三角恒等变换.02三角恒等变换的综合运用(A级).学生版
知识框架
高考要求
三角恒等变换的综合运用
1． 基本公式
（1）两角和与差的三角函数公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
公式推导：sin()sin[()]sin cos()cos sin()αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=-
cos()sin[()]sin[()()]22
ππ
αβαβαβ+=-+=-+-
sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22ππ
αβαβαβαβ=--+--=+-
cos cos sin sin αβαβ=-
cos()sin[()]sin[()]22
ππ
αβαβαβ-=--=-+
sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22ππ
αβαβαβαβ=-+-=+
sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβ
αβαβαβαβ
+++=
=
+- 两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-
tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβ
αββαβαβ
+---=+-=
=
--+ （2）倍角公式
sin22sin cos ααα=；
2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-
22tan tan 21tan α
αα
=
-
3
sin33sin 4sin ααα=-；3
cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan313tan αα
αα-=
- 公式推导：然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式
sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=?-?=-
再利用22sin cos 1αα+=，可得：
知识内容
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα
αααααα
+=+=
=
-?-
sin 2tan
2
cos
2
αα
α
===sin 2sin
sin
1cos 22
2tan
2
sin cos
2sin cos 2
22
αα
α
α
αα
ααα-=== sin 2cos
sin
sin 22
2tan
2
1cos cos
2cos cos
2
22
αα
α
α
αα
ααα===+ （3）半角公式
sin
2
α
=
cos 2α=
1cos sin tan
2
sin 1cos α
αα
αα
-===
+
2． 倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用
（1）并项功能：
222
1sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± （2）升次功能
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- （3）降次功能
221cos 21cos 2cos ,sin 22
αα
αα+-=
=
（4）一个重要的构造
22
sin cos cos )b
a b a b
αααα+=+
+
令sin β=
，则cos β=
cos cos sin )αβαβ+
（sin β=
可知：sin cos a b αα+3． 三角变换中常用的数学思想方法技巧有
（1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异，
比如：3015453060452?
?=?-?=?-?=
, ()()22α
ααββαββ=-+=+-=?
()()()()ππ
2()()44
ααβαβαββααα=++-=+--=+--
()()222βαβαβαααβα?
?-=-+=-=-- ??
?
π
π
π
π
π
π
244362
αααααα??????????
+-=++-=++-= ? ? ? ? ???????????
π3ππ2ππ5ππ443366αααααα????????????++-=++-=++-= ? ? ? ? ? ?????????????
（2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，
通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； （3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，
例如：2222ππππ
1sin cos sec tan sin
tan 2sin 2464
αααα=+=-====； （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法，常用的降幂公式有：
21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2
αα-=
但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如： 221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用，
例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±??； （6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式
() sin cos y a b ααα?=++的应用，
其中tan b
a
?=
，?所在的象限由,a b 的符号确定． 4． 三角函数的值域的求法
（1）sin y a x b =+（或cos )a x b +型：利用三角函数的值域，需要对字母的讨论；
（2）sin cos y a x b x =+型：引进辅助角化成)x ?+，再进行有界性； （3）2sin y a x b x c ++=sin 型：配方后求二次函数的最值，应注意sin 1x ≤的约束； （4）sin sin a x b
y c x d
++= 型：反解sin x ，化简为sin 1x ≤ ；
（5）sin cos a x b
y c x d
+=
+型：化简为sin cos y A x B x '=+型或数形结合（常用到直线斜率的几何意义）；
（6）(sin cos )sin cos y a x x b x x c =++?+型：常用到换元法：令sin cos t x x t =+≤，
1． 基本公式的综合运用
【例1】 （2011西城一模6）已知函数①sin cos y x x =+
，②cos y x x =，则下列结论正确的是
A ．两个函数的图象均关于点04π??
- ???
，成中心对称
B ．两个函数的图象均关于直线4
x π
=-
成中心对称
C ．两个函数在区间44ππ??
