浙江省浙江大学附属中学2016届高三全真模拟理科数学试卷 (1)

浙大附中2016年高考全真模拟试卷

数学(理科)试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为120分钟.

参考公式:

柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13

V Sh = 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

台体的体积公式

121()3

V h S S = 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积

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球的表面积公式2

4S R π=

其中R 表示球的半径,h 表示台体的高

球的体积公式343

V R π= 其中R 表示球的半径

选择题部分(共40分)

一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上) 1.设?

??

???∈<<=Z x x x A ,521|

,{}a x x B >=|,若B A ?,则实数a 的取值范围是 (A) 1

a (D ) 2

1

≤a 2. 已知,a b ∈R ,下列四个条件中,使a b >成立的必要而不充分的条件是

(A) 1a b >- (B)1a b >+ (C)||||a b > (D)22a

b

>

3. 已知sin cos (0,)3

αααπ+=

∈,则sin()12πα+的值为

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(C (D

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4.已知数列}{n a 中满足151=a ,

21=-+n

a a n

n ,则n a n 的最小值为

(A) 10 (B)1152- (C )9 (D )

4

27

5.若实数a ,b ,c 满足log 2log 2log 2a b c <<,则下列关系中不可能成立.....

的是 (A) a b c << (B)b a c << (C)c b a << (D)a c b <<

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6.已知矩形ABCD ,AB =1,BC ?ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,则

(A)存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直

(B)存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直 (C)存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直

(D)对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直

7.如图,21,F F 分别是双曲线C :()0,0122

22>>=-b a b

y a x 的

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左、右焦点,经过右焦点2F 的直线与双曲线C 的右支交于Q P , 两点,且Q F PF 222=,Q F PQ 1⊥,则双曲线C 的离心率是

(A) 2 (B)3 (C )210 (D )3

17

8.已知从点P 出发的三条射线PA ,PB ,PC 两两成60?角,且分别与球O 相切于A ,B ,C 三点.若球O 的体积为36π,则O ,P 两点间的距离为

(A

)(B

)(C )3 (D )6

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非选择题部分(共110分)

二、填空题(本题共7道小题, 共36分;将答案直接答在答题卷上指定的位置)

9.已知首项为1,公差不为0的等差数列{}n a 的第2,4,9项成等比数列,则这个等比数列的公比=q ▲ ;等差数列{}n a 的通项公式n a = ▲ ;设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则n S = ▲ .

10.若实数,x y 满足:220

2403110x y x y x y -+≤??

+-≥??-+≥?

,则x ,y 所表示的区域的面积为 ▲ ,若x ,y 同时满足

(1)(2)0t xt y t ++++=,则实数t 的取值范围为 ▲ . 11.已知某几何体的三视图如右图所示(长度单位为:cm ),则该几何体的体积为 ▲ 3

cm ,表面积为 ▲ 2

cm .

12. 已知直线l 的方程是60x y +-=,A ,B 是直线l 上的两点,且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点),则△OAB 外接圆的方程是 ▲ . 13. 在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=

,1AB =,,P 为平

行四边形内一点,2

3

=AP ,若()AP AB AD R λμλμ=+∈ ,,则

μλ3+的最大值为 ▲ .

(第11题图)

第7题

(第7题图)

14.设b a ,为正实数,则

b

a b

b a a +++2的最小值为 ▲ .

15.设函数2()f x x =(01)x ≤≤,记(,)H a b 为函数()f x 图象上点到直线y ax b =+距离的最大值,则

(,)H a b 的最小值是 ▲ .

三、解答题:(本大题共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

16. (本题15分)在ABC ?中,角A ,B ,C 的对边分别为a 、b 、c cos cos C

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A =. (Ⅰ)求角A 的值;

(Ⅱ)若角π

6

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B =,B

C 边上的中线AM =ABC ?的面积.

17. (本题15分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中,AC AB ⊥,⊥PA 平面ABCD ,且AB PA =,

点E 是PD 的中点.

(Ⅰ)求证://PB 平面AEC ; (Ⅱ)求二面角B AC E --的大小.

18. (本题15分)已知函数()b kx x x f +++=

2

1

,其中b k ,为实数且0≠k (Ⅰ)当0>k 时,根据定义证明()x f 在()2,-∞-单调递增; (Ⅱ)求集合=k M {b | 函数)(x f 由三个不同的零点}.

A

P

B

C

E

D

(第17题图)

19. (本题15分)已知,A B 是椭圆C :()22

2210x y a b a b

+=>>的左,右顶点, B (2,0),过椭圆C 的右焦点F

的直线交于其于点M , N , 交直线4x =于点P ,且直线PA ,PF ,PB 的斜率成等差数列.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

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(Ⅱ)若记,AMB ANB ??的面积分别为12,S S 求

1

2

S S 的取值范围.

x

20. (本题14分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1*n n S a n N =-∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11111n n n c a a +=++-,求证:数列{}n c 的前n 项和1

25

n P n >-.

数学(理科)答案

一、AAAD,ABDB

二、9、52,3n-2,(31)2n n -; 10、52,42,3-?

