2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)专题01 动点问题

专题1：动点问题

1. （2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=1

2

BC=

1

2

。

又∵OB=2，∴==。（2）存在，DE是不变的。

如图，连接AB

，则=

∵D和E

是中点，∴DE=

1

2

。

（3

）∵BD=x，∴OD=。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。

∴∠2+∠3=45°。

过D作DF⊥OE，垂足为点F

。

由△BOD∽△EDF，得

BD OD

=

EF DF

，即

x

EF

，解得

。

∴

11

y DF OE 0x 22<=?=。 【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=

12BC=12 ，在Rt△B OD 中利用勾股定理即可求出OD 的长。

（2）连接AB ，由△AOB 是等腰直角三角形可得出AB 的长，再由D 和E 是中点，根据

三角形中位线定理可得出。

（3）由BD=x ，可知OD =，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过

D 作DF⊥OE，则

，，，即可求得y 关于x 的函数关

系式。

∵=C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），

∴0x <。

2. （2012福建南平14分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ，且∠1=∠B=∠C．

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：结论一： ；结论二： ；结论三： ．

（2）若∠B=45°，BC=2，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合），

①求CE 的最大值；

②若△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．

（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

【答案】解：（1）AB=AC ；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形。

∴AC 2===。 ∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。

∴AD：AC=AE ：AD ，∴2AD AE

AC ==2= 。 当AD 最小时，AE 最小，此时AD⊥BC，AD=

12BC=1。

∴AE 的最小值为21=。∴CE 的最大值。

②当AD=AE 时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。

∴点D 与B 重合，不合题意舍去。

当EA=ED 时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。

∴AD 平分∠BAC，∴AD 垂直平分BC 。∴BD=1。

当DA=DE 时，如图2，

∵△ADE∽△A CD ，∴DA：AC=DE ：DC 。

。∴BD=BC－DC=2。

综上所述，当△ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为1或

2。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。

【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC ；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C 得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。

（2）①由∠B=∠C ，∠B=45°可得△ACB 为等腰直角三角形，则

AC 2===，由∠1=∠C ，∠DAE=∠CAD ，根据相似三角形的判定可得

△ADE∽△ACD，则有AD ：AC=AE ：AD ，即2AD AE

AC ==2=，当AD⊥BC，AD 最

小，此时AE 最小，从而由CE=AC －AE 得到CE 的最大值。

②分当AD=AE ，，EA=ED ，DA=DE 三种情况讨论即可。

3. （2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点B ，且顶点在直线x ＝

52

上． (1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若把△AB O 沿x 轴向右平移得到△DCE，点A 、B 、O 的对应点分别是D 、C 、E ，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接BD ，已知对称轴上存在一点P 使得△PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；

(4)在(2)、(3)的条件下，若点M 是线段OB 上的一个动点(点M 与点O 、B 不重合)，过点M 作∥BD 交x 轴于点N ，连接PM 、PN ，设OM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 和t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线y ＝23

x 2＋bx ＋c 经过点B(0，4)，∴c＝4。 ∵顶点在直线x ＝52上，∴b 5=2223

-?，解得10b=3-。 ∴所求函数关系式为2210y=x x+433

-。 （2）在Rt△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4

，∴AB 5=。

∵四边形ABCD 是菱形，∴BC＝CD ＝DA ＝AB ＝5。

∴C、D 两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，

当x ＝5时，2210y=55+4=433

?-

?； 当x ＝2时，2210y=22+4=033?-?。 ∴点C 和点D 都在所求抛物线上。

（3）设CD 与对称轴交于点P ，则P 为所求的点，

设直线CD 对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，

则5k+b=42k+b=0???，解得，4k=38b=3?????-??

。∴直线CD 对应的函数关系式为48y=x 33-。 当x ＝52时，4582y==3233?-。∴P(5223

，)。 （4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。 ∴

OM ON OB OD =，即t ON 42=，得t ON 2=。 设对称轴交x 于点F ，则

()PFOM 112555S PF OM OF=+t =t+223246

??=?+??? ???梯形。 ∵2MON 1111S OM ON=t t=t 2224

?=????， PME 1151215S NF PF=t =t+2222366

???=???-?- ??? ， MON PME PFOM S=S S S ??--梯形

2255115117t+t t+t +t 46466412??=---=- ???

