【精品】光学信息技术原理及技术陈家壁第二版课后习题答案

第一章 习题解答

1.1 已知不变线性系统的输入为

()()x x g comb = 系统的传递函数??

?

??b

f

Λ。若b 取（1）50=.b （2）51=.b ，求系统的输出()x g '

。并画出输出函数及其频谱的图形。

答：（1）()(){

}1==x x g δF 图形从略， （2）()()()()()x s co f f δf δx g x x x πδ23

2+1=?

???

??1+3

1+1-31+=F 图形从略。

1.2若限带函数()y x,f 的傅里叶变换在长度L 为宽度W 的矩形之外恒为零， （1）如果L a 1<

，W

b 1<，试证明

()()y x f y x f b x a x ab ,,sinc sinc =*??

?

????? ??1 证明：

(){}(){}(){}()()(){}(){}()y x,f b x sinc a x sinc ab bf af rect y x f y x,f bf af rect y x f W

f L f rect y x f y x,f y x y x y

x *??

? ????? ??1==∴=????

??=,,F F ,,F ,,F F 1-

（2）如果L a 1>

， W

b 1

>，还能得出以上结论吗？ 答：不能。因为这时(){}(){}()y x y

x bf af rect y x f W

f L f rect y x f ,,F ,,F ≠???

? ??。

1.3 对一个空间不变线性系统，脉冲响应为 ()()()y x y x h δ77=sinc ,

试用频域方法对下面每一个输入()y x f i ,，求其输出()y x g i ,。（必要时，可取合理近似）

（1）()x y x f π4=1cos ,

答：

()(){}(){}{}{}()(){}{}

{}{}{}x

cos x cos f rect x cos y 7x sin x cos y x h y x f y x g x πππδπ4=4=???

?

????? ??74=74==1-1

-1-11-1F F F F F F F ,F ,F F ,

（2）()()??

? ??75??? ??754=2y rect x rect x cos y x f π, 答：

()(){}(){}{}()()(){}{}()()()()??? ??75??? ??754?????

????? ??77575?75*4=?

?

????7????????? ??75??? ??754==1-1-11-2y rect x rect x cos f rect f sinc 75f sinc x cos y 7x sin y rect x rect x cos y x h y x f y x g x y x ππδπF F F F F ,F ,F F ,（3）()()[]??

?

??758+1=3x rect x cos y x f π,

答：

()()[]()(){}(){}()()()()()()()()()()()(){}?

?? ??75=75????

?

????? ??775?????

????? ??7?

?? ??75*??? ??4+81+4-81+=??

??

????? ??775*8+1=?

?

?

???7????????? ??758+1=1-1-1-1-1-3x rect f 75f sinc f rect f 75f sinc f rect f δ75f sinc f f x f rect f δ75f sinc x cos y 7x sin x rect x cos y x g y x x y x x y x x x x y x δδδδδπδπF F F F F F F F ,

（4）()()()()()y rect x rect x comb

y x f 22*=4, 答：

()()()()(){}()(){}{}()()()()()()()()()()()()(){}()()

x π6cos x π2cos f f f f f f f f f f f rect f f δf f δf f δf f δf rect f sinc 2f sinc f f com b y 7x sin y rect x rect x com b

y x g y x y x y x y x y x x y

x y x y x y x x y x y x 1060-3180+250=3+0530-3-0530-1+1590+1-1590+=????????? ??7??? ??-3-2120-1+6370+1-6370+4

1=??

??????????? ??7???? ?????? ??2??? ??41=722*=1-1-1-1-2...,.,.,.,.,F ,.,.,.,F F F F F ,δδδδ0.25δδδ

1.4 给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波

()()x x rect x comb x g i Λ*??

???????

??50??? ??331

=

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 （1）()??

?

??2=f f H rect （2）()??

? ??2-???

??4=f f f H rect rect 答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形

{}{}[]21()()()()()3350(3)50sin (50)sin i x x G f g x comb rect x comb f c f c f

?

?????==*Λ???????????

?=*F

F

F

方括号内函数频谱图形为：

图1.4（1）

f c 2sin 图形为：

图 1.4（2）

因为f c 2sin 的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分量，因为此时f c 2sin 的最大值小于0.04%。故图解)(f G 频谱结果为：

图 1.4（3）

传递函数（1）形为：

图 1.4（4）

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：

????