?-????; 11、16,;

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12、2(2)x -+2(2)y -=8; 13、1; 14、; 15。

16. 解析:(1)因为(2)cos cos b A C =,

由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =, ……………2分

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2sin cos cos cos B A A C C A ()A C =+ . ……………4分 因为B A C π=--,所以()sinB sin A C =+,

所以2sin cos B A B =.

因为0()B π∈,,所以0sinB ≠,

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所以cos A =

,因为0A π<<,所以6A π=. ……………7分

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(2)由(1)知π

6

A B ==,所以AC BC =,23C π=. …………….8分

设AC x =,则1

2

MC x =,又 AM =

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在AMC 中,由余弦定理

得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-?=

即222()2cos120,22x x

x x +-??=o 解得 2.?x = 2

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故212sin 23ABC S x π

?==

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17. 解:(Ⅰ)连接BD 交AC 于点F ,

因为ABCD 是平行四边形,对角线互相平分,

所以F 是BD 中点, 点E 是PD 中点,所以PB EF //, 又?PB 平面AEC ,所以//PB 平面AEC ;----7分 (Ⅱ)取AD 中点G ,连接EG ,⊥PA 平面ABCD , PA EG //,⊥EG 平面ABCD , AC EG ⊥∴,-----------9分 连接GF AB GF //∴,AC AB ⊥,

AC GF ⊥∴,AC EF ⊥∴----------------------------------11分 ∴二面角D AC E --的平面角就是EFG ∠,------------------12分 令2==AB PA ,

在 EFG Rt ?中 1=EG ,1=FG ,4

π

=

∠∴EFG ,------------14分

又二面角B AC E --的大小与二面角D AC E --的大小互补

∴二面角B AC E --的大小为π4

3

--------------------15分

18. 解:(1)证明:当(,2)x ∈-∞-时,b kx x x f ++-

=+2

1

)(.……1分 任取12,(,2)x x ∈-∞-,设21x x >.

???? ??+++--???? ??+++-=-b kx x b kx x x f x f 22112121

21)()(

12121

()(2)(2)x x k x x ??=-+??++??

由所设得021<-x x ,0)

2)(2(1

21>++x x ,又0>k ,

∴0)()(21<-x f x f ,即)()(21x f x f <. ∴()f x 在)2,(--∞单调递增.

(2)解法一:函数)(x f 有三个不同零点,即方程02

1

=+b kx x ++有三个不同的实根.

方程化为:??

?=++++->0)12()2(

22

b x k b kx x 与???=-+++-<0

)12()2( 22b x k b kx x . 记2()(2)(21)u x kx b k x b =++++,2()(2)(21)v x kx b k x b =+++-. ⑴当0>k 时,)(),(x v x u 开口均向上.

由01)2(<-=-v 知)(x v 在)2,(--∞有唯一零点. 为满足)(x f 有三个零点,)(x u 在),2(+∞-应有两个不同零点.

∴???

????

->+->+-+>- 2220)12(4)2(

0)2(2

k k b b k k b u k k b 22-

由01)2(>=-u 知)(x u 在),2(+∞-有唯一零点.为满足)(x f 有三个零点, )(x v 在)2,(--∞应有两个不同零点. ∴???

????

-<+->--+<- 2220)12(4)2(

0)2(2

k k b b k k b v k k b --

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综合⑴⑵可得{|2k M b b k =<-.

19.解:(Ⅰ)令),0,(),,4(0c F y P 由题意可得).0,2(),0,2(,2B A a -= ……………2分

,2

42442,

2000-++=-∴

+=y

y c y k k k PB PA PF ……………4分 .3.

1222=-=∴=∴c a b c

∴椭圆方程为.13

42

2=+y x ……………6分 (Ⅱ)),,(),,(2211y x N y x M 令

由方程组??

?+==+,

1,

124322my x y x 消x , 得

,096)4322=-++my y m (

,4362

21+-=

+∴m m

y y ① ,439

221+-=

m y y ② ……………9分 ①2

/②得,,4

342212

21221y y t m m y y y y =+-=++令 …………11分 ,43316

31043810112

2

2+-=++=+=+m m m t t t t 则 .33

1

,31012<<<+

≤∴t t t 即 …………… 13分 ,2

121

21

t y AB y AB S S ANB

AMB ==??

)3,3

1

(∈∴??ANB AMB S S ……………15分

20.【解析】⑴ ∵()1*n n S a n N =-∈,∴111n n S a ++=-,作差得:()11

*2

n n a a n N +=

∈, 又当1n =时,112a =

,故()1

*2

n n a n N =∈. ⑵ 由已知得:当1n =时,1

1

225

P =>-,结论成立, 当2n ≥时,12231111111111111n n n P a a a a a a +????

??=++++++

? ? ?+-+-+-??????

12212211

2111111211

2111111311n

i n n n i n a a a a a a a =++??????=++++++=++ ? ? ?+-+-+---??????∑ 111222422112213412134121i n n n

i n i n i i +++==???

???=++=+++1+ ? ? ?----?

?????∑∑ ()()212221221212112341213415

n n n n +??≥

+-++1+>+-++=- ?---??,结论也成立, 综上知,对*n N ?∈,1

25

n P n >-

都成立.

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