不同分布的GARCH族模型的波罗的海干散货运价指数波动率

基于不同分布的GARCH族模型的波罗的海干散货运价指数波动率研究

摘要：本文利用GARCH族模型对波罗的海运价指数（BDI）进行实证研究，对其收益率序列和波动率进行建模，并通过比较基于不同分布情况下各模型优劣，试图找出最适合的模型。研究表明：在单纯描述BDI指数波动率时，采用服从t 分布的GARCH（1，2）模型，更能反映BDI指数收益率序列的尖峰厚尾性；在描述BDI指数波动率的杠杆效应时，采用正态分布假设下的TGRACH(1,2)对其进行描述更合适。

关键词：波罗的海运价指数，ADF检验，拉格朗日乘数检验，GARCH，TGARCH，EGARCH，GARCH-M

中图编号：F551 文献标识码：A

The Research on Volatility of Baltic Dry Index Using GARCH Type Models with

Different Distributions

Abstract: In this paper, GARCH models are used to conduct an econometric research on the Baltic Dry Index. The models are made to the return and volatility equations. By comparing the advantages and disadvantages of different models with different distributions, the empirical results show that the GARCH(1,2) model with the student-t distribution is the best model to fit the volatility of Baltic Dry Index, TGRACH(1,2) with normal distribution are more appropriate to describe the leverage effect of Baltic Dry Index.

Key Words: BDI, ADF test, LM TEST, t distribution, GED distribution, GARCH, TGARCH, EGARCH, GARCH-M

1.引言

国际干散货航运市场是国际三大航运市场之一，是世界航运的重要组成部分。作为反映国际干散货运价整体水平、量化市场状态的波罗的海运价指数（BDI）多年来一直为航运界高度关注，被称作为国际干散货航运市场发展和变化的晴雨表。

从2003年到2007年，由于中国的经济快速发展也带动了全球经济的复苏，全球对于原材料的需求大大增加，导致了海运的快速繁荣。BDI指数节节飙升，2007年10月29日，BDI指数创下目前为止的历史最高点11033点。然而在运价指数不断走高的同时，其波动也在不断加剧。BDI在2007年11月13 日见顶回落，进入新的一年更是直线下挫，从2007年12月24日9143点跌至2008年1月31日的6052点，创造了国际海运市场的最大单月跌幅。对BDI指数的波动性进行研究，对把握航运市场状态从而实现航运资源的有效配置，有着重要的意义。

国内外在对航运运价风险进行研究时, 以GARCH族模型为主要研究手段, 并取得了一定的成果。Haigh（1999）运用多元GARCH模型研究了运价、商品及外汇三类期货价格波动性之间的溢出效应；Kavussanos（2000）运用GARCH-X 模型估计了BIFFEX的套期保值比率, 并比较了时变和常数两种套期保值比率在降低风险方面的有效性；宫进（2001）、Chen（2004）分别运用EGARCH模型对指数收益率的条件异方差性质、国际干散货运输市场价格波动的杠杆效应进行分

析；李序颖（2005）利用协整理论Granger 因果检验对BDI 和CCFI （中国出口集装箱运价指数）进行研究，并对其收益率序列及其波幅进行ARMA －GARCH 建模；李耀鼎等（2006）对BDI 对数序列进行研究，结果显示其具有尖峰厚尾特征，不能认为其服从正态分布；孙永（2005）分析了CCFI 和BDI 序列波动的集聚性特征，并建立GARCH ，EGARCH 条件异方差模型，引入了VaR 技术对两者的收益率风险进行了实证比较分析。

对运价指数波动率的已有研究中，主要利用GARCH 族模型对其进行建模，根据已有研究结果，显示运价指数的收益率序列并不服从正态分布，其在分布上存在尖峰厚尾性，因此对GARCH 模型进行估计时应基于什么分布、运价收益率序列的波动是否对称等问题进行深入研究，将对运价指数波动的规律有更清楚的认识。

2．模型解释和分布问题 2.1 GARCH 族模型

针对波动的集聚特征，Engle(1982)首先提出ARCH 模型,即自回归条件异方差模型, Bollerslev(1986)提出广义自回归条件异方差（GARCH ）模型，即若均值方程：

t t t a R +=μ (1)

