 221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ?? =--≥=-+-≤???? ，则A B 所表示的平 面图形的面积为（ ） （A ）3 4π （B ）35π （C ）47π （D ） 2 π 解析：D ；由0)1)((≥--x y x y 可知?????≥-≥-010x y x y 或者?? ? ? ?≤-≤-010 x y x y ，在同一坐标系中做出平面区域如图，由图象可知B A 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为 2 π ，选D. 题型2：函数图像的价值 例2．（1）（2012高考真题江西理10）如右图，已知正四棱锥S ABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记 (01),SE x x =<<截面下面部分的体积为(),V x 则函数()y V x =的图像大致为（ ） 解析：A ；（定性法）当1 02 x <<时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越快；当 1 12 x ≤<时，随着x 的增大，观察图形可知，()V x 单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A 图象符合.故选A. 【点评】对于函数图象的识别问题，若函数()y f x =的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间. （2）（2012高考真题山东理12）设函数21 (),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x = =+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列 判断正确的是（ ） A.当0a <时，12120,0 x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0 x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 解析：B ；在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0 有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知 ,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，同理当0>a 时，则有0,02121>+<+y y x x ，故答案选B. 另法：32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点 12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2 ()03F b =，因为 (0)1F =，故必有2()03F b =由此 得b =.不妨设12x x <， 则22 3 x b ==.所 以 2 1()()()F x x x x =- ，比较系数得1x -= ，故1x = 120x x +，由此知12 121212 110x x y y x x x x ++= +=<，故答案为B. 点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、 解绝对值不等式，中档题，借形言数。 （3）（2012高考真题湖南理8）已知两条直线1l ：y =m 和2l ： y= 8 21 m +(m ＞0)，1l 与 函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b a 的最小值为（ ） A ． B. C. D. 解析：B ；在同一坐标系中作出y=m ，y= 8 21 m +(m ＞0)，2log y x =图像如下图， 由2log x = m ，得122,2m m x x -==，2log x = 821 m +，得8 21821342,2m m x x +-+==. 依照题意得821 821 821 821 222 2 ,22 ,22 m m m m m m m m b a b a ++- -+- -+-=-=-=-821 821 22 2 m m m m ++ +==. 814111 431212222 2 m m m m + =++-≥-=++ ，min ()b a ∴= 【点评】在同一坐标系中作出y=m，y= 8 21 m+ (m＞0)， 2 log y x =图像，结合图像可解得. 题型3：解决方程、不等式问题 例3．若方程()() lg lg -+-=- x x m x 233在() x∈03 ，内有唯一解，求实数m的取值范围。 解析：（1）原方程可化为()() --+=<< x m x 2103 2 设()() y x x y m 1 2 2 2103 =--+<<= ， 在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知y y 12 与 的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是-<≤ 10 m或m=1。 例4．（2012高考真题浙江理17）设a∈R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________． 解析：a= (A) 2 (1)10 10 a x x ax ≤ ? ? ≤ ? －－ －－ ，无解；(B) 2 (1)10 10 a x x ax ≥ ? ? ≥ ? －－ －－ ，无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区 8 21 m = + x m 间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M ( 1 1 a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2 －ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：2 11011a a a ?? - -= ?--?? ，解之 得：a =a =a = 点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型4：解决三角函数、平面向量问题 例5．（1）（2012高考真题江西理7）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则 22 2 PA PB PC +=( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．10 解析：D ；将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设0,),,0(),0,(>b a b B a A ，则 )2,2(b a D ，)4 ,4(b a P , 所以16 16)4()4(22222 b a b a PC +=+=， 16 916)4()4(222 22 b a b b a PB + =-+=， 16 169)4()4(2222 2 b a b a a PA +=+-=， 所 以 22222222 2 10)16 16(101616916916PC b a b a b a PB PA =+=+++=+,所以 102 2 =+PC PB PA ，选D. （2）（2007年陕西15）如图，平面内有三个向量、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与的夹角为30°,且|OA |＝||＝1，||＝32，若 OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 。 解析：（1）考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF= ,再由余弦定理得 4c o s 5E C F ∠= ，解得3 tan 4 ECF ∠= 解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=（0,3） 利用向量的夹角公式得：4cos 5ECF ∠= ，解得3 tan 4 ECF ∠=。 （2）6；解析：（）2＝（λ+μ）2=λ2OA 2+μ2OB 2+2λμ?=12；注意与OC 的夹角为30°，OA 与OB 的夹角为 120°，结合图形容易得到OB 与OC 的夹角为90°，得μ=0；这样就得到答案。 点评：综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特 征。 例6．（2010全国卷1文数）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为 两切点，那么PA PB ? 的最小值为（ ） A ．4-+ ．3-+ ．4-+ ．3-+ 答案：D ； 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α， sin α= ， ||||cos 2PA PB PA PB α?=? = 22(12sin ) x α-= 222(1)1x x x -+=42 21 x x x -+，令P A P B y ?= ，则4221 x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2 x 是 实数，所以 2[(1)]41()0y y ?=-+-??-≥，2610y y ++≥，解 得3y ≤-- 或3y ≥-+. 故min ()3PA PB ?=-+ . 此时x = 【解析2】设,0APB θθπ∠=<<，()()2 cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ ? ??== ?? ? 222 2221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22 θθθ θθθ????-- ??? ??????=?-= ???换元：2sin ,01 2x x θ=<≤，()( )1121 233 x x PA PB x x x --?==+-≥ 【解析3】建系：园的方程为22 1x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -， ()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥??-=?-+=?= ( )222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ?=-+-=-+--=+-≥ ()()22 2 10110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ?=-?--=-+- 点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 题型5：解析几何问题 例7．（1）（2012高考真题山东理5）已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥?? +≤??-≥-? ，则目 标函数 3z x y =-的取值范围是( ) （A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2 -- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2- 解析：A ；做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为 63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由?? ?=+-=-421 4y x y x ，解得?? ??? == 321y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-，选A. （2）（2011江苏14）设集合},,)2(2 | ),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠?B A 则实数m 的取值范围是 ______________ 解析：（数形结合）当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合 B 是在两条平行线之间，(102m m +=+> ，因为,φ≠?B A 此时 无解；当0m >时，集合A 是以（2，0 m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有 m 112m ≤≤.又因 为2m 1 ,122 m m ≤∴≤≤。 点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。 例8．（1）（2012高考真题陕西理13）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水 面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 解析：62；设水面与桥的一个交点为A ，如图建立直角坐标系则，A 的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为py x 22 -=，带入点A 得1=p ，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为)3,(0-x ，则6,3202 0±=-?-=x x ，所以水面宽度为62. （2）【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分） 设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动 时，记点M 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴 上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且， 可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01 ||||y y m = . ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2 2 2 1 (0,1)y x m m m +=>≠且. 因为(0,1)(1,)m ∈+∞ ，所以 当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0) ，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0, ，(0, . （Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ， 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=. 依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122 244k x x x m k -+=-+，即21 222 4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21 21222 224km x y kx kx m k -==+. 于是11(2,2)PQ x kx =-- ，2211 21212222 42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++ . 而PQ PH ⊥等价于222 122 4(2)04m k x PQ PH m k -?==+ ， 即220m -=，又0m > ，得m = 故存在m =使得在其对应的椭圆2 2 12 y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥. 图2 (01)m << 图3 (1)m > 图1 第21题解答图 解法2：如图2、3，1(0,1)x ?∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ， 因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222 112222 22 , ,m x y m m x y m ?+=??+=?? 