高阶微分方程
第五章高阶微分方程
§1 几个例子
一、【内容简介】
本节结合几个具体的实例，介绍了与高阶微分方程有关的定解条件、定解问题和高阶微分方程的降阶技巧。
二、【关键词】自治微分方程
三、【目的与要求】
掌握高阶微分方程的降阶技巧，能熟练地运用降阶法解二阶方程，会用已有知识建立高阶微分方程及其相应的条件解决简单的几何、物理问题。
四、【教学过程】
§2 n维线性空间中的微分方程
一、【内容简介】
在这一节里，主要介绍如何把n阶微分方程式化为标准微分方程组并采用向量的记号，将标准微分方程组写成向量的形式，从而可以从理论上把n维向量形式的微分方程的研究与一阶微分非常的研究统一起来。
二、【关键词】模；线性微分方程组
三、【目的与要求】
掌握将高阶微分方程化成等价的n阶标准微分方程组的方法；会叙述n维向量形式的微分方程和n阶线性微分方程组相应的毕卡存在和唯一性定理；掌握n 阶线性微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。
四、【教学过程】
§3 解对初值和参数的连续依赖性
一、【内容简介】
在这一节里，主要讨论解对初值和参数的连续依赖性，由于解对初值和参数的连续依赖性问题可归结为解对参数的同一问题。因此我们只讨论方程的解对参数的连续依赖性。
二、【关键词】参数；连续依赖性
三、【目的与要求】
解对初值和参数的连续依赖性定理揭示了微分方程的解的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。
四、【教学过程】
§4 解对初值和参数的连续可微性
一、【内容简介】
本节主要讨论解对初值和参数的连续可微性。如上一节一样，只考虑方程的解对参数的连续可微性。
二、【关键词】 连续可微性；变分方程 三、【目的与要求】
与上一节一样，解对初值和参数的连续可微性揭示了微分方程的重要性质，要求弄清它的含义并正确地理解便于今后的应用。
四、【教学过程】 教学过程
前面我们主要讨论的是关于一阶方程的几个初等解法，在实际应用中，大多数微分方程是高阶的。二阶以及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。对于高阶微分方程没有较为普遍的解法，下面我们通过例题介绍几种高阶微分方程的解法。这些解法的基本思想就是把高阶微分方程通过某些变换降为低阶的微分方程。
§1 几个例子
若方程不明显包含字变量，即：
0),,,()('=n y y y F （1）
这类方程叫作自治（或驻定）微分方程。
若方程明显包含字变量，即：
0),,,,()
('
=n y
y y x F （2）
这类方程叫作非自治（或非驻定）微分方程。
对于（1）可考虑降阶。令
dx
dy z =
，则 ?????
??????=+=??+?==?=?==--),,,()()()(1122332
222n n n n dy z d dy dz dx y d dy dz dy z d dx dy dy dz dy dz dx dy dy dz
dy d dy dz dx d dx
y d dy dz dx dy dy dz dx dz dx y d z z z z z z ψ
代入（1），则得一个n-1阶的微分方程0),,,,(1
1
1=--n n dy z d dy dz z y F
例
)(2
2x f dt x d = （3）
这是一个二阶的自治方程。令
dt
dx v =，则 dt
dx dt dx dx dv dt dv dt x d v ?=?==2
2
代入（3）则得一阶方程)(x f v dx dv
=
分离变量积分得1
211212
2
1)()(c X F c dx x f v -=-=? 或
12)(2c X F v -= （4）
其中
1c 是常数，)(x F 是)(x f 的一个原函数。
对于固定的
1c ，
（4）是一个一阶微分方程 1)(2c x F dt
dx -±=
分离变量，积分得21),(c t c x G +=， （5）
其中
2c 是第二个常数，而?-±
=1
)(21),(c
x F dx c x G ，
称（5）为微分方程（3）的通积分。
例1、 单摆方程
取一根长度为l
的细线OM ，把端点
o 固定在一顶板上，而另一端点M 挂上
一个质量为m 的小球，将小球拉离平衡位置，然后松开，让它在一垂直平面内自由摆动，这样就构成一个单摆。（设单摆除重力外不受其他力的作用）。
设直线OM 与垂线op 的有向夹角为x ，并设逆时针方向为正，则单摆的振
动可以用弧度)(t x x =
来描述，单摆振动时，M 端只能在圆周上运动，且它的
角速度为dt
dx ，切线速度为
dt dx l ?，切向加速度为2
2
dt
x d l ?。 现将重力mg 分解到切线T 及向径N 上，在T 上的分力为x mf T
sin -=