式中：t R 为收益率序列，t μ代表t R 对直到1-t 时间为止所有的信息集1-t F 的条件期望，t a 为新息。则GARCH （m,s ）模型为：

21

1

2

02

j

t m

j j s i i

t i t t

t t a a -==-∑∑++==σβαασεσ (2)

式中2t σ是条件方差，t ε是独立同分布的白噪声序列，其均值为0，方差为1，0α＞0，i α≥0，j β≥0。为了保证条件方差的非负性，要求

j s m i i βα+∑

=)

,max(1

＜1。

此后经过不断拓展，主要是基于不同形式的条件方差表达式和不同分布的基础上形成了庞大的GARCH 族模型。这其中Nelson(1991)提出EGARCH 模型，Glosten 等（1993）和Zakoian(1994)提出了TGARCH 模型，对序列波动不对称的特征进行刻画。针对收益率与风险（用条件方差2t σ表示）的关系，Engle, Lilien, Robins(1987)提出了GARCH-M 模型。

（1）TGARCH(m,s)

∑∑=---=+++=m

j j t j i

t i t i s

i i t

a

N 1

221

02

)(σβγαασ (3)

其中i t N -是一个虚拟变量，具体定义如下：

???≥<=---0

01i t i t i

t a a N

很明显,对于TGARCH(1,1)模型, 正的价格变动对方差的影响为211-t a α,但负的相同幅度的变动影响为()2111-+t a γα.因此, 如果1γ＞0成立,那么后者将大于前者, 也就是说坏消息对于价格变动的影响将大于好消息.尽管TGARCH 模型解决了价格变动信息不对称问题,但是非负性问题仍未解决。 （2）EGARCH(m,s)

)()ln(ln 1

21

02i

t i

t i

s

i i

t i

t i

j

t m

j j t

a a --=---=+++=∑∑σ?σασ

βασ (4)

式中，0≠i ?，说明信息作用非对称，且当i ?＜0时，说明负的冲击比正的冲击更容易增加波动,即存在杠杆效应。由于采用对数形式，不论参数符号和残差的大小，完全可以保证条件方差的非负性。 （3）GARCH-M 模型 该模型表达式为：

t t t a c R ++=2σμ

t t t a εσ= (5)

21

1

202

j t m

j j s

i i

t i t a

-==-∑∑++=σβαασ

如果式中c 显著为正, 那么就说明收益和风险是正相关的, 风险越高, 投资者要求的回报就越高。

2.2分布问题

一般地，在标准GARCH 模型假定t ε服从正态分布，但为了更准确刻画收益率序列的厚尾性，引入Bollerslev （1986）等使用的t 分布和Nelson(1991)等建议使用的Generalized Error Distribution (广义误差分布，简称GED 分布)。

t 分布的概率密度函数（PDF ）为：

)(()?

?

?

??Γ ?

?

?

???+??? ??+Γ=2121.212v v v v v f πεε (6)

其中：().Γ为Garmma 函数，v 为自由度， ε同上文的t ε，由t 分布的性质可知，当 v 趋向于无穷时，t 分布收

敛于标准正态分布的概率密度函数。

GED 分布是一种更为灵活的分布形式，通过对参数的调整可以拟合不同的情形，其 PDF 为：

)(v f .ε?

?

?

??Γ?

?????-=

+v v v v v 12/21

exp /1λλε (7)

其中：()

()()[

]

2

1/2/3/12

v v v ΓΓ=-λ，λ为尾部厚度参数，当2v 时，GED 呈现瘦

尾性；当2=v 时， GED 分布退化为正态分布。

3．实证结果与分析

本文中所使用的数据来自于https://www.360docs.net/doc/6c6275621.html,/，时段为2003年1月2日到2008年3月31日， 总共1368个交易日的BDI 数据。本文沿用金融时序分析中的传统，对于日收益率定义为相邻交易日BDI 指数的对数一阶差分，即：

