河南省商丘市届高三数学月第三次模拟考试试题文讲义
商丘市2016年高三5月第三次模拟考试
数 学（文科）
本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只收答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．已知全集R U =，集合{}31≤<=x x A ，{}
2>=x x B ，则=B C A U
A ．{}21≤≤x x
B ．{}21<≤x x
C ．{}21≤ D ．{} 31≤≤x x 2．若复数i ai z -+= 36（其中i R a ,∈是虚数单位）的实部与虚部相等，则=a A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 3．下列函数中，满足)()()(y f x f xy f =的单调递增函数是 A ．x x f 2log )(= B ．1)(--=x x f C ．3)(x x f = D ．x x f 2)(= 4．若D C B A ,,,四点共线，且满足),2(),0)(2,3(t a a a =≠=，则=t A ． 43 B ．3 4 C ．3 D ．3- 5．要计算2016 1 31211+???+++的结果，下面程序框图中的判断框内可以填 A ．2016 B ．2016≤n C ．2016>n D ．2016≥n 6．已知)0,0(),1,2(O A ，点),(y x M 满足?? ? ??≤-≤≤≤,22,2,21y x y x 则AM OA z ?=的最大值为 A ．5- B ．1- C ．0 D ．1 7．函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式可以为 A ．)4 2sin(3)(π - =x x f B ．)42sin(3)(π + =x x f C ．)432sin(3)(π -=x x f D ．)4 32sin(3)(π +=x x f 8．已知抛物线x y 82 =与双曲线12 22=-y a x 的一个交点 为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲 线的渐近线方程为 A ．035=±y x B ．053=±y x C ．054=±y x D ．045=±y x 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 各面中，面积最大的值是 A ．8 B ．12 C ．54 D ．16 10．曲线y ＝a ＞0）与曲线y ＝a 的 值为 A ．e B ．e 2 C ．e －2 D ．e －1 11．已知数列2 1 2sin +?=πn n a n ，则=+???+++100321a a a a A ．0 B ．2- C ．2 D ．1 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数? ??∈∈=Q C x Q x x f R ,0, ,1)(被称为 狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数)(x f 有如下四个命题：①0))((=x f f ；②函数)(x f 是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，)()(x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立；④存在三个点)),(,()),(,()),(,(332211x f x C x f x B x f x A 使得ABC ?为等边三角形．其中真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题－第24题为选做题，考生根据要求做答。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 线性 13．已知y x ,的取值如下表所示：从散点图分析，x 与y 相关，且?1kx y ＝＋，则=k _______． 14．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三 百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有______盏灯． 15．已知抛物线)0(22 >=p px y 的焦点恰好是椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的右焦点F ，且这两 条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为______． 16．设函数m x x g e x f x +==ln )(,)(．有下列五个命题： ①若对任意]2,1[∈x ，关于x 的不等式)()(x g x f >恒成立，则e m <； ②若存在]2,1[0∈x ，使得不等式)()(00x g x f >成立，则2ln 2 - ③若对任意]2,1[1∈x 及任意]2,1[2∈x ，不等式)()(21x g x f >恒成立，则2ln - e m <． 其中，所有正确结论的序号为______． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 在ABC ?中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且C c A b B a cos 2cos cos =+． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC ?的面积为32，求边长c 的最小值． 18．（本小题满分12分） 如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况，该题满分为12分．已知甲、乙两组的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数模糊，记为m ． （Ⅰ）求m 的值，并判断哪组学生成绩更稳定； （Ⅱ）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这 两名同学的得分之和低于20分的概 率． 19．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形， 60=∠BAD ，3,2==PA AB ，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：∥BE 平面PDF ； （Ⅱ）求三棱锥DEF P -的体积． 20．（本小题满分12分） 过点),0(a A 作直线与圆1)2(:22=+-y x E 交于C B 、两点，在线段BC 上取满足 AC AB PC BP ::=的点P ． （Ⅰ）求P 点的轨迹方程； （Ⅱ）设直线032=--ay x 与圆E 交于N M 、两点，求E EMN (?为圆心）面积的最 大值． 21．（本小题满分12分） 已知函数R a a ax e x f x ∈-+=,22)(2． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若0≥x 时，3)(2-≥x x f 恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC ＝CD ， 其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点P ． （Ⅰ）求证：AB·MD＝AD·BM； （Ⅱ）若CP·MD＝CB·BM,求证：AB ＝BC ． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程是2cos sin x θ θ?? ? ＝y ＝（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，A 、B 的极坐标分别为A （2，π）、B （2，43 π ）． （Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程； （Ⅱ）设M 为曲线C 上的动点,求点M 到直线AB 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设f （x ）＝｜x －l ｜－2｜x ＋1｜的最大值为m ． （Ⅰ）求m ； （Ⅱ）若a ，b ，c∈（0，＋∞）， 22 22 a c b m ＋＋＝，求ab ＋bc 的最大值． 