其中负号的力学意义：T 与x 的方向总是相反的)|(|π 号。 由牛顿第二定律，即可得单摆的运动方程为：x mg l m dt x d sin ) (2 2 -= 或写 成 0sin 22 2 =+x a dt x d （6） 其中常数0>= l g a 方程（6）为自治方程，可以用上述方法降阶，令 ,,22 dx dv dt x d dt dx v v ==则得 0sin 2=+x a v dx dv 或写成xdx a dv sin 22 2 1-= 这是一个v 为函数x 为自变量的一阶微分方程，积分得 1212221cos c x a v -=，上式可改写为12cos 2c x a dt dx -±= （7） 分离变量积分得 21 cos 22c t c x a dx +=? -± 上式出现了椭圆积分，为了克服这一困难，我们可以利用x sin 的泰勒级数 +-+-=7! 715!513!31sin x x x x x 线性化。即当||x 很小时，x x ≈sin ，可用线性方程 022 2=+x a dt x d （8） 来代替方程（6）。 对于方程（8），以dt dx 乘以方程（8），即得022 2=+dt dx x a dt x d dt dx 对它可以直接积分，得 2 12222 121)(21c x a dt dx =+ （01≥c ） 或 21222)(c x a dt dx =+ 于是有 2221x a c dt dx -±= 分离变量积分得通积分 21 )arcsin(1c t c ax a += 由此求得通解 )sin(D at A x += （9） 其中 01 ≥=a c A 2ac D = 是两个任意常数。 由通解（9）可见，当0=A 时，得到单摆的静止状态：0=x 0== dt dx v ； 当 0>A 时，单摆将以A 为振幅，a 为频率作简谐振动。 由（9）可知，单摆将作周期振动，而且周期g l a T ππ22== 由此说明，单摆的振动周期只与单摆的长度l 和重力加速度g 有关，而与初始条件无关。这就是所谓单摆振动的等时性。老式的单摆钟就是利用了这种“等时性”。 例2 悬链线方程 设一理想的柔软而不能伸缩的细线，将两端挂在支点A 和B 上，由于受重力的作用，自然弯曲，试求悬链线的形状 )(x y y =。 这个问题是历史上的名题，最初1690年由詹姆斯?贝努里提出来，伽里略曾猜想这条曲线是抛物线，但是后来发现不对，最后由约翰?贝努里解决了，莱布尼兹把它命名为悬链线。下面就来解决这一问题。 设在xy 平面上，悬链线的最低点为M ，过M 作垂直线为y 轴，在上取一点 O ，OM 的长度后面再确定，过O 点，取与y 轴垂直的直线为x 轴（如图） 对于曲线AB 是任意一点P ，在MP 弧段上H T ,为张力，W 为重力。由于MP 处于平衡状态，则有 s W T H T 0sin ,cos ρθθ=== 0ρ为单位长度的重量，s 为MP 弧长。 消去T ，得 H s 0tan ρθ= 令 a H =0 ρ 则有 as dx dy = 为了消去s ，将上式求导得 dx ds a dx y d =22 而 2)(1dx dy dx ds += 代入得 222 )(1dx dy a dx y d += （10） 此方程是一个二阶的自治系统，令'y z =，则方程（10）降为一阶方程 21z a dx dz +=，分离变量积分，得 12|1|ln c ax z z +=++ 因为当0=x 时，0'==y z ，代入得01=c 从而得 ax z z =++|1|ln 2 即 ax e z z =++21 （11） 由此又可得 ax e z z --=+- 21 （12） （11）+（12） 得)(2 1ax ax e e z --= 即 )(2 1ax ax e e dx dy --= 积分，得 2)(21c e e a y ax ax ++= - 若把x 轴取在合适的位置，使当x =0 时 a y 1= 代入 得 02=c 于是所求悬链线方程为chax a e e a y ax ax 1 )(21=+=- 例3 二体问题 天体运动中的二体问题是历史上一个著名的问题，牛顿早在发明微积分的同时，就研究了二体问题。 假设太阳是静止的，它的质量为S m ，地球的质量为E m ，由于太阳系中除太阳外所有行星的总质量远小于S m ，因此我们可以忽略别的行星的作用。现把坐标系的原点取在太阳S 上，这就构成了一惯性坐标系，地球E 的坐标向量为))(),(),(()(t z t y t x t r = ，则E 的速度和加速度分别为 ))(),(),(()(t z t y t x t r = ))(),(),(()(t z t y t x t r = 由牛顿第二定律 a m F = ，则地球的惯性力为 ))(),(),(()(t z t y t x m t r m E E = 再根据万有引力定律，可建立地球的运动方程为| )(|)(|)(|)(2t r t r t r m Gm t r m S E E -= 即 3 |)(|)()(t r t r Gm t r S -= （13） 将（13）写成分量形式，即得如下的非线性方程组 ????? ? ?????++-=++-=++-=3 22232223222)()()(z y x z Gm z z y x y Gm y z y x x Gm x s s s （14） 这是一个自治的微分方程组。 