????????-+++*??????-+++)32()32(171.0)50(sin 50)31()31(685.0)(f f f c f f f δδδδδ 其反变换，即输出函数为：

)50(322cos 342.032cos 37.11x rect x x ?????

?++ππ 该函数为限制在[]25,25-区间内，平均值为1，周期为3，振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5，振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。 传递函数（2）形为：

f

图 1.4（5）

此时，输出函数仅剩下在[]1,2--及[]2,1两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于传递函数（2）在[]1,1-的零值也是不能忽略的，由于

027.0)3

5

(sin 043

.0)34

(sin 22==c c

可以解得，通过传递函数（2）得到的输出函数为：

)50(352cos 027.0342cos 043.0x rect x x ?????

?

+ππ 该函数依然限制在[]25,25-区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043，周期为0.75，的一个余弦函数与振幅为0.027，周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数

()()ax a y x h 2=sinc ,

抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答：(){}(){}

()y x f δa f ax sinc a y x h ??

?

??==2

ΛF ,F ≤∞21=21≤

∴Y a

B X x ;

也就是说，在X 方向允许的最大抽样间隔小于1/2a ，在y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用b a ?表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即 ()()??

?

????? ??????????? ?????

??=b y a x Y y X x y x g y x g s rect rect comb comb ,, 试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复()y x g ,。 答：因为b a ?表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复()y x g ,也有贡献，不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”()()x y x f δ=,，系统对线脉冲的输出响应称为线响应()x L 。如果系统的传递函数为()

y x f f H ,，证明：线响应的一维傅里叶变换等于

系统传递函数沿x f 轴的截面分布()0,x f H 。

证明：(){}()(){}()()

()0,,,y δx y x y f H f f H f y x h x L ==*=δF F

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间x x B f ≤，y y B f ≤之外恒为零，系统输入为非限带函数()y x g ,0，输出为()y x g ,'。证明，存在一个由脉冲的方形阵列

构成的抽样函数()y x g ,'0，它作为等效输入，可产生相同的输出()y x g ,'，并请确定()y x g ,'

0。

答：为了便于从频率域分析，分别设：

物的空间频谱 00(,){(,)}x y A f f g x y =F ； 像的空间频谱 (,){(,)}i x y i A f f g x y =F ； 等效物体的空间频谱 00'(,){'(,)}x y A f f g x y =F ； 等效物体的像的空间频谱 00'(,){'(,)}.x y A f f g x y =F

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在,x x y y f B f B ≤≤之外恒为零，故可将其记为：

(,)22y x

x y x

y f f

H f f rect rect B B ??

??

? ? ?????

、 利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为

0(,)(,)22(,)

y

x x y x y x y

i x y f f A f f H f f rect rect B B A f f ????

? ? ?????

= 在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办

法是把0(,)22y x x y x y f f A f f rect rect B B

??

??

? ? ?????

安置在x y f f 平面上成矩形格点分布的每一个(2,2)x y B n B m 点周围，选择矩形格点在x f 、y f 方向上的间隔分别为2x B 和2y B ,以免频谱

混叠，于是

()00'(,)(,)2,222y x

x y x y x x y y n m x

y

f f

A f f A f f rect rect f

B n f B n B B δ∞∞

=-∞=-∞

????=*-- ? ? ?????∑∑

01

(,)22422y y x x x y x

y x y x y f f f f A f f rect rect comb comb B B B B

B B ????

????

=* ? ?

? ? ? ?????????

（1） 对于同一个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许0'(,)x y A f f 的中央一个周期成份（0n m ==）通过，所以成像的谱并不发生变化，即

0'(,)(,)22y x

x y x y x

y f f

A f f H f f rect rect

B B ??

?? ? ? ?????

'(,)i x y A f f = (,)i x y A f f =

图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对0A 和0'A 的作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为2x x f rect B ??

???

。

A'i (f X )=A 0(f X )H(f X )

A i (f X )=A 0(f X )H (f X )

f X

f X

f X

f X

H(f X )X A 0(f X )

图 题1.8

既然，成像的频谱相同，从空间域来看，所成的像场分布也是相同的，即 '(,)(,)i i U x y U x y =

00'()()2X

X X X

f

A f A f rect

B ??= ???

