2016新课标三维人教B版数学必修5 3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式组与简单的线性规划问题

3．5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域

预习课本P85～88，思考并完成以下问题

1．二元一次不等式(组)的概念

(1)二元一次不等式

含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式．(2)二元一次不等式组

由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．

2．二元一次不等式表示的平面区域

(1)直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面．开半平面与l 的并集叫做闭半平面．以不等式解(x ，y )为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．

(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：

直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0把坐标平面内不在直线l 上的点分为两部分，直线l 的同一侧的点的坐标使式子Ax ＋By ＋C 的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax ＋By ＋C 的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.

[点睛] 二元一次不等式表示的平面区域不是坐标平面内有限的一部分，而是一个无限区域．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)由于不等式2x －1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域( ) (2)点(1,2)不在不等式2x ＋y －1>0表示的平面区域内( )

(3)不等式Ax ＋By ＋C >0与Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域是相同的( ) (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( ) (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( )

解析：(1)错误．不等式2x －1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x ＝1

2的右

侧(不包括边界)．

(2)错误．把点(1,2)代入2x ＋y －1，得2x ＋y －1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x ＋y －1>0表示的平面区域内．

(3)错误．不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．

(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如?

????

2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为

二元一次不等式组．

(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×

2．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )

解析：选C 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.

3．不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( ) A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方

D ．右下方

解析：选D 将(0,0)代入2x －y －6，得－6＜0，(0,0)点在不等式2x －y －6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．故选D.

4．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________．

解析：因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－1

答案：?

???

m ?

m >－12

[典例(1)2x －y －6≥0；

(2)????

x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.

[解] (1)如图，先画出直线2x －y －6＝0，取原点O (0,0)代入2x －y －6中， ∵2×0－1×0－6＝－6＜0，

∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y －6＜0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．

(2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入x －y ＋5，

∵0－0＋5＝5＞0，

∴原点在x －y ＋5＞0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示

直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．

[活学活用]

不等式组?????

x ≥0，

y ≥0，x ＋y －2－1≤0，

x －ky ＋k ≥0

表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k 为

( )

A ．1

B ．－1

C ．±1

D ．±2

解析：选C 在不等式组????

x ≥0，

y ≥0，

x ＋y －2－1≤0

所表示的平面区域中，三个顶点的坐标分

别为(0,0)，(2＋1,0)，(0，2＋1)，又x －ky ＋k ＝0表示的是过点(0,1)的直线，则当k >0时，k ＝1满足条件(如图1)；当k <0时，k ＝－1满足条件(如图2)．故当k ＝－1或1时不等式组?????

x ≥0，

y ≥0，x ＋y －2－1≤0，

x －ky ＋k ≥0

表示的是一个轴对称四边形围成的区域，故选

[典例] 不等式组????

y ≤x ，x ＋2y ≤4，

y ≥－2表示的平面区域的面积为( )

A.50

3 B.25

C.1003

D.103

[解析] 作出不等式组????

y ≤x ，x ＋2y ≤4，

y ≥－2

表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得

点A 的坐标为????

43，43，点B 的坐标为(－2，－2)，点C 的坐标为(8，－2)，所以△ABC 的面积是12

×[8－(－2)]×????43－(－2)＝50

[答案] A

[活学活用]

不等式组????

x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )

A.3

2 B.2

3 C.43

D.34

解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC ，

由?

????

x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得A (1,1)，又B (0,4)，C ???

?0，4

3， ∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×????4－43×1＝4

，故选C.

[典例] P 产品最多有2 500件，月产Q 产

品最多有1 200件；而且组装一件P 产品要4个零件A,2个零件B ，组装一件Q 产品要6个零件A,8个零件B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14 000个，B 零件最多12 000个．用数学关系式和图形表示上述要求．

[解] 设分别生产P ，Q 产品x 件，y 件，依题意则有?????

4x ＋6y ≤14 000，

2x ＋8y ≤12 000，

0≤x ≤2 500，x ∈

N ，

0≤y ≤1 200，y ∈N.

用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．

[活学活用]

某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和2 h ，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h ．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ．请列出满足生产条件的数学关

系式，并画出相应的平面区域．

解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x 和y ，它们满足的数学关系式为：?????

x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，

x ≥0，x ∈N ，

y ≥0，y ∈N.

分别画出不等式组中各不

等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．

层级一学业水平达标

1．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3

D ．无数个

解析：选A 作?