求解这种高阶非线性方程组常用首次积分，由（14）可以得到 02222=-dt z d y dt y d z 即 0)(=-dt dz y dt dy z dt d 由此可得一个首次积分 1c z y y z =- （15） 其中1c 是任意常数，同理可得： 2c x z z x =- （16） 3c y x x y =- （17） 这里2c ，3c 都是任意常数。 用x 乘以（15），y 乘以（16），z 乘以（17），然后相加得， 0321=++z c y c x c 这就是地球运行轨道所在平面的方程，这就证明了地球运行的轨道永远在一平面上。即二体问题是一个平面问题。下面设这个平面为x ，y ，坐标平面。即地球的轨道永远在平面z =0上，那么描述地球位置的坐标只要两个，即x 和y ，而运动的方程为一个4阶方程： ??? ???? +-=+-=2 322 2 322) () (y x uy y y x ux x （18） 其中 S Gm u = 用y 乘以（18）的第一式，用x 乘以（18）的第二式，相减得： 0)(=-y x x y dt d 由此可得一个首次积分 4c y x x y =- （19） 用 x z 乘以（18）的第一式，用y z 乘以（18）的第二式，相加得： 2 3 22)()(y x y y x x zu y y z x x z ++-=+ 即 21 2 222)(2)(-+=+y x dt d u y x dt d 由此又得到一个首次积分 52 1 2 222)(2c y x u y x =+-+- （20） 为讨论方便，引进极坐标 θ θsin ,cos r y r x ==，那么 dt d r d dr x θθθθ)sin cos (-= dt d r d dr y θ θθθ)cos sin (+= （21） 代入（19）得 42 c dt d r =-θ （22） 即有 422 1 21c dt d r -=θ 注意在dt 时间内向量r 扫过的扇形面积为θ d r 22 1，故向量r 在单位时间扫过 的面积为dt d r θ221。这样就得到了开普勒第二定律：从太阳到行星的向量在单 位时间内扫过的面积是常数。 将（21）代入（20），得：522 22)]()[(c r u dt d r d dr =-+θθ 即 5222)()( c r u dt d r dt dr =-+θ （23） 注意到（22）式有 r u r c c r u dt d r c dt dr 22)()(2245252+-=+-=θ 2 4 4245242224245)()(2)(c u r c c u c c u r u r c c u c --+=-+-+= 为使上式有意义，我们设0)( 2 45>+c u c 因此有244245)()(c u r c c u c dt dr --+±= 再利用（22），推得24 42454 2)()( c u r c c u c c r d dr --+= θ 从而得 θd c u r c c u c r c d =--+2442454 )()( )( 积分得024 54 4)( arccos θθ-=+-c u c c u r c 其中0θ为任意常数，若又记02 4 >= u c p ,0)( 2 4 54>+=c u c u c e 则可得行星运行轨道方程) cos(10θθ-+= e p r (24) 由平面解析几何知，（24）表示一条二次曲线，当1 0< 示地球运行轨道为椭圆，且它以坐标原点为焦点。这表明太阳正好是这个椭圆的一个焦点。此时e是离心率。这样又得到了开普勒的第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。利用上面类似的推演，牛顿还证明了开普勒的第三定律。 第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212 211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f 哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：高阶微分方程的解法及应用 院（系）理学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名刘晓辉学号09031212 指导教师徐亚兰职称副教授 2013年6月1日 哈尔滨学院本科毕业论文（设计） 目 录 摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15) 3.1 形如()n n d y f x dx =的高阶方程 (15) 3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y += 的高阶方程 ................................................................. 16 3.3 形如()(,,,)0n F y y y '= 的高阶方程 ............................................................................. 