(0＜t ＜4)。 ∵22117117289S=t +t=t +41246144??--- ???，104<-，0＜176

＜4， ∴当17t=6时，S 取最大值是289144。此时，点M 的坐标为(0，176

)。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据抛物线y ＝

23x 2＋bx ＋c 经过点B(0，4)，以及顶点在直线x ＝52

上，得出b ，c 即可。

（2）根据菱形的性质得出C 、D 两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x ＝5或2时，y 的值即可。

（3）首先设直线CD 对应的函数关系式为y ＝kx ＋b ，求出解析式，当x ＝

52时，求出y 即可。

（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出

OM ON OB OD =，得到t ON 2=，从而表示出△PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可。

4. （2012广东省9分）如图，抛物线213y=x x 922

-

-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．

（1）求AB 和OC 的长；

（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作直线l 平行BC ，交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．

【答案】解：（1）在21

3y=x x 922

--中， 令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）； 令y=0，即213x x 9=02

2-

-，解得：x 1=﹣3，x 2=6，∴A（﹣3，0）、B （6，0）。

∴AB=9，OC=9。 （2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴2AED ABC S AE S AB ????= ???，即：2

s m 19992

??= ?????。

∴s=

12

m 2（0＜m ＜9）。

（3）∵S △AE C =12AE?OC=92m ，S △AED =s=12m 2， ∴S △EDC =S △AEC ﹣S △AED

=﹣

12m 2+92m=﹣12（m ﹣92）2+818

。 ∴△CDE 的最大面积为818

， 此时，AE=m=92，BE=AB ﹣AE=92。

又BC =

过E 作EF⊥BC 于F ，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：EF BE OC BC

=，即：EF 9=。

∴EF = ∴以E 点为圆心，与BC 相切的圆的面积 S ⊙E =π?EF 2=72952

π。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C 点坐标；当y=0时，可确定A 、B 点的坐标，从而确定AB 、OC 的长。

（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s 、m 的函数关系式；根据题目条件：点E 与点A 、B 不重合，可确定m 的取值范围。

（3）①首先用m 列出△AEC 的面积表达式，△AEC、△AED 的面积差即为△CDE 的面积，由此可得关于S △CDE 关于m 的函数关系式，根据函数的性质可得到S △CDE 的最大面积以及此时m 的值。

②过E 做BC 的垂线EF ，这个垂线段的长即为与BC 相切的⊙E 的半径，可根据相似

三角形△BEF、△BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。

5. （2012贵州毕节16分）如图，直线l 1经过点A （－1，0），直线l 2经过点B(3，0), l 1、

l 2均为与y 轴交于点C(0，，抛物线2y=a x+bx+c(a 0)≠经过A 、B 、C 三点。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与x 轴交于点D 、与l 2交于点E 、与抛物线交于点F 、与l 1交于点G 。求证：DE=EF=FG;

(3)若l 1⊥l 2于y 轴上的C 点处，点P 为抛物线上一动点，要使△PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点P 的坐标，并简述理由。

【答案】解：（1）∵抛物线2y=ax +bx+c(a 0)≠经过A （－1，0），B （3，0），C （0

，）三点，

∴ a b c 09a 3b c 0 c ?-+=?++=??=?

，解得 a b c ?=????=???=???

。

∴抛物线的解析式为：2 （2）证明：设直线l 1的解析式为y=kx+b ，由直线l 1经过A （－1，0），C （0

，

，得

∴ k b 0 b -+=???=??，解

得k b ?=??=??，∴直线l 1的解析式为：

y=-

。

直线l 2经过B （3，0），C （0

，）两点，同理可求得直线l 2解析式为：

x 。

∵抛物线

)22x 1--， ∴对称轴为x=1，D （1，0），顶点坐标为F （1

， ）。

点E为x=1与直线l2：x令x=1，得y=，∴E

（1，）。

点G为x=1与直线l1：y=-的交点，令x=1，得y=-，

∴G（1，-）。

∴各点坐标为：D（1，0），E（1，），F（1，），G（1，-），它们均位于对称轴x=1上。

（3）如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1

交对称轴于H点，连接CF，PG。

△PCG为等腰三角形，有三种情况：

①当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1

满足P1G=CG。

∵C（0，，对称轴x=1，∴P1（2，）。

②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等

于CG。

如图，C（1，），H点在x=1上，∴H（1，。

在Rt△CHG中，CH=1，HG=|y G－y H|=|-－（），

==。∴PC=2．

∴由勾股定理得：CG2

如图，CP1=2，此时与①中情形重合。

==，∴点A满足PC=2的条件，但点A、又Rt△OAC中，AC2

C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。

③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.

∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形。

由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。

∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，）。

又CG cos CGE EG ∠==，∴∠CGE=30°。∴∠HCG=60°。 又P 1C=CG ，∴△P 1CG 为等边三角形。

∴P 1点也在CG 的垂直平分线上，此种情形与①重合。

综上所述，P 点的坐标为P 1（2， ）或P2（1， ）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）已知A 、B 、C 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）D 、E 、F 、G 四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE 、EF 、FG 的长度。D 是对称轴与x 轴交点，F 是抛物线顶点，其坐标易求；E 是对称轴与直线l 2交点，需要求出l 2的解析式，G 是对称轴与l 1的交点，需要求出l 1的解析式，而A 、

B 、

C 三点坐标已知，所以l 1、l 2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。

（3）△PCG 为等腰三角形，需要分三种情况讨论：CG=PG ，CG=PC ，PC=PG 。

6. （2012贵州遵义12分）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．

（1）当∠BQD=30°时，求AP 的长；

（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由．

【答案】解：（1）∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°。

∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。

设AP=x ，则PC=6﹣x ，QB=x ，∴QC=QB+C=6+x。

∵在Rt△QCP 中，∠BQD=30°，∴P C=

12QC ，即6﹣x=12

（6+x ），解得x=2。 ∴当∠BQD=30°时，AP=2。

（2）当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变。理由如下：

作QF⊥AB，交直线AB 的延长线于点F ，连接QE ，PF 。

∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。

∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ。

∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。

∴在△APE和△BQF中，

∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。

∴DE=1

2 EF。

∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=1

2 AB。

又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。

【考点】动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知

∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=1

2

QC，即6﹣

x=1

2

（6+x），求出x的值即可。

（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动

且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，

PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=1

2 AB，

由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。

7. （2012湖北宜昌12分）如图，在平面直角坐标系中，直线x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA 向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n

经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1）a．

（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；

（2）当点C与点A重合时，求a的值；

（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？

【答案】解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=

，

∴OA=1，

。∴A 的坐标是（0，1）。

∴tan∠ABO=OA OB == （2）∵△CDE 为等边三角形，点A （0，1），∴tan30°=

OD OA

。 ∴D

，0），E

，0）， 把点A （0，1），D

，0），E

，0）代入 y=a （x ﹣m ）2+n ，得

2221=am +n 0=a m +n 0=a m +n

???????- ?? ???????-?????

，解得a=3m=0n=1-?????。∴a=﹣3。 （3）如图，设切点分别是Q ，N ，P ，连接MQ ，

MN ，MP ，ME ，过点C 作CH⊥x 轴，H 为垂足，过A 作AF⊥CH，

F 为垂足。

∵△CDE 是等边三角形，∠ABO=30°，

∴∠BCE=90°，∠ECN=90°。

∵CE，AB 分别与⊙M 相切，∴∠MPC=∠CNM=90°。∴四边形MPCN 为矩形。

∵MP=MN，∴四边形MPCN 为正方形。

∴MP=MN=CP=CN=3（1

）a （a ＜0）。

∵EC 和x 轴都与⊙M 相切，∴EP=EQ。

∵∠NBQ+∠NMQ=180°，∴∠PMQ=60°。∴∠EMQ，=30°。

∴在Rt△MEP 中，tan30°=PE PM ﹣3）a 。

∴CE=CP+PE=3（1a+﹣3）a=﹣a 。

，CH=﹣3a ，BH=﹣a 。

∴OH=﹣，OE=﹣a 。

∴E（﹣，0），C （﹣，﹣3a ）。

设二次函数的解析式为：y=a （2

﹣3a ，

∵E 在该抛物线上，∴a（﹣a ）2﹣3a=0，

得：a 2=1，解之得a 1=1，a 2=﹣1。

∵a＜0，∴a=﹣1。

，CF=2，∴AC=4。

∴点C 移动到4秒时，等边△CDE 的边CE 第一次与⊙M 相切。

【考点】动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，直线与圆相切的性质。

【分析】（1）已知直线AB 的解析式，令解析式的x=0，能得到A 点坐标；令y=0，能得到B 点坐标；在Rt△OAB 中，知道OA 、OB 的长，用正切函数即可得到∠ABO 的值。