)X n

因此，只要求出0'(,)X Y A f f 的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即 {}1

00'(,)'(,)X Y U x y A f f -=F

带入（1）式，并利用卷积定理得到

1

1

001

'(,)(,)22422X Y X Y X Y X Y X Y X Y f f f f U x y A f f rect rect comb comb B B B B B B --?????????????

???

=????? ?

? ? ??????????????

?

?

?

F

F 1

0(,)(2)(2)22X Y

X Y X Y X Y

f f A f f rect rect comb B x comb B y B B -???????

?

=??? ? ?????????

F

（2）

上式也可以从抽样定理来解释。 0(,)22X

Y X Y X Y f f A f f rect rect B B ????

? ?????

是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x 方向是

12X B ，在y 方向是1

2Y

B ，就得到等效物场0'(,)U x y

1

0(,)22X Y

X Y X Y f f A f f rect rect B B -???????

?

?? ? ?????????

F

0(,)4sin (2)sin (2)X Y X Y U x y B B c B x c B y =*

04(,)sin [2()]sin [2()]X Y

X

y B B U c B

x c B y d d ξηξηξη∞

-∞

=-?-??； （3）

(2)(2)X Y comb B x comb B y

1

,422n m X Y

X

Y n m x y B B B

B δ∞

∞=-∞=-∞??

=

-- ???

∑∑ （4） 把（3）、（4）式代入（2）式，得到

00'(,)(,)sin [2()]sin [2()],22X Y n m X Y n m U x y U c B x c B y d d x y B B ξηξηξηδ∞∞∞=-∞=-∞-∞????=-?-?--?? ?

????

∑∑??利用δ函数性质（1.8）式，上式可写为

0'(,)U x y =

0(,)sin [2)]sin [2)],22X Y

n m X Y n m

U c n B c m B d d x y B B ξηξηξηδ∞∞

∞

=-∞=-∞-∞????

-?---?? ??

?

??∑∑?? 这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体0U 产生完全一样的像i U .

本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。

第二章 习题解答

2.1 一列波长为λ的单位振幅平面光波，波矢量k 与x 轴的夹角为0

45，与y 轴夹角为

060，试写出其空间频率及1z z =平面上的复振幅表达式。

答：λ23=x f , λ22=y f , ()()()0,0,0λ222λ

3πe x p j 2j k z e x p ,,11U y x z y x U ???? ??+=

2.2 尺寸为a 3b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面

上的透射光场的角谱。 答：()?

?

? ????? ??=b y rect a x rect y x U , ，??? ????? ??=??? ??λβλλcos b sinc αcos a sinc ab βcos λαcos A , ，

2.3 波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的

模板，其振幅透过率为()

??

? ?

?32+150=0λπ0

x cos x t .，求紧靠孔径透射场的角谱。 答:：

??

?

????? ????? ??31

++??? ?

?31-250+?

?? ??50=?

??

????? ?

???? ??1+33+?

?? ??1-3250+??? ??50=??? ??λβδλλαδλλαδλβλαδλβδλαλλδλαλ3λλβλαδλβλαcos cos cos cos cos cos cos cos δcos cos cos cos A .,..,.,

2.4 参看图2.13，边长为a 2的正方形孔径内再放置一个边长为a 的正方形掩模，其中心落

在()ηξ,点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出0==ηξ时，孔径频谱在x 方向上的截面图。

图2.4题

答：()

??

?

??-??? ??--?

?? ??2???

??2=000000a ηy rect a ξ

x rect a y rect a x rect y x t , (){}()()()()()()

y x y x y x f f a j2-exp af sinc af sinc a 2af sinc 2af sinc a y x t +-4=2

2

00π,F

()()()?????

???? ????? ??+??? ????? ??-??? ????? ??4???

?

??+1=

2222z y z x a j2-exp z λy a sinc z λx a sinc a z λy 2a sinc z λx 2a sinc a y x 2z k j exp jkz exp z λj y x U λλπ,

()2

222??