17 3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26) 毕业论文文献综述 数学与应用数学 概周期函数的定义及其性质 一、前言部分 函数在日常生活中扮演越来越重要的角色,而概周期函数正成为函数的一个重要组成部分. 概周期函数是在20世纪20年代由丹麦著名数学家H.Bohr首先提出的,它为了解决周期函数对加法运算不封闭而创造的一类新函数.在二、三十年代有了进一步发展，包括概周期函数的调和分析理论以及1933年由S.Bochner所建立的Bannch空间向量值概周期函数的理论.往后的发展更密切的联系着常微分方程、稳定性理论和动力系统，其应用范围不仅限于常微分方程和古典动力系统，也涉及泛函数微分方程、Banach空间微分方程以及一类广泛的偏微分方程. 经过几代数学家的努力,概周期函数理论有了巨大的发展,但是还有许多有待解决的问题. 首先,抽象空间中的概周期函数理论已经被广泛研究,伪概周期函数作为概周期函数的一种推广,在微分方程理论中有重要的应用,但是距离空间中的伪概周期函数理论尚未建立.随着科学技术的发展，学者们首次在距离空间中定义了向量值伪概周期函数,考察了该函数的性质,给出了距离空间中的函数是伪概周期函数的充要条件,即唯一分解定理:距离空间中的伪概周期函数和概周期函数之间的距离是一个唯一的遍历扰动. 其次,求微分方程的概周期函数型解和概周期微分方程的求解在数学理论方面也有了很大的进步,在常微分,偏微分方程及抽象微分方程,光滑动力系统都有应用.学者们研究了非线性抛物方程有界解的存在唯一问题.主要通过先验证非齐次Cauchy问题有界解是存在唯一的,并得出解的表达式,应用这个表达式及压缩映像不动点定理证明非线性Cauchy问题的有界解是存在的,并给出了解存在的条件. 最后,学者们也看到了Fréchet空间中的渐近概周期函数和算子半群的性质,并将得到的结果应用到抽象Cauchy问题中,得出Fréchet空间中抽象Cauchy问题的渐近概周期解是存在且唯一的. 而本文介绍的概周期函数又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数.概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的.三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数.而三角和序列的极限却未必是周期函数.但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画.关于概周期函数,我们可以从两个不同 全微分方程及积分因子 全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1 )(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y 高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根 页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 概周期函数 又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数。概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。三角多项式以及 三角多项式序列的极限都是周期函数。而三角和(сj为复数,λj为实数)序列的极限却未必是周期函数。但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画。考虑最简单的情形，两个连续周期函数?(x)及g（x）的和函数S(x)=?(x)+g(x)，设F为?(x)的周期，G为g(x)的周期。如果F 和G是可公度的,即存在正整数n1和n2，使得n1F=n2G,那么S(x)也为一周期函数，而且以n1F=n2G为周期。但当F和G是不可公度时,虽然不存在整数n1和n2，满足 , 但由有理数集的稠密性原理可知:存在正整数n1和n2，使得 |n1F－n2G|<δ,这里，δ是事先任给的正数。从而，存在数τ满足 |n1F－τ|<δ及|n2G－τ|<δ。还可以进一步证明更强的结论：对任给的δ>0,存在着正数l(δ)，使得在每一个长为l(δ)的区间内至少有一数τ满足上式。这样，由?(x)和g(x)的连续性、周期性以及上述事实便得到：对任给的ε>0,存在着正数l(ε)，使得在每一个长为l(ε)的区间内至少有一数τ，满足│S(x+τ)-S(x)│<ε。上式虽然并不说明S(x)为周期函数，但它具有近似的周期性。一般来说，可以给出如下的精确描述：设?(x)为定义于实轴上的复值连续函数，如果τ满足 ， 就称τ为?（x）的属于ε的平移数。若对任一ε>0，存在l(ε)>0,使得长度为l(ε)的区间内至少包含一个?(x)的属于ε的平移数,则称?(x)为概周期函数。任一周期函数必为概周期函数；由上可知，任意有限个周期函数的和函数也必为概周期函数。因而，复值三角和 必为概周期函数。概周期函数理论中的一个重要结果是：?(x)为概周期函数当且仅当?(x)可以用上述的三角和序列来一致逼近。 概周期微分方程 其右端函数对自变量是概周期函数的微分方程；即在方程 (1) 中,?