（2）当C 、A 重合时，可知点C 的坐标，然后结合OC 的长以及等边三角形的特性求出OD 、OE 的长，即可得到D 、E 的坐标，利用待定系数即可确定a 的值。

（3）作出第一次相切时的示意图，已知的条件只有圆的半径，那么连接圆心与三

个切点以及点E ，首先能判断出四边形CPMN 是正方形，那么CP 与⊙M 的半径相等，只要再求出PE 就能进一步求得C 点坐标；那么可以从PE=EQ ，即Rt△MEP 入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE 的长，即可求出PE 及点C 、E 的坐标．然后利用C 、E 的坐标确定a 的值，从而可求出AC 的长，由此得解。

8. （2012湖南常德10分）已知四边形ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点P 从B 开始，沿射线BC 运动，连结DP ，作CN⊥DP 于点M ，且交直线AB 于点N ，连结OP ，ON 。（当P 在线段BC 上时，如图1：当P 在BC 的延长线上时，如图2）

（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：

①BN=CP： ②OP=ON，且OP⊥ON

(2) 设AB=4，BP=x ，试确定以O 、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系。

【答案】（1）证明：如图1，

①∵四边形ABCD 是正方形，

∴OC=OB，DC=BC ，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB。

∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90°。

∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°。∴∠CPD=∠CNB。

∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD。

∵在△DCP 和△CBN 中，∠DCP=∠CBN，∠CPD=∠B NC ，DC=BC ，

∴△DCP≌△CBN（AAS ）。∴CP=BN。

②∵在△OBN 和△OCP 中，OB=OC ，∠OCP=∠OBN， CP=BN ，

∴△OBN≌△OCP（SAS ）。∴ON=OP，∠BON=∠COP。

∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90°。

∴ON⊥OP。

（2）解：∵AB=4，四边形ABCD 是正方形，∴O 到BC 边的距离是2。

图1中，

OBN BOP OPBN 11S S S 4x 2x 240x 422<

222>??=+=??+?-?=-四形（）（）边。 ∴以O 、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系是：

240x 4y=1 x x x 42

<<>???-??（）（） 。 【考点】正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。

【分析】（1）对于图1，证明线段相等，一般情况下找全等。根据BN ，CP 的分布情况 可以观察△CNB 和△DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN 和△DBP，证明AN=BP ，从而有BN=CP 。

对于图2，证明如下：

①∵ABCD 为正方形，AC ，BD 为对角线，∴∠DCP=90o。

∵CM⊥DP， ∴∠PCM=∠PDC。∴∠PDB=∠CAN。

又∵∠DPB=∠ANC，BD=AC ，∴△PDB≌△NCA（ASA ）。

∴PB=AN，DP=CN 。∴CP=BN。

②∵∠PDB=∠CAN，OD=OC ， CP=BN ，∴△PDO≌△NCO（SAS ）。

∴OP=ON，∠DOP=∠CON。

∵∠DOC=90o，∴∠PON=∠NOC+POC=∠DOP+∠POC=∠DOC=90o。∴OP⊥ON。

（2）求以O 、P 、B 、N 为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去

解决问题。图1中，S 四边形OPBN =S △OBN +S △BOP ，，；图2中，S 四边形OBNP =S △POB +S △PBN ，代入求出即可。

9. （2012湖南张家界10分）如图，⊙O 的直径AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点C 作

⊙O 的切线DC ，P 点为优弧 CBA 上一动点（不与A ．C 重合）．

（1）求∠APC 与∠ACD 的度数；

（2）当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形．

（3）P 点移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等，请说明理由．

【答案】解：（1）连接AC ，如图所示：

∵AB=4，∴OA=OB =OC=12

AB=2。 又∵AC=2，∴AC=OA=OC。∴△ACO 为等边三角形。

∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°， ∴∠APC=12

∠AOC=30°。 又DC 与圆O 相切于点C ，∴OC⊥DC。∴∠DCO=90°。

∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。

（2）连接PB，OP，

∵AB为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。

当点P移动到弧CB的中点时，∠COP=∠POB=60°。

∴△COP和△BOP都为等边三角形。∴AC=CP=OA=OP。

∴四边形AOPC为菱形。

（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。

当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：

∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。

在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC

∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。

综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA。【考点】切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。

【分析】（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即△AOC 为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数。

（2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为CB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，从而得到△COP与△BOP 都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形。

（3）点P有两个位置使△APC与△ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等。

10. （2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s 的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．

（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，且菱形ABCD 的边长为2， ∴AB=BC=2，∠BAC=12

∠DAB。 又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如图1，连接BD 交AC 于O 。

∵四边形ABCD 是菱形，

∴AC⊥BD，OA=

12AC 。

∴OB=12

AB=1，

运动ts 后，t ，AO=t ，∴AP AC =AQ AB

=。 又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.