- ???
，上都是单调递增函数
D ．两个函数的最小正周期相同
【例2】
已知函数2()2sin sin cos (0)f x a x x x a b a =-++>的定义域为[0,
]2
π
，值域为[51]-，
，求常数,a b 的值．
【例3】
已知函数23cos 2y x x =-．（1）求函数的增区间；（2）说出此函数与sin y x =之间的关系．
【例4】 （2011年西城上学期期末15
）已知函数2()22sin f x x x =-．
（Ⅰ）若点(1P ，
在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[]63
x ππ
∈-
，，求()f x 的值域．
例题精讲
【例5】 （2011石景山一模15）在ABC ?中，角A B C 、、，所对应的边分别为a b c 、、且
2
7
4sin cos222
A B C +-=． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．
【例6】 (2011年广东16)已知函数1()2sin()36
f x x x R π
=-∈，
（1）求5(
)4
f π
的值； （2）设106,0(3)(32)22135f f ππαβαβπ??
∈+=+=????
，，
，求cos()αβ+的值．
【例7】 (2011年重庆16)设()()2cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π??∈=-+- ???
，满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在114
24ππ??
????
，
上的最大值和最小值．
【例8】 (2011年四川17)已知函数73()sin cos ,44f x x x x R ππ???
?
=++-∈
?
??
??
?
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知()()44cos cos 55βαβα-=+=-，，02
παβ<<≤，求证：[]2
()20f β-=．
【例9】 已知函数()cos cos 33f x x x ππ????
=+-
? ?????
，()11sin 224g x x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合．
【例10】 已知半径为1，圆心角为3
π
的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积．
【例11】 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，
使其一边AD 落在圆的直径上，另两点,B C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点,A D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？
D
C B
A
O
2． 三角函数的值域的求法
【例12】 （2009年北京）已知函数()2sin()cos f x x x π=-．
（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[]62
ππ
-
，上的最大值和最小值．
【例13】 (2011年北京15)（本小题共13分） 已知函数()4cos sin()16f x x x π
=+-．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间64ππ??
-????
，上的最大值和最小值．
【答案】（I ）π；
(II) 当26
2
x π
π
+
=
，即6
x π
=
时，)(x f 取得最大值2；
当26
6
x π
π
+
=-
，
即6
x π
=-时，()f x 取得最小值—1．
【例14】 （2010年北京15）已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-．
（Ⅰ）求)3
(π
=f 的值；
（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值．
【例15】 （2011年湖南17）在ABC ?中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，
，且满足sin cos c A a C =． （1）求角C 的大小；
（2cos()4
A B π
-+的最大值，并求取得最大值时角A B ，的大小．
【例16】 （2007年湖北16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤?≤，设AB 和AC 的夹角为θ．
（I ）求θ的取值范围；
（II ）求函数2()2sin 24f θθθ??
=+- ???
