《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)

《二次根式》培优专题之一

——难点指导及典型例题

【难点指导】

1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0；

2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有

()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成

()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a

=2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2

的不同： 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义．

5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：

（1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即：

x m x m 2-=(m ＜0)．

（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：

6、二次根式的比较：

（1）若，则有；（2）若，则有．

说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．

【典型例题】

1、概念与性质

2、二次根式的化简与计算

例1. 化简a a 1-的结果是（ ）

A ．a -

B ．a

C ．-a -

D ．-a

分析：本题是同学们在做题时常感困惑,容易糊涂的问题.很多同学觉得选项B 形式最简单,

所以选B;还有的同学觉得应有一个负号和原式对应,所以选A 或D;这些都是错误的.本题对概念的要求是较高的,题中隐含着0a <这个条件,因此原式的结果应该是负值,并且被开方数必须为非负值.

解：C. 理由如下: ∵二次根式有意义的条件是10a -

≥,即0a <， ∴原式=211()()()a a a a a

---=--?-=--.故选C. 例2. 把（a －b ）

－1a －b 化成最简二次根式

解：

例3、先化简，再求值：

11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．

3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。（1）

； （2）

4、比较数值

（1）、根式变形法

当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法

当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。 例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较

231-与121-的大小。

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较1514-与1413-的大小。

（5）、倒数法

例5、比较76-与65-的大小。

（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较73+与873-的大小。 73+＜6，873-＞6，∴73+＜873-

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①0a b a b ->?>；②0a b a b -

例7、比较

2131++与23

的大小。

（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a

a b b >?>； ②1a

a b b

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

， 验证：；

验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想44

15

的变形结果，并进行验

证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.

例2. 已知，则a _________

发展：已知

，则a ______。 例3、化简下列各式：

（1）423+ （2）526-

例4、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a b

a b -+的值为（ ）A ．2

2

B ．2

C ．2

D ．1

2