∴PQ∥BC.

（2）如图2，⊙P 与BC 切于点M ，连接PM ，则PM⊥BC。

在Rt△CPM 中，∵∠PCM=30°，∴PM=12。

由PM=PQ=AQ=t t =t ，解得t=6-， 此时⊙P 与边BC 有一个公共点。

如图3，⊙P 过点B ，此时PQ=PB ，

∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°

∴△PQB 为等边三角形。∴QB=PQ=AQ=t。∴t=1。

∴当6t 1<≤时，⊙P 与边BC 有2个公共点。

如图4，⊙P 过点C ，此时PC=PQ ，即- =t

∴t=3。

∴当1≤t≤3-时，⊙P 与边BC 有一个公共点。

当点P 运动到点C ，即t=2时，Q 、B 重合，⊙P 过点B ，

此时，⊙P 与边BC 有一个公共点。

综上所述，当t=6或1≤t≤3或t=2时，⊙P 与菱形ABCD

的边BC 有1个公共点；当6t 1<-≤时，⊙P 与边BC 有2个公共点。

【考点】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30°角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，构建直角三角形AOB ．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。

（2）分⊙P 与BC 切于点M ，⊙P 过点B ，⊙P 过点C 和点P 运动到点C 四各情况讨论即可。

11. （2012江苏南通12分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，点D 是BC 边的中点．点P 从点B 出发，以acm/s(a ＞0)的速度沿BA 匀速向点A 运动；点Q 同时以1cm/s 的速度从点D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts ．

(1)若a ＝2，△BPQ∽△BDA，求t 的值；

(2)设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．

①若a ＝ 5 2

，求PQ 的长； ②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明

理由．

【答案】解：（1）△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，D 是BC 的中点，∴BD=CD=

12BC=6。 ∵a=2，∴BP=2t，DQ=t 。∴BQ=BD－QD=6－t 。 ∵△BPQ∽△BDA，∴BP BQ BD AB =，即t 6t 610-=，解得：18t=13

。 （2）①过点P 作PE⊥BC 于E ，

∵四边形PQCM 为平行四边形，

∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM 。

∴PB：AB=CM ：AC 。

∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。 ∴BE=12BQ=12

（6－t ）。 ∵a= 5 2，∴PB= 5 2

t 。 ∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE ：BD ，即51t (6t)22106

=－。 解得，t=32

。 ∴PQ=PB= 5 2t=154

（cm ）。 ②不存在．理由如下：

∵四边形PQCM 为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM 。

∴PB：AB=CM ：AC 。

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。

若点P 在∠ACB 的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，

∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。

∴PM=CM。∴四边形PQCM 是菱形。∴PQ=CQ。

∴PB=CQ。

∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t ，∴PM=CQ=6+t，AP=AB －PB=10－at ，且 at=6+t①。

∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP ：AB ，∴

6t 10at 1210+-=，化简得：6at+5t=30②。 把①代入②得，t=611

-。 ∴不存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上。

【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，反证法。

【分析】（1）由△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的

性质，

即可求得BD 与CD 的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可

求得t 的值。

（2）①首先过点P 作PE⊥BC 于E ，由四边形PQCM 为平行四边形，易证得PB=PQ ，又由平行 线分线段成比例定理，即可得方程51t (6t)22106

=－，解此方程即可求得答案。 ②用反证法，假设存在点P 在∠ACB 的平分线上，由四边形PQCM 为平行四边形，

可得四边形PQCM 是菱形，即可得PB=CQ ，PM ：BC=AP ：PB ，及可得方程组，解此方程组求得t 值为负，故可得不存在。

12. （2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数1y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ，与反比例函数2c y x

= 的图象相交于B （－1，5）、C （

25，d ）两点．点P （m ，n ）是一次函数1y kx b =+的图象上的动点．

（1）求k 、b 的值；

（2）设31m 2-<<

，过点P 作x 轴的平行线与函数2c y x

=的图象相交于点D ．试问△PAD 的面积是 否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设m 1a =-，如果在两个实数m 与n 之间（不包括m 和n ）有且只有一个整数，求

实数a 的取值

范围．