????

x ＋y ≤3，

x ，y ∈N 的平面区域，

如图所示，符合要求的点P 的个数为10.

2．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1)

D ．(－1,1)

解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面区域内，故选D.

3．不等式组?

????

2x ＋y －2≥0，

x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )

解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C.

4．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上

D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系

解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.

5．若不等式组????

x ≤0，y ≥0，

y －x ≤2

表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直

线x ＋y －a ＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( )

A.7

2 B.7

3 C.74

D.12

解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，

C (0,1)，

D ???

?－12，3

2，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74

6．直线2x ＋y －10＝0与不等式组????

x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，

x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有______

个．

解析：画出不等式组????

x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，

x ≥0，y ≥0

表示的平面区域，如图

中阴影部分所示．因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－4

，故只有一个公共点(5,0)．

答案：1

7．平面直角坐标系中，不等式组????

2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，

x ≤2表示的平面区域的形状是

________．

解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．

答案：等腰直角三角形 8．若不等式组????

x －y ＋5≥0，y ≥a ，

0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是

________．

解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC ，当5＜a ＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a ＜7时，表示的平面区域为三角形．

答案：[5,7)

9．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx －2y ＋1<0表示的平面区域内，求k 的取值范围．

解：点P (1，－2)关于原点的对称点为P ′(－1,2)，

由题意，得?????

k －2×(－2)＋1≥0，

－k －2×2＋1≥0，

即????

k ≥－5，k ≤－3，

解得－5≤k ≤－3.

故k 的取值范围是[－5，－3]．

10．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：?????

2x ＋3y －6≤0，

x －y －1≤0，

x －2y ＋2>0，

x ＋y －1>0.

(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．

解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．

(2)解方程组?

???

2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，

得A ????67，107，

解方程组?

????

2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，

得D ????

95，45，

所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为

S 四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970

层级二应试能力达标

1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )

A.????

? 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1

B.????

? 2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1

C.????

2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1

D.????

2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥1

解析：选B 由图易知平面区域在直线2x －y ＝0的右下方，在直线x ＋y ＝3的左下方，在直线y ＝1的上方，故选B.

2．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2)

D ．[0,2]

解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －2)<0，解得0

3．由直线x －y ＋1＝0，x ＋y －5＝0和x －1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( )

A.????

x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≥1

B.????

? x －y ＋1≥0x ＋y －5≤0x ≥1

C.????

x －y ＋1≥0x ＋y －5≥0x ≤1

D.????

x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≤1

解析：选A 由题意，得所围成的三角形区域在直线x －y ＋1＝0的左上方，直线x ＋y －5＝0的左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为????

x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0，

x －1≥0.

4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )

A.?

????

2x ＋3y ≤5x ，y ∈N ＋ B.????

50x ＋40y ≤2 000x y ＝23

解析：选C 由题意50x ＋40y ≤2 000，即5x ＋4y ≤200，y x ＝2

解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C (4,0)，B (4,2)，D (0,3)，A (2,3)，所以平面区域的面积为3×4

表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足

x 0－2y 0＝2，则实数m 的取值范围是________．

解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C 的坐标为(m ，－m )，把直线x －2y ＝2转化为斜截式y ＝1

2x －1，要

使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则点C 在直线x －2y ＝2的右下方，因此－m 2

3，＋∞ 7．已知点M (a ，b )在由不等式组????

x ≥0，y ≥0，

x ＋y ≤2表示的平面区域内，求N (a －b ，a ＋b )所

在的平面区域的面积．

解：由题意，得a ，b 满足不等式组????

设n ＝a －b ，m ＝a ＋b ，则a ＝n ＋m 2，b ＝m －n

n ＋m ≥0，m －n ≥0，m ≤2，

这个不等式组表示的平面区域为如图所示的

△OAB 内部(含边界)，其面积为1

×(2＋2)×2＝4，即点N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面

积为4.

8．已知点P 在|x |＋|y |≤1表示的平面区域内，点Q 在?

????

|x －2|≤1，

|y －2|≤1表示的平面区域内．

(1)画出点P 和点Q 所在的平面区域； (2)求P 与Q 之间的最大距离和最小距离．

解：(1)不等式|x |＋|y |≤1等价于?????

不等式组????? |x －2|≤1，|y －2|≤1等价于?

????