π的最大．
【例17】 （2008年福建17）已知向量()sin cos m A A n ==，，1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域．
三角恒等变换公式大全
三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二 倍 角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门 八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换 α/4
题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ . cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin ) (;cos sin cos sin ) (.cos )(;cos )(;sin )(;sin )(.x x x x x 2203 132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθ θθθαα<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,5 4 cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,24,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==?? ? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπ απα? ?? ?? ? ? -??? ??---? -? -???72cos 36cos )2(;12 5cos 12 cos )1(.34cos 4sin )3(;2 3tan 23tan 1) 2(;2 cos 2 sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.12 4 4 2 2 ππ παα παα α α 求值：化简下列各式： 求下列各式的值：. )70sin(5)10sin(3.3. 2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312 sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最 取何值时当锐角?++?+=- ++-x x y θθθπ π
第十二章全等三角形学生版
`第十二章 全等三角形复习提纲 一、本章的基本知识点 知识点1 全等三角形的性质： 知识点2 全等三角形的判定方法： 一般三角形的判定方法： 直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有 知识点3 角平分线的性质： 符号语言： 知识点4 角平分线的判定方法： 符号语言： 知识点5 证明文字命题的一般步骤： 证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。 二、本章应注意的问题 1、全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记； ②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。 2、全等三角形的证明思路： ?? ? ?? ??? ???? ? ?????? ?? ? ???????? ????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（） 找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 三、解题技巧： 1）寻找全等三角形对应边、对应角的规律： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．
(3) 有公共边的，公共边一定是对应边． (4) 有公共角的，公共角一定是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角是对应角． ⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角) 2）找全等三角形的方法 （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 3）证明线段相等的方法： （1）中点定义；（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等； （4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。 4）证明角相等的方法： （1）对顶角相等；（2）同角（或等角）的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角、内错角相等；（4）角的平分线定义； （5）等式的性质；（6）垂直的定义； （7）全等三角形的对应角相等；（8）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。 5）证垂直的常用方法 （1）证明两直线的夹角等于90°；（2）证明邻补角相等； （3）若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；（4）垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。（5）证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6）邻补角的平分线互相垂直。 6）全等三角形中几个重要结论 （1）全等三角形对应角的平分线相等； （2）全等三角形对应边上的中线相等； （3）全等三角形对应边上的高相等。 四、全等三角形习题精选
三角恒等变换问题(典型题型)
三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式）
三角恒等变换~最全的总结·学生版
三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式： 考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、（二倍角公式）（2007文）下列各式中，值为 3 2 的是（ ） A ．2sin15cos15 B ．2 2 cos 15sin 15- C ．2 2sin 151- D ．22 sin 15cos 15+ 2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是 A.1 B. 1 2 C. 22 D. 32 3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于 A ．－1 2 B ．12 C ．－ 32 D ． 32 4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）. A ． s in45°cos15°+cos45°sin15° B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15° C ． cos75°cos30°+sin75°sin30° D ． 5、（拆角+两角和差公式）（一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式=- 5 cos 5sin 355cos 2（） A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．3 6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ） A ． 14 B ．18 C ．116 D ．1 32 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__. 7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为()A.1 2 B. 32C.3 4 D ．1 8．（诱导公式）【2015高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B A ．－ 12 B. 12 C 33 9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考，理12】=+ 75sin 15sin .. 10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________．
《三角恒等变换》综合检测1
专题五《三角恒等变换》综合检测题含答案 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为 （ ） Ａ．14 Ｂ．－1 4 2. 函数21()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ．1 6 Ｂ． 1322 Ｃ．322 Ｄ．1318 4. 化简1cos 2tan cot 22 ααα+-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+=-=，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== αβ+等于 （ ）
3A. 4 π 3B.4 4 ππ或 C.4 π ()3D.24 k k π π+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x = - 二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-=，则33sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、 证明过程和演算步骤. 15. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? -???? 上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α=，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;
全等三角形中的截长补短 学生版
第九讲 全等三角形中的截长 补短 中考要求 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或 最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