(x,t)是t的概周期函数。这里x是n维向量,?(x,t)是n维向量函数。概周期微分方程的发展历史不长,但由于它具有实际背景(如天体力学和非线性振动的问题)而显示出生命力。特别是，1945年，A.H.柯尔莫哥洛夫利用无理性条件，指出哈密顿系统具有拟周期解。1963年，Β.И.阿诺尔德又给出严格证明，由此证明了太阳系不稳定的概率为零，解决了平面限制性三体问题的稳定性问题，从而使P.-S.拉普拉斯提出的已历时二百年的太阳系稳定性问题有了重大的突破。这样，概周期微分方程就更显出它的重要性。 对概周期方程（也称概周期系统）(1),主要是讨论其概周期解的存在性和稳定性。线性微分方程是微分方程论的基础，因此概周期线性微分方程的结构以及概周期解的摄动理论也是概周期系统的重要课题。 线性系统法瓦尔性质对概周期线性系统 ， (2) 式中A(t)是n×n概周期方阵；?(t)是n维概周期向量函数，定义A(t)的外壳为 。 法瓦尔提出这样的条件：对于(2)的齐次外壳方程系 (3) 的任一非显易的有界解x B(t)，总满足关系式 ， 高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现. 第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n = § 4高阶微分方程与微分方程组 、 高阶微分方程与微分方程组的互化 已给一个n 阶方程 y n = f x,y,y ；y , ,y 心 设y i =y,y 2=y',y 3=y",…,y n =y (n-i)，那末解上面n 阶微分方程就相当于解下面n 个一阶微分方程的方 程组 dy i ~r = y2 dx dv^_y -y 3 dx dy n 」 ~T~ = y n dx 孚=f(x,y i ,y 2,…,yn ) dx 式中y i ,y 2,…,y n 看作自变量x 的n 个未知函数. 反过来，在许多情况下，已给n 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个 n 阶微分方程. 比如，两个一阶微分方程的方程组 字二 f i x, %,y 2 字=f2(x, y i , y2 ) .dx 将方程(1)对x 求导数 记作 从方程(1)中解出y 2 y 2 二 y 2 x,y i ,y i 代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程 d 2y i 宀 2 x, y i , y i dx 这里函数「x, y i , y i 由函数f i , f 2所确定，因而是已知的?所以两个一阶微分方程组可以化为 一个二阶微分方程? 二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法 i. y (n) = f (x ) 将方程写成 dx d 2y i dx 2 f i ；:f i 上 —i 1 f i - L 、、 l 、、 ' x ;y i ；:f 1 斜 d 2y i dx 2 二 F x, y i , y 2 2 若不能解出y (n)，但原方程可写成参数形式： y (n -1)=?(t), y (n )=Xg(t) d n-1)= yOdx -pdt c,y n ，」t 按类型2的方法，可得通解(参数形式) 申7t \ dt c,y =心 t,G,C 2, ,C n 4 4. F (y (n-2), y (n)尸0 设方程可解出y (n ): 积分后得到 yC 」)=f f (x 0X + G ?X0 重复这一过程到积分n 次，就得到微分方程的通解： (X ]dx f + 斗二￥ + 空X 二磐 + …+C 」X — X 。)+ c n (n —1! (n —2) X X f X X 0 f 2. 1 2 nf d ?筈存途厂… (n)、 1 = ----- | n -1! F (x ,y (n) )=0 若能解出y (n )，则方程化成类型1求解. 若不能解出y (n )，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解: F(「(t)>(t)尸 0 则原方程可写成参数形式 x= (t), y (n )='- (t) 由 d n-1)= y (n )dx= (t) '(t)dt 得 y (n 」)=(屮(t 卩 \t )dt ，1(t,G ) 又由 y (n-2)=y (n-1)dx=-'1(t,c 1) '(t)dt 得 yD=胖‘id 卩 ? pt +C 2 =屮 2(t,C 1,q ) t , y ^! n t,C 1，C 2，,C n 3. F (y (n-1), y (n) )=0 1 若从方程可解出y (n ): 则令y (nT )=Z ,上式化成 y (n )=f(y( n-1)) ◎f z dX 这是变量可分离的方程，设解为 那末化成类型1 其通解为 z= '(X,Cj y (n -1)= ,(x,q) C 2 n-2! Gd 花宀。