1≤x ≤3，

1≤y ≤3，

由此可作出点P 和点Q 所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD 内部(含边界)，四边形EFGH 内部(含边界)．

(2)由图易知|AG |(或|BG |)为所求的最大值，|ER |为所求的最小值，易求得|AG |＝(－1－3)2＋(0－3)2＝42＋32＝5，|ER |＝1

(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．

(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)可行域是一个封闭的区域( )

(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的( )

(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解( ) (4)线性规划问题一定存在最优解( )

解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．

(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．

(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．

(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

2．已知变量x ，y 满足约束条件????

x ＋y ≤1，x －y ≤1，

x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )

2x ＋z 2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为

解析：选B 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部

分所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方

程组?

????

x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝

4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件????

x ＋y ≤4，y ≥x ，

x ≥1，点O 为坐标原点，那么PO 的最小值

等于________，最大值等于________．

解析：如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO 指线性区域

内的点到原点的距离，所以最短为12＋12＝2，最长为12＋32＝10.

答案：2

[典例] 设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件????

?x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，

x ≥1，

求z 的最大值和最小值．

[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．

把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．

解方程组?????

x －4y ＋3＝0，

3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，

解方程组?

????

x ＝1，

x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，

∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.

[活学活用]

1．若实数x ，y 满足不等式组????

x －2≤0，y －1≤0，

x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则

解析：选C 作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t ＝x －2y ，得直线y ＝12x －1

2t 在点????2，a －22处取得最大值，即t max ＝2

－2×a －2

＝4－a ＝2，得a ＝2，故选C.

2．已知实数x ，y 满足约束条件????

x －y ≤1，2x ＋y ≤4，

x ≥1，

则目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为_____．

解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示：

由z ＝x ＋3y ，得y ＝－13x ＋z 3，平移直线x ＋3y ＝0可知，当直线y ＝－1

x ＝1，得A (1,2)，所以z max ＝1＋2×3＝7.

答案：7

1．设x ，y 满足条件????

x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，

x ≤3.求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理知识结构梳理几何法证明正弦定理的证明向量法证明已知两角和任意一边正弦定理正弦定理正弦定理的两种应用已知两边和其中一角的对角解三角形知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明：（1）向量法证明（2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点：（1）（2）（3）知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点：（1）（2）（3）（4）知识点2 余弦定理的的证明证法1：证法2：知识点3 余弦定理的简单应用利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题：（1）已知三边求三角；（2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.

1.2应用举例知识点1 有关名词、术语（1）仰角和俯角：（2）方位角：知识点2 解三角形应用题的一般思路（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；（3）合理选择正弦定理和余弦定理求解；（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业实习作业的方法步骤（1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。（2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修５基本不等式知识点总结一．算术平均数与几何平均数１．算术平均数设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数二基本不等式１．基本不等式：若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件一正：两个数都是正数二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值三相等：必须有等号成立的条件注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值３．常用的基本不等式（１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ．三．跟踪训练１．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

Ａ. １Ｂ．２Ｃ. ４Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型（精编）变 2．下列结论正确的是（） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是例2、解下列不等式（1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值（1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4）变、（1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值（1），y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______

人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

第三章不等式一、选择题 1．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log πsin 5 2π ，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2 B ．ab 2＜a 2b C ． 21ab ＜b a 21 D ． a b ＜b a 3．若对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1 B ．｜a ｜≤1 C ．｜a ｜＜1 D ．a ≥1 4．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，0]∪[1，＋∞) 5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11 -x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) 6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )． A B C D 7．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2＋＋－则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．设变量x ，y 满足?? ? ??5 －－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )． A ．[ 21，3 4 ] B ．[ 3 4 ，2] C ．[ 2 1 ，2] D ．[ 2 1 ，＋∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题)

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质.

(2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O

一元二次不等式的求解流程：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；（3）2x 2 +ax +2 > 0；注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小；二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ

高中数学必修五基本不等式学案

高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案）学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最

小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]

高一数学必修5不等式

高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(教师版) 编写：邓军民一，复习 1. 不等关系：参考教材73页的8个性质； 2. 一兀二次不等式ax 2bx - C ?0( a ?0)与相应的函数y = ax 2?bx ■ c(a . 0)、相 2 ：：：0 2.. .. -L a ax bx C ：：：0 ( a = 0 )恒成立：= . L - ：：0 4. 一般地，直线y =kx ?b把平面分成两个区域(如图)： y kx b表示直线上方的平面区域；y ：：：kx ?b表示直线下方的平面区域. 说明：(1) y _kx b表示直线及直线上方的平面区域； y乞kx ■ b表示直线及直线下方的平面区域. (2)对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.