? ????? ??+??? ????? ??-??? ????? ??41=z y z x a j2-exp z y a sinc z x a sinc a z y 2a sinc z x 2a sinc a z y x I λλπλλλλλ2,

2.5 图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a ，长度为b ，中心相距为

d 。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z 的观察平面上夫琅和费衍

射图样的强度分布。假定a b 4=及a d 51=.，画出沿x 和y 方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差π，上述结果有何变化？

图 题2.5 （1）

答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,)2d 及(0,)2

d

-的矩形孔径振幅透射率之和：

000

00022(,)(

)()()()d d

x x y y t x y rect rect rect rect a

b a b

-

+

=+ （1） 由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

000(,)1U x y = ，

透射光场

000

0000000022(,)(,)(,)(

)()()()d d

y y x x U x y U x y t x y rect rect rect rect a

b a b

-

+

==+ （2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

(,)U x y ，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标,x y x

y

f f z

z

λλ=

=

），即

{}

2200exp()exp ()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z

λ??

+??

??=?F （3）

利用傅立叶变换的相移定理，得到

{}00000022(,)()()()()d d y y x x U x y rect rect rect rect a b a b ????-+????=+????????????

F F F

sin ()sin ()[exp()exp()]x y y y ab c af c bf j f d j f d ππ=?-+

2sin ()sin ()cos()ax by dy ab c c z z z

πλλλ=? 把它带入（3）式，则有

22exp()exp ()2(,)2sin ()sin ()cos()k jkz j x y ax by dy z U x y ab c c j z z z z

πλλλλ??

+??

??=

??

强度分布

2

2222(,)sin sin cos ax by dy ab I x y c c z z

z z πλλλλ??????

??= ?

?

? ?????????

不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：

11000000(,),,22x y d d t x y rect rect x y x y a b δδ?????????

?=*-++ ? ? ? ????

????????? （4）

它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。代入所给条件b=4a,d=1.5a

22224 1.58(,)sin sin cos ax ay ay a I x y c c z z z z πλλλλ????????= ?

? ? ???????

??

沿x 轴，此时0y f =

()22(,)8sin =x y x I f f a c af

中心光强：I(0,0)=8a 2 极小值位置为：(1,2,)x n

f n a

=

=±±

x 方向上强度分布的截面图示意如下：

图 题2.5 （2）

沿y 轴： 此时0x f =，故

()222(,)8sin (4)cos 1.5π=x y y y I f f a c af af

中心光强：I(0,0)=8a 2 极小值位置：12(1,2,)43y y n n f f n a

a

±=

=

=±±及

y 方向上强度分布的截面图示意如下：

图 题2.5 （3）

[][][]00000000000000111(,),exp ,22,exp ,222exp x y d d t x y rect rect x y j x y a b x y d d rect rect x y j x y a b d y x x rect rect j rect a b

a δπδδπδπ?????????

?=*--++ ? ? ? ???

?

??????????????????

?=*--++ ? ? ? ???

???????????

?- ???

?=-+

? ???? ??

?12d y rect b

??

+ ??

? ?? ??

?

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

011(,)1U x y = ，

透射光场,b=4a,d=1.5a 时

[][]110111*********(,)(,)(,)

22exp 0.750.75exp 44ππ=????-+ ? ?????

=-+ ? ?

? ????? ? ?

????

-+????????=-+ ? ? ? ?

????????

U x y U x y t x y d d y y x x rect rect j rect rect a b a b x y a x y a rect rect j rect rect a a a a （2） 由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

(,)U x y ，它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标,x y x

y

f f z

z

λλ=

=

），即

{}

2200exp()exp ()2(,)(,)k jkz j x y z U x y U x y j z

λ??

+??

??=?F （3）

利用傅立叶变换的相移定理，得到

{}[]0000000.750.75(,)exp 44x y a x y a U x y rect rect j rect rect a a a a π?-??+?

????????=-+????

? ? ? ????????????

?F F F ()22

8sin ()sin (4)exp( 1.5)exp 8sin ()sin (4)exp(1.5)πππ??=--+??

x y y x y y a c af c af j f j a c af c af j f ()28sin ()sin (4)exp( 1.5)exp(1.5)πππ=?--+x y y y a c af c af j f j j f

把它带入（3）式，则有

()

222222exp()exp ()2(,)8sin ()sin (4)exp( 1.5)exp(1.5)exp()exp ()428sin ()sin ()1.5 1.5exp exp()exp()222x y y y k jkz j x y z U x y a c af c af j z j f j j f k jkz j x y ax ay z a c c j z z z j y j y j j j z z λπππλλλπππππλλ??