一 C n 则从 y = n 设函数(t),‘-(t) (: 1.5 全微分方程及积分因子 一、全微分方程的定义及条件 则它的全微分为 是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy y U dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了方程 0),(),(=??+??dy y y x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分 . ),(c y x U = 定义1使得 若有函数),,(y x U dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0 =+ydx xdy 0 )2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0 )()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义 需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程? (2) 若(1)是全微分方程,怎样求解? (3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件 定理1则方程 偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M ) 1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是 ). 2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(, 0),(),(=+dy y x N dx y x M 证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得 则有函数),,(y x U dy y U dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M x U =??),(y x N y U =??从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ??????,22y x U x y U ???=???故.),(),(x y x N y y x M ??=??y x U y N x y U y M ???=?????=??22 , 一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y = 全微分方程的不定积分解法及其证明 一个一阶微分方程写成 P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy = 0 ⑴ 形式后，如果它的左端恰好是某一个函数u= u (x,y ) 的全微分： du (x,y ) = P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 那么方程⑴就叫做全微分方程。这里 5u 5x = P (x,y ）， 5u 5y = Q (x,y ) 方程⑴就是du (x,y ) = 0,其通解为： u (x,y ) = C(C 为常数） 可见，解全微分方程的关键在于求原函数u (x,y ）。因此，本文将提供一种求原函数u (x,y ) 的简捷 方法，并给出证明。 1引入记号 为了表述方便，先引入记号如下： 设M (x,y ) 为一个含有变量x,y 项的二元函数，定义： ⑴“M (x q ,y ) ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量x 的项; ⑵“M (x,y q ）”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量y 的项； 注意：常数项看作既不含变量x 也不含变量y 的项。 现举一例如下： 设：M (x,y ) = xy + x ey+ x 1- x + sinx+ co sx co sy + y 2+ 1 按记号定义有： M (x q ,y ) = M (x,y ) - (x y + x ey + x 1 - x + sinx + co sx co sy ) = y 2 + 1 M (x,y q ）= M (x,y ) - (x y + x ey + co sx co sy + y 2) = x 1 - x + sinx + 1 2u (x,y ) 的简捷求法 引理设开区域G 是一个单连通域，函数P (x,y ),Q (x,y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，则 P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 在G 内为某一函数u (x,y ) 的全微分的充分必要条件是等式 5P 5y = 5Q 5x §4 高阶微分方程与微分方程组 一、 高阶微分方程与微分方程组的互化 已给一个n 阶方程 ()()() y f x y y y y n n ='''-,,,,, 1 设y 1=y ,y 2=y',y 3=y",…,y n =y (n -1)，那末解上面n 阶微分方程就相当于解下面n 个一阶微分方程的方程组 ()????? ?? ??????