2 a ? 0 ax bx C 0 ( a = 0 )恒成立：= . 二：■ 0

5. 基本不等式： (1) .如果a, b 三R ，那么a 亠b 亠2 ab . (2). ab < a b (a . 0, b .0). 2 (当且仅当a =b 时取“ J') 2 . _ . =0的解为X 1 = 3, X 2 = 4 .根据y = X - 7x 12的图象，可得原不等式X2 -7x ■ 12 - 0的解集是{ x | x ：：: 3或X 4}. (2) 不等式两边同乘以 -1 ,原不等式可化为X 2 ? 2x - 3 _0 . 方程 X 2 ? 2x 「3 =0 的解为 X 1 = -3, X 2 =1 . 根据y =χ2 ? 2x -3的图象，可得原不等式-X 2 -2X ? 3 _0的解集是 { X |一茫 X 乞 1.} 2 (3) 方程X -2x 1 =0有两个相同的解x 1 = X 2 =1. 根据y =χ2 -2x ' 1的图象，可得原不等式 X 2 -2x ，1 ：：： 0的解集为". ⑷因为■■■： < 0 ,所以方程X 2 -2x 2=0无实数解，根据y =χ2 -2x ? 2的图象，可得原不等式χ2 -2x 2 ：：： 0的解集为?一. X 3 练习1. (1)解不等式 <0 ；(若改为 < 0呢？) X+7 X +7 2 X - 3 (2)解不等式 1 ; X +7 二.例题与练习例1. 解下列不等式： 2 (1) X -7x 12 ■ 0 ； 2 2 (2) 「x 「2x 3_0 ； 2 (4) X -2x 2 ：：: 0 . 解: (1)方程 x 2 -7x 12

人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：基本不等式

基本不等式 1．均值定理：如果a ， b +∈R （+R 表示正实数），那么 2 a b +，当且仅当a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式． 2 2a b +2 a b +需要前提条件,a b +∈R ． 2 a b +叫做a ，b a ，b 3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．考点1：常规基本不等式问题例1.（1）已知0x >，则1 82x x +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当1 82x x =即14x =时取等号，故选：C ．（2）已知3 05 x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ． 310 B ．910 C ． 95 D ． 12 【解答】解：305 x << Q ，则2115359 (35)5(35)()5 5220 x x x x x x +--=?-?= ?，当且仅当535x x =-即3 10 x =时取最大值故选：A ．（3）已知函数9 4(1)1 y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>，

99 41511 y x x x x ∴=-+ =++-++ 5… 1=，当且仅当9 11 x x += +，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=．故选：B ．（4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( ) A ． 12 B C ．1 D 【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=，则21 121(2)()2 222 a b ab a b +=??=g ? ，当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值1 2 ．故选：A ．考点2：基本不等式易错点例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1 x x y ++的最小值是( ) A ． 1 2 B ． 14 C ． 34 D ． 54 【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->，解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121 x x x y x y +=+++， 122242x x x x x x x x +-=+=+ --， 12115()2442424 x x x x -= +++?=-…，当且仅当 242x x x x -= -即23x =时取等号； ②当0x <时， 1||1()2||121 x x x y x y +=-+++，

高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计

课题：基本不等式一、教材分析：本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学5·必修》（人教A版）中第三章第四节。本节课主要研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际生活中的应用。基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路，体现新课标“数学有用”的理念。同时，运用基本不等式求最值也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究，培养学生数形结合的思想方法。二、学情分析：在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解，为基本不等式的学习提供了基础。授课班级为高一（1）班，我班学生整体基础知识一般、部分学生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。三、设计思想：本课为新授课，积极践行新课程“数学有用”理念，倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高数学思维能力，在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值；注重信息技术与数学课程的整合。

四、教学目标： 1、知识与技能： (1) 师生共同探究基本不等式； (2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明； (3) 会简单运用基本不等式。 2、过程与方法：通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。 3、情感、态度与价值观： (1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力； (2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。五、教学重点：（1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明；（2）运用基本不等式解决实际问题。教学难点：基本不等式的运用。重、难点解决的方法策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．二、知识清单平面区域的表示线性规划非线性规划三、知识讲解 1.平面区域的表示二元一次不等式表示的平面区域已知直线：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与的并集叫做闭半平面．以不等式解为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．对于直线：同一侧的所有点，代数式的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点代入，由符号即可判断出（或）表示的是直线哪一侧的点集．直线叫做这两个区域的边界（boundary）．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域．（1）；（2）．解：（1）① 画出直线，因为这条直线上的点不满足，所以画成虚线． ② 取原点，代入，所以原点在不等式所表示的平面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0

高中数学必修五教案-基本不等式

第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一）教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；教学重点： 2 a b +≤的证明过程；教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵教学过程：一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ：用分析法证明：要证 2a b +≥，只要证 a+b ≥ (2)，要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3），只要证（ - ）2（4），显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3.