+??

??=??--+??

+??

??=

?-?

???--++ ????

222exp()exp ()428sin ()sin ()1.5exp cos 22k jkz j x y ax ay z a c c j z z z y j z λλλπππλ?

????

+??

??=

?????

?-+ ?

????

?

强度分布

2

22222

22224 1.58(,)sin sin cos 24 1.58sin sin sin ax ay y a I x y c c z z z z

ax ay y a c c z z z z ππλλλλπλλλλ????????=+ ? ? ? ?

????????????????= ? ? ? ?

??????

??

2.6 图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为()()00=x x t step 。采

用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布。画出在x 方向上的振幅分布曲线。

图 题2.6

答：(

){}(){}()()??? ????

????2+??? ??21=??????21+

2

1

==000z y δx j z z x f δf j f x step y x t y x x λπλλδπδF ,F ()()()()??

? ?????? ?????? ??+21

-??? ??2=

???

????????2+??? ??21???? ??+1=

2

22z y 2z x z jk exp πz y z x z j jkz exp z y δx j z z x y x 2z k j exp jkz exp z j y x U λδx λλδλλπλλδλ,,

振幅分布曲线图从略。

2.7 在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：（1）不论孔径的形状如

何，夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。（2）若孔径对于某一条直线是对称的，则衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

证明：（1）在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布()y x g ,是一个实函数，其傅里叶变换()

y x f f G ,是厄米型函数，即： ()()

y x y x f f G f f G --=,,* 因此()()

()()y x y x y x y x f f I f f G f f G f f I --=--==2

2

,,,,*，所以夫琅和费衍射图样有一个对

称中心。

（2）孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y 轴建立坐标系。有： ()()y x g y x g ,,-= 因此 ()

()

y x y x f f G f f G ,,*

-= 同时 ()

(

)

y x y x f f G f f G --=,,*

所以

()()()

()()

y x y x y x

y x y x f f G f f G f f

G f f G f f G -==-=-,,,,,*

*

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8 试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N 个形状和方位都相同的全等形开孔，在每

一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：（1）置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射（该衍射屏的原点处不一定有开孔）；（2）N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为()

000y x t ,，N 个处于代表孔位置的点上的点光源表示为

()i

i

N

y y x x --∑,δ，则衍射屏的透过率可表示为

()(

)()i

i

N

y y x x y x t y x t --*=∑00000,,,δ，

其傅里叶变换可表示为

(){}(

){}()?

????

?--?=∑00000i

i

N

y y x x y x t y x t ,F ,F ,F δ，

该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。

2.9 一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数 ()??

?

?????

??21+21=2a r ar r t circ cos （1）这个屏的作用在什么方面像一个透镜？ （2）给出此屏的焦距表达式。

（3）什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置（特别是对于彩色物体）？ 答：（1）解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：

2211(,)cos[()]22t x y x y circ α??=++??????

2222111exp[()]exp[()]244j x y j x y circ αα??=+-+++??????

?

（1） （1）式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子2

2exp ()2k j

x y f ??-+????

比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似

与透镜，因子circ ?

?

表明该屏具有半径为l 的圆形孔径。 （2）解

把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于

221exp[()]4j x y α-+项，令1

2k f α=，则有 12k f π

αλα

=

= 焦距1f 为正，其作用相当于会聚透镜，对于

221exp[()]4j x y α+项，令2

2k f α-=，则有

12k f παλα

=-

=- 焦距2f 为负，其作用相当于发散透镜，对于“1

2

”这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅衰减，可看作是 3f =∞ （3）解

由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长λ成反比。例如取

red 6900A λ=。，blue 4000A λ=。

，则有

4000

6900

red blue f f =

0.57blue f ≈

这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。

这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.10 用波长为

A 6328=λ的平面光波垂直照明半径为mm 2的衍射孔，若观察范围是与衍

射孔共轴，半径为mm 30的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答：由式(2.55)221203

+4??)(L L z λπ及式(2-57))(2

12

020y x k z +??有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求 221203

+4??

)(L L z λπ即()mm z 7398=15+110?63280?4??32223-..π (

)

mm π

y x k z 64964=110

?63280=

+2

1??23

-2

020..

2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a 的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在

轴上的强度分布。