2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及答案【高一】

2016年全国高中数学联赛湖北预赛（高一）

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分）

1．已知函数()f x 满足：()12f =，()()

()111f x f x f x ++=-对定义域内任意x 都成立．那么

()2016f =__________．

2．不等式213328x x +-+≥的解集为__________．

3．从五个正整数,,,,a b c d e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{}44,45,46,47，则a b c d e ++++=__________．

4．求值：π3π5π7πcos cos cos cos 9999

+++=__________．5．ABC ?中，角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，D 是BC 的中点，若4a =，AD c b =-，则ABC ?的面积的最大值为__________．

6．如果存在实数a ，使得关于x 的不等式cos cos 21a b x +>无实数解，则实数b 的最大值为__________．

7．已知质数,p q 满足5221q p -=，则p q +=__________．

8．已知实数,x y 满足：23151222x y --+=，13x y

+≤，8328x y -≥．那么，xy =__________．9．已知MN

是边长为的等边ABC ?的外接圆的一条动弦，4MN =，P 为ABC ?的边上动点，则MP PN ? 的最大值为__________．

10．设[]a 表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ????

=+????????

的最大正整数解为__________．二、解答题（本题满分60分，每小题20分）

11．已知ABC ?得三边长,,a b c （a b c ≤≤）均为整数，且满足：

（1）,,a b c 构成等比数列；（2）,,a b c 中至少有一个等于100．

求符合要求的三元数组(),,a b c 的个数．

12．已知二次函数()2f x ax bx c =++满足条件：（1）42a b a -≤<-；（2）当1x ≤时，()1f x ≤．证明：当2x ≤时，()54

f x ≥-．13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1013f =

，且对任意实数,x y ，恒有()()()()f x f y f x y f x y =++-，若数列{}n a 满足()()31n a f n f n =--，*n N ∈．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令()22438n

n n a b a =-，*

n N ∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n S <．