1ln ln --=t t t p p r

其中t r 为收益率，t p 为指数点数。

使用对数差分来定义收益率是因为：

（1） 对数变化把序列的生长曲线趋势转化为线性趋势，而差分则进一步剔除了线性趋势。 （2） 两个时点对数价格之差，近似等于两个时点间的价格变动的变化率。即：

1

11)1ln(ln ln ln ---?≈?+

=-=?t t t t t t t p p

p p p p p 而n 个相邻区间（设从时刻t 到n t +）上的对数差分的累积近似等于该区间上的价格变化率。

图1 BDI 指数日收益率序列

t r 的各项统计特征如表1所示：

表1 基本统计分析结果

由图1和表1可以看出，BDI 指数特征有以下几个方面： （1）收益率变动很大，而且呈现很明显的波动群聚特征。 （2）平均值接近于0。

（3）偏度值略大于0,表明收益率序列分布的不对称性, 呈右偏。 （4）峰度值大于3,表明收益率序列具有尖峰厚尾的特征。 （5）Jarque-Bara 统计量表明该序列不服从正态分布。

利用ADF 检验对指数对数序列t t p z ln =进行单位根检验, 检验模型为:

∑-=--+?++=?1

1

1p i t i t i t t t e z z c z φβ (8)

检验0:0=βH （即序列具有单位根）；0:1<βH （即序列没有单位根）。检验结果见表2所示。

表2 单位根检验结果

表2 结果显示尽管指数对数序列非平稳， 但是经过一阶差分后，即收益率序列，不存在单位根, 是平稳序列，可以建立自回归移动平均模型。根据Box-Jenkins 方法，通过对收益率的自相关检验, 发现收益率序列的ACF 存在拖尾，而PACF 存在滞后2阶截尾，因此考虑对收益率序列t r 建立AR （2）：

t t t t a r r r +-=--21301310.0103011.1

(0.0000) (0.0000) （括号内为估计参数对应P 值,下同）

可以看出，BDI 收益率与其滞后1期正相关，与滞后2期负相关。进一步利用拉格朗日乘数（LM ）检验残差序列是否存在ARCH 效应，在q=10的情况下，LM 统计量为96.89463（p 值=0.000），说明残差序列不仅存在ARCH 效应, 而且存在高阶ARCH 效应。因此考虑使用GARCH 模型建模。

对残差的正态分布进行检验，基本检验值如表3所示：

表3 均值方程残差序列的基本统计量

残差分布峰度值高达12.37539，具有尖峰厚尾特征，J-B 统计量达到5069.196，显示残差分布不服从正态分布。对残差序列作QQ 散点图， 如图2所示：

残差

图2 正态分布QQ 散点图

从图2中可以看出正态分布在两端的拟合不好，进一步验证了正态分布并不适合描述均值方程残差序列的分布。因此本文考虑分别使用正态分布、t 分布和GED 分布来进行GARCH 建模，并比较不同分布情况下模型的优劣。

综合运用

AIC 准则和BIC 准则，在滞后项p 和q 不超过2的情况下进行逐个检验,经过筛选最后选择GARCH(1,2)模型。在参数估计时，本文采用均值方程和波动率方程联合的极大似然估计。GARCH(1,2)、EGARCH(1,2)和TGARCH(1,2)、GARCH(1,2)-M 模型参数估计结果分别列于表4至表7。

表4 GARCH (1,2)估计结果

正态分位点

注：括号内为p 值。Q(n)和Q 2(n)分别为标准化残差及其平方项的Ljung-Box 统计量（滞后10期，20期）。下同

以Normal-GARCH （1,2）模型为例：

t t t t a r r r +-=--21346283.0169574.1

（0.0000） （0.0000）

2122212911219.0337217.0422204.007-5.85E ---+-+=t t t t a a σσ

（0.0000） （0.0000） （0.0000） （0.0000） 在用GARCH (1,2)建模时可以得到以下结论：

（1）参数显著不为0，标准化残差及其平方项的Ljung-Box 统计量均不显著，说明在统计上，各期残差之间不存在相关性，同时GARCH 效应也已经被消除。均值方程和波动率方程均有效。

（2）模型中，所有条件方差及滞后残差平方系数之和接近于1，即

j s m i i βα+∑

=),max (1

1≈，说明BDI 指数具有长记

忆性，国际干散货航运市场对冲击的反应函数以一个相对较慢的速度衰减波动性，当收益率一旦受到冲击出现异常波动，在短期内难以消除，这可能反映了2003年以来市场波动加剧的现象。

（3）在不同分布假设下，t 分布的AIC 值最小，Log Likelihood 值最大，GED 分布次之，从而得出t 分布比GED 分布和正态分布更能反映BDI 指数收益率序列的尖峰厚尾性。