====-n n n n y y y x f x y y x y y x y y x y ,,,,d d d d d d d d 2113221 式中y 1,y 2,…,y n 看作自变量x 的n 个未知函数. 反过来，在许多情况下，已给n 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n 阶微分方程.比如，两个一阶微分方程的方程组 () ()?????==21222111 ,,d d ,,d d y y x f x y y y x f x y (1) 将方程(1)对x 求导数 221 11112 12d d f y f f y f x f x y ??+??+??= 记作 ()212 1 2,,d d y y x F x y = (2) 从方程(1)中解出y 2 ()y y x y y 2211=',, 代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程 ()1 121 2,,d d y y x x y '=Φ 这里函数()1 1,,y y x 'Φ由函数f 1，f 2所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程. 二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法 1. y (n ) = f (x ) 将方程写成 ()()x f y x n =-1d d 积分后得到 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy 关于高阶线性微分方程的一般解法 林文业 湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239 (本文曾于2000年在《湛江师范学报.增刊》发表) 摘要: 对于一般的高阶线性微分方程,本文建立起其解法基本理论,并在此基础上求出了它的通解,从而肯定了一般高阶线性微分方程在它的定义域上可解,并具有解的一般形式. 关键词: 高阶线性微分方程; 解法定理; 一般解法 一. 简单规定 本文所考虑的数都是实数, 所考虑的函数都是实函数,m 、n 、k 为自然数.在不改变多重积分函数性质的情况下,作出如下简记: n n dx x f dx dx dx x f ))(())))((((?=????? n 重 n 重 以下“…”号均表示n 重 2 ) ())(( ) )()))()()((()(()(n n n n n n n n n dx x p dx dx dx x p x p x p ????=?? n x x n n t x t x x x dx x f dt dt dt t f n ))()(())))((((01 1 1100??? ?=??-- 2 )())(( ))()))()()(( ()(( )(n n x x n n n n x x n x x n x x n dx x f dx dx dx x f x f x f ? ? ? ? =?? 二.预备定理及推论 预备定理1: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且对任意[]b a x ,∈,都有 )()(x g x f ≤,则 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理2: 若函数)(x f 在区间[]b a ,上可积,则函数)(x f 在[]b a ,上也可积,且 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t f dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理3: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且m x f ≤)(,0>m ,则 1 10011000))))(((())))()((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ?--n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g m dt dt dt t g t f n n b x x a ≤≤≤0一阶线性微分方程组
高阶微分方程的解法及应用
概周期函数的定义及其性质文献综述
全微分方程及积分因子
高阶线性微分方程常用解法介绍
一阶常微分方程解法总结
概周期函数和概周期方程介绍
高阶线性微分方程常用解法简介
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
4.高阶微分方程与微分方程组
全微分方程及积分因子
一阶常微分方程的解法
全微分方程的不定积分解法及其证明
.高阶微分方程与微分方程组
一阶常微分方程解法归纳
关于高阶线性微分方程的一般解法