必修五不等式知识点总结

不等式总结一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法有两相异实根有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间

三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等）四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．五、其他常见不等式形式总结：

必修5数学不等式典型例题解析(整理)

不等式一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ）二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））；（2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）；（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ）三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如

高中数学必修5 第3章不等式教师版不等式第14课时

听课随笔

第14课时基本不等式的应用(2) 学习要求 1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。 3．进一步开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．【课堂互动】自学评价 1.设x>0时, y=3－3x －x 1的最大值为323- 2.已知a>b>c , n ∈N*, 且11n a b b c a c , 则n 的最大值为_____4_____ . 3.已知x>0且x 1, y>0且y 1 , 则log y x+log x y 的取值范围是),2[]2,(+∞--∞ 【精典范例】例１．过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程【解】见书（但设直线方程可有两种方法）．例２．如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 见书．思维点拔：先建立目标函数，然后创造条件利用基本不等式求解。追踪训练 1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客

运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数n(n )N +∈的关系为 y=－n 2+12n －25,则每辆客车营运( Ｃ ) 年,使其营运年平均利润最大. A 3 B 4 C 5 D 6 2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当||||PB PA 取最小值时, 求直线l 的方程. 解：设)0)((:<-=-k a x k b y l 则),0(),0,(b ak B k b a A +--．所以||||PB PA ＝a k k b k ?+-+221||1 ＝ab k k ab 2)||1 |(|≥+ （等号当且仅当1-=k 时成立）所以||||PB PA 取最小值2ab 时, 直线l 的方程为：0=--+b a y x ． 3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验公式: S=2403 v +v 85 , 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的 “安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.

高中数学必修5基本不等式练习题

一．选择题 1.若,,a b c R ∈,且a b >，则下列不等式中一定成立的是（） A.a b b c +≥- B.ac bc ≥ C.2 0c a b >- D 2()0a b c -≥ 2.对于任意实数,,,a b c d ，命题①若,0,a b c ><则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc <，则 a b <；④若a b >，则 11a b <；⑤若0,0a b c d >>>>，则ac bd >。其中正确的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知22π π αβ-≤<≤，则2αβ -的取值范围是（） A.,22ππ??- ??? B.[,0]2π- C.[,0)2π- D.[0,]2π 4.已知,a b R +∈,且5a b +=，则22a b +的最小值是（） A.32 B. C. D. 10 5．下列命题中，其正确的命题个数为①1x x +的最小值是2；2的最小值是2；③2log log 2x x +的最小值2；④ 0,2x π <>=，则s =取最小值时x 的值为（） A.1 B.2 C. D.422 9.甲乙两人同时从A 地出发B 地，甲在前一半路程用速度1v ，在后一半路程用速度2v （12v v ≠），乙在前一半时间用速度1v ，在后一般时间用速度2v ，则两人中谁先到达（） A.甲 B.乙 C.两人同时 D.无法确定

高一数学必修5不等式题型总结

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24 22 1a a a x +- --= a a a x 24 22 2++ --= ∴当0>a 时,解集为?? ? ???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?? ???> 21|x x 当0 +-a a ax ax 分析因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|>?；例3 解不等式042 >++ax x 分析本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。解：∵162 -=?a ∴当()4,4-∈a 即0a 或4-?,此时两根分别为2 162 1-+-= a a x ，2 162 2---= a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ? ???? ? ??----+-> 21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式( ) ()R m x x m ∈≥+-+01412 2 解因,012 >+m ( )( )2 2 2 3414)4(m m -=+--=?，所以当3± =m ，即0=?时，解集为???? ?? =21|x x ；当33< <-m ，即0>?时，解集为?? ? ????? ??+--+-+>1321322 222m m x m m x x 〈或；当33> -

高中数学必修五不等式知识点与练习题

第五讲不等式基础讲析一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或 > 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。练习：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______ （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。练习:（1）设0,10>≠>t a a 且，比较2 1 log log 21+t t a a 和的大小