例题精讲 板块一、截长补短 【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中，60A ∠= ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠， BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A 4321 F D O E C B A 【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作 60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? N E B M A D 【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2 ∠DAM ．求证：AE =BC +CE ． M E D C B A 【例4】 (“希望杯”竞赛试题)如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】
三角恒等变换公式
三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：
sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2
全等三角形中的截长补短-学生版
第九讲 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角 形的性质 及判 定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和 性质，会用全等三角形的性质和 判定解决简单问题 会运用全等三角形 的 性质和判定解决 有关 问题 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的，公共边常是对应边. (4) 有公共角的，公共角常是对应角. (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角. (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边 (或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或 最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形中的截长 补短
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证 明的过程中，注意有时会添加辅助线. 奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明
简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】
全等三角形的提高拓展训练(学生版)1he全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 例题精讲 板块一、截长补短 【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和 .ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证 明． D O E C B A
三角恒等变换考点典型例题
江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二） 三角恒等变换 一、考点、要点、疑点： 考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符 号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝ ，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝
三角恒等变换综合(习题)
三角恒等变换综合（习题） ? 巩固练习 1. 已知1sin cos 5θθ+=，且π3π 24 θ≤≤，则cos2θ=（ ） A ．725 B ．725- C ．2425- D ．1 25 2. 已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos 2 θ 的值为（ ） A ．53- B ．5 3± C ． 2 2 D ．5 4± 3. 已知θ是第三象限的角，且445 sin cos 9 θθ+=，那么sin2θ的值为（ ） A ． 3 B ．3 - C ． 23 D ．23 - 4. 已知 11 1cos sin αα -=，则sin 2α的值为（ ） A 1 B ．12- C ．2 D ．2- 5. 已知sin cos αα-=(0π)α∈，，则tan α=（ ） A ．-1 B ．2 - C ． 2 D ．1 6. 设(2cos sin )(sin cos 3)0x x αα-++=，则x x x tan 12sin cos 22++的 值为（ ）
A ．85 B ．58 C ． 25 D ． 52 7. 若1 tan 4tan θθ+ =，则sin2θ=（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12 8. 设α为第四象限的角，若sin 313 sin 5 αα=，则tan2α=_________． 9. 已知sin 2cos 0θθ+=，则θ θ θ2cos 12sin 2cos +-的值为_________． 10. 若3sin cos 0θθ-=，则21 cos sin 22 θθ+的值是_________． 11. 已知1sin sin 4αβ+=，1 cos cos 3 αβ+=，则tan()αβ+的值 为__________． 12. 已知1 sin cos 3 αα+=，则cos4α=_____________． 13. 已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+（x ∈R ），则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数
北师大版初二(上)数学：全等三角形(学生版)
全等三角形概念和性质 1.全等形 （1）定义：能够________的两个图形叫做全等形。 理解要点：图形的全等与他们的位置无关，只要满足能够完全重合即可；而完全重合包含两层意思：图形的________、________；全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定全等。 （2）几种常用全等变换的方式：平移、翻折、旋转。 2. 全等三角形及相关的概念 （1）全等三角形的定义：能够________的两个三角形叫做全等三角形。 （2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点； ②对应边：重合的边；③对应角：重合的角。 （3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF。 符号“≌”的含义：“∽”表示_______，“=”表示________，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等。 （4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与__、AC与__、BC与__是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；③图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边（角）是________，最小的边（角）是对应边（角）。 （5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的________。对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角。 易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写。 3.全等三角形的性质 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的_________、_________。 易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等。 1.全等三角形对应角相等,对应角相等
高中数学函数、三角函数、三角恒等变换公式
函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
三角恒等变换中的综合问题
三角恒等变换中的综合问题 新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类: 1 三角函数式的化简 解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。 例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一 解原式= = == ∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα 点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。 练习:已知函数f(x)= ①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:) 2 三角函数的求值 求值题常见的类型及解法。 2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。
MSDC.初中数学.全等三角形C级.第01讲.学生版
内容 基本要求 略高要求 较高要求 全等三角形 了解全等三角形的概念，了解 相似三角形和全等三角形之 间的关系 掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用三角形全等的性质和判定解决有关问题 会利用全等三角形的知识解释或证明经过图形变换后得 到 的图形与原图形对 应元素间的关系 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 角平分线的两个性质： ⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性． 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线， 2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍， A B O P P O B A A B O P 例题精讲 中考要求 全等三角形
【例1】 AD 是ABC ?的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1 3 AE AC =． F A D E C B 【例2】 如图所示，在ABC ?中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ， 求证2CD EC =． E C B A 【例3】 在ABC ?中，90ACB ∠=?，1 2 AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ?，E 是CD 的中点，求证： AE EB ⊥且AE BE =． E D C B A
高一数学必修一三角恒等变换公式
三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。
知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】