商丘市2016年高三第三次模拟考试参考答案 数学（文科） 一、选择题（每小题5分，共60分） C A C B B D D A B D A C 二、填空题（每小题5分，共20分） (13)0.8 (14)31 (16) ①②③④⑤ 三、解答题（本大题共6小题，共70分） （17）解：（Ⅰ）由正弦定理，可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，…………2分 ∴sin()2sin cos A B C C +=，………………………………………………3分 ∴sin 2sin cos C C C =，……………………………………………………4分 ∴1 cos 2 C = ，…………………………………………………………………5分 所以8ab =，…………………………8分 由余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-…………………………………………9分 ∴2 2 22cos 8c ab ab C c ≥-?≥，…………………………………………10分 ∴c ≥a b =时取等号）． ∴c 的最小值为分 （18） 解：（I ）991111 104 x +++= =甲， ………………………………………………1分 ∴8912 104 m x +++= =乙， ∴1m =．……………………………………2分 22222(109)(109)(1011)(1011)14S -+-+-+-==甲 ……………………3分 22222(108)(109)(1011)(1012) 2.54 S -+-+-+-==乙 ，………………4分 ∴22S S <乙甲 ， ∴ 甲组成绩比乙组稳定． ………………………………………………………6分 （II ）记甲组4名同学为：1234,,,A A A A ；乙组4名同学为：1234,,,B B B B ，分别从甲乙两组 中各抽取一名同学所有可能的结果为： 1112131421(,),(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B A B 22232431323334414243(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 44(,)A B 共16个基本事件，……………………………………………………8分 其中得分之和低于20分的共6个，……………………………………………10分 所以得分之和低于20分的概率为63 168 P = =,………………………………12分 （19）解：（I ）取PD 的中点为M ，连结ME ，MF ， E 是PC 的中点，∴ CD ME 2 1// ………………………2分 又 F 是AB 的中点，且由于ABCD 是菱形，CD AB // ∴FB ME //………………………………………………………3分 ∴四边形MEBF 是平行四边形，……………………………4分 ∴//BE MF ．…………………………………………………5分 又BE ?平面PDF ，MF ?平面PDF ∴//BE 平面PDF ．……………………………………………6分 （II ） E 是PC 的中点 ∴点P 到平面EFD 的距离与点C 到平面EFD 的距离相等，……………7分 故P DEF V -＝C DEF V -＝E DFC V -，…………………………………………………8分 又DFC S ?＝ 1 2 分 E 到平面DFC 的距离13 22 h PA = =，……………………………………10分 所以P DEF V -＝E DFC V -＝13 32＝…………………………………12分 (20)解：（I ）设AB 方程为y kx a =+，与圆的方程联立得2 2 2 (1)(24)30k x ak x a ++-++= 设P 点坐标为(,)x y ，∵ BP AB PC AC =，∴ 11 22 x x x x x x -=-…………………………3分 （21）解：（Ⅰ）()22x f x e a '=+ …………………………………………………………………1分 ① 0a ≥时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在R 上单调递增,无极值；…………2分 ② 当0a <时，由()0f x '>，得ln()x a >-；由()0f x '<，得ln()x a <- 此时()f x 在(,ln())a -∞-上递减，在[ln( ),)a -+∞上递增． 在ln()x a =-处取得极小值，()(ln())f x f a =-=极小22ln()2a a a a ---…………………………………3分 综上可得：0a ≥时，单调递增区间为(,)-∞+∞,无极值；0a <时，单调递减区间为(,ln())a -∞-， 递 增 区 间 为 [ln(),) a -+∞，在 l n (x a =-处 取得极小值， ()(ln())f x f a =-=极小22ln()2a a a a ---，无极大值…………………………… 4分 （Ⅱ）令0,3)(23)()(2 2≥+--=+-=x a x e x x f x g x 则)(2)(/ a x e x g x +-=，又令)(2)(a x e x h x +-=，则0)1(2)(/ ≥-=x e x h )(x h ∴在),0[+∞上递增，且)1(2)0(+=a h …………………………………6分 ①当1-≥a 时，0)(/≥x g 恒成立，即函数)(x g 在),0[+∞上递增， 从而须满足05)0(2≥-=a g ，解得 55≤≤-a 又1-≥a 51≤≤-∴a …………………………………………………… 8分 ②当1-?x 使0)(0=x h 且 ),0(0x x ∈时，0)( 03)(2)()(200min 0≥+--==∴a x e x g x g x ，又0)(2)(000=+-=a x e x h x 从而03)(2200≥+-x x e e ， 解得00ln3x <≤…………………………10 分 由00 00x x e x a a x e -=?-=， 令 3ln 0,)(≤<-=x e x x M x 则01)(/<-=x e x M ，)(x M ∴在]3ln ,0(上递减， 则33ln )3(ln )(-=≥M x M ，又1)0()(-= 综上 533ln ≤≤-a ……………………………………………………………12 分 （22） 解：（Ⅰ）由BC CD =，可知BAC DAC ∠=∠，…………………………………2分 由角分线定理可知，AB BM AD MD = ，即AB MD AD BM ?=?，得证． ………5分 （Ⅱ）由CP MD CB BM ?=?，可知CP BM CB MD = ， 又CB CD =，所以 BM CP MD CD =， ∴//PB AC ． ………………………………………………………………8分 所以PBC ACB ∠=∠（内错角），又PBC BAC ∠=∠（弦切角）， 所以ACB BAC ∠=∠，所以AB BC =． ………………………………………10分 （23）解：（Ⅰ）将A 、B 化为直角坐标为44(2cos ,2sin ),(2cos ,2sin )33 A B ππ ππ， 即(2,0),(1,A B --，…………………………………………………………2分 AB k = =分 ∴直线AB 的方程为02)y x -=+， 0y ++………………………………………………………………5分 （Ⅱ）设(2cos ,sin )M θθ，它到直线AB 的距离为 d ， （其中tan ?=分 当sin()1x ?+=时，d 取最大值，…………………………………………………9分 ∴max d …………………………………………………………………10分 (24)解：（Ⅰ）3()3111311x x f x x x x x ≥+≤-?? =---< ，，，， ，， ………………1分 画出图象如图，………………………………3分 ∴2m =………………………………………5分 （Ⅱ）∵22 22 a c b m ++=，∴2222222()22()()2ab b c m a b c a b b c +=++=+++ ? ∴2ab bc +… ，∴ab bc +的最大值为2， 当且仅当1a b c ===时，等号成立． …………………………………………10分