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③ 依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得 212121212()() ()() y y y y m x x x x -+=--+. ④ 又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即112 112 2y y y x x x += +. 于是由④式可得2 11212121121212()()12()()2 PQ PH y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=?=?=- --+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ?=-，即212 m -=-，又0m > ，得m = 故存在m =2 2 12 y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥. 题型6：导数问题 例9．（2012高考真题重庆理8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为, ()f x ，且函数 )(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ） （A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f - （D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 解析:D ；由图象可知当2- ，函数 递增.当12<<-x 时，0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)(' 0)(')1(<-=x f x y ，所以此时0)('>x f ，函数递增.所以函数)(x f 有极大值)2(-f ，极 小值)2(f ,选D. 点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。 例10．（06浙江卷）已知函数f(x)=x 3+ x 3，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图） 求证：当n *N ∈时， (Ⅰ)x ;231212+++=+n n n n x x x （Ⅱ）21)2 1() 21 (--≤≤n n n x 。 证明：（I ）因为'2 ()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率 1 21132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以2 21132n n n n x x x x +++=+. （II ）因为函数2 ()h x x x =+当0x >时单调递增， 而2 21132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+， 所以12n n x x +≤，即 11,2n n x x +≥因此1121211 ().2 n n n n n n x x x x x x x ----=??????≥ 又因为12 2 12(),n n n n x x x x +++≥+令2 ,n n n y x x =+则11 .2 n n y y +≤ 因为2 1112,y x x =+=所以1211 1()().2 2 n n n y y --≤?= 因此2 21(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22 n n n x --≤≤ 点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。 题型6：平面几何问题 例11．已知ABC ?三顶点是(4,1),(7,5),(4,7)A B C -，求A ∠的平分线AD 的长。 解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点,,A B C ，画出ABC ?的边及其A ∠的平分线AD 。（如图） 第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有： （1）AB AC ⊥ ；（2）45BAD CAD ∠=∠=?； （3）2CD DB = ，（4）260ABC ACB ∠=∠=?等等。 证明：∵(4,1),(7,5),(4,7)A B C -∴(3,4),(8,6)AB AC ==- ,5,10AB AC == ∵38460AB AC ?=-?+?= ∴（1）AB AC ⊥ ，∵AD 是A ∠的平分线； ∴（2）45BAD CAD ∠=∠=?，∵10 25 CD AC DB AB = = =(角平分线定理) ； ∴（3）2CD DB = ，∵tan tan 602ABC ∠=∠?=≠， ∴（4）260ABC ACB ∠=∠=?不正确， 第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点D 作DE AB ⊥，交AB 于点E ，则有BDE ?∽BCA ?或110 33 DE AC = =等等。又在Rt ADE ?中， （可 以口答出）AD == 点评：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只重 数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图形的几何属性，是很失败的。 例12．已知A =｛(x,y )||x |≤1,|y |≤1｝,B =｛(x,y )|(x –a )2+(y –a )2≤1，a ∈R ｝,若A ∩B ≠?，则a 的取值范围是 。 解析：如图，集合A 所表示的点为正方形PQRS 的内部及其边界，集合B 所表示的点为以C (a ,a )为圆心，以1为半径的圆的内部及其边界．而圆心C (a ,a ) 在直线y=x 上，故要使A ∩B ≠?， 则2 21221+≤≤- -a 为所求。 点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照 这样的思路直接求出实数a 的取值范围。 【方法技巧】 数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”.可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用.目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 【专题训练】 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.11 5 D.37 16 2．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与 双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(1,2) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 3．已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与OB → 的夹角的取值范围为( ) A ．[0，π4] B ．[π4，512π] C ．[512π，π 2 ] D ．[π12，5 12 π] 4．函数y ＝3cos ????2x ＋π3????－π6≤x ≤π3与y ＝3cos ????2x －73π????76π≤x ≤5 3π的图象和两直线y ＝±3所围成的封闭区域的面积为( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．以上都不对 5．设定义域为R 的函数f (x )＝????? 1|x －2| x ≠2 ， 1 x ＝ 2 .若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有 3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 A ．x 21＋x 22＋x 2 3＝14 B ．1＋a ＋b ＝0 C ．x 1＋x 3＝4 D ．x 1＋x 3>2x 2 6．若函数f (x )＝log a x －x ＋a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．01 C ．a >0且a ≠1