二次函数导学案(全章)

第1课时 二次函数的概念

【学习目标】

1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备

1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活

3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。

4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？

一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？

(1)2

321x y +-= (2)112+=x y

(3)x y 222

+=

(4)2

51t t s ++= (5)

2

2)3(x

x y -+= (6)2

10r

s π=

即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)25213

2+-=x x y

(4)

1132--=）（x y (5)c

ax y -=2

(6)12+=x s

三、挖掘教材

6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数

12

32

++=+-kx x y k k

是二次函数，求k 的值。

分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解：

即时练习：若函数1)3(2

32++-=+-kx x

k y k k 是二次函数，则k 的值为 。

四、反思小结

1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式：

(1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。

4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 【达标测评】

1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A ．y =(x －1)(x +2)

B ．y =

2

1

(x +1)2 C ．y =2(x +3)2－2x 2 D ．y =1－

3x 2

2．在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系是 。

3．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式是 ，它是 函数。

4．正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，则y 与x 之间的函数表达式为 。 5．当m= 时，

2

2

)2(--=m

x m y 是二次函数；若函数

m

m

x m y --=2

)2(是二次函数，则m= 。

6．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 都是常数）：当a 时，它是二次函数；当a ，b 时，它是一次函数；当a ，b

，c 时，它是正比例函数。 7．若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k 。

第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质

【学习目标】1．能够利用描点法做出函数y＝ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质；

2．理解二次函数y＝ax2中a对函数图象的影响。

【学习重点】经历探索二次函数y＝ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质。

【学习过程】

一、学习准备

1．正比例函数y=kx(k≠0)是图像是。

2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是。

3．反比列函数y=

k

x

(k≠0)的图像是。

4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：，，。

二、解读教材

5．试作出二次函数y＝x2的图象。

（1）画出图象：①列表：（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）

②描点：（在右图坐标系中描点）

③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点）

（2）根据图像，进行小结：

①y＝x2的图像是，且开口方向是。

②它是对称图像，对称轴是轴。在对称轴的左侧（x>0）,y随x的增大而；在对称轴的右侧（x<0），y随x的增大而。

③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点

此时，坐标为（，）。

④因为图像有最低点，所以函数有最值，当x=0时，y最小= 。

2的图象。

小结：①y＝-x2的图像是，且开口向。

②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x，在对称轴的右侧，y随x的增大。

③顶点坐标是：（，），且从图像看出它有最点，所以函数有最值。当x=0时，。

同时，a 决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口 。 9．例 已知：抛物线

102

-+=m m mx y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，求m 的值。

10．已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 四、反思小结

二次函数的y ＝ax 2（a≠0）的图象与性质：五个方面理解： ， ， ， ， 。 【达标测评】

1．抛物线y=2x 2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小。当x= 时，函数y 的值最小,最小值是 。抛物线y=2x 2的图象在 方（除顶点外）。

2．函数y ＝x 2的顶点坐标为 ，若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 。

3．函数y ＝x 2与 y ＝-x 2的图象关于 对称，也可以认为y ＝-x 2 是函数y ＝x 2的图象绕 旋转得到的。 4．求出函数y=x+2与函数y ＝x 2的图象的交点坐标 。

5．若a>1，点（a-1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y ＝x 2的图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小关系是 。

【学习目标】1．会用描点法作出函数y＝ax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2+k的性质；

2．理解二次函数y＝ax2+k中a和k对函数图象的影响；

3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。

【学习重点】理解二次函数y＝ax2+k的性质。

【学习难点】理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。

【学习过程】一、学习准备1．画出两条抛物线的草图并填空。

二、解读教材2．用描点法作出二次函数y＝2x2+1的图像。

小结：①y＝2x2+1的图像是，且开口向。

②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：

在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x

③顶点是：( ， )，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x= 时有最值是。3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2

小结：

①抛物线y＝ax2+k的开口方向由决定，当时，开口向上；当时，开口向下。

②对称轴是，当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。且函数y当x=0时y min=。当a<时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的

增大而。且函数y当x=0时y max=。

③顶点坐标是（，）。

④y＝-x2的顶点坐标是（，），y＝-x2+2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2向平移个单位便可以得到y＝-x2+2。y＝-x2-2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2+2向平移个单位便可以得到y＝-x2-2。

4．变式训练1二次函数y=5

4

x2+3的图像是线，开口向，顶点坐标是，对称轴是；当x>0

时，y随x的增大而。当x= 时，y有最值为。

三、挖掘教材---抛物线y＝ax2+k可以由抛物线y＝ax2经过向上（k>0）或向下(k<0)平移|k|个单位得到。

5．函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数；函数y=-4+3

2

x2的图像可以看作函数y=

3

2

x2

的图像向平移个单位而得到。

6．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y=k

x

的图像有一个公共点是（-1，-1）。

（1）求二次函数及反比例函数解析式；

（2）在同一坐标系中画出它们的图形，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小。

四、反思小结：1．填表回忆

2.抛物线y=ax2+k 可以由抛物线y=ax2经过向（k>0）或向(k<0)平移个单位得到。

【达标测评】

1．抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线经过向平移个单位得到。

2．抛物线y=x2+4 的开口向，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；顶点坐标是，当x= 时，y有最值为。

3．抛物线y=-3x2上有两点A（x，-27），B（2，y），则x= ，y= 。

4．抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k= ，b= 。

第4课时 二次函数y=a(x-h)2和y ＝a(x-h)2+k 的图象与性质

【学习目标】1．能够作出函数y=a(x-h)2和y ＝a(x-h)2+k 的图象，并能理解它与y ＝ax 2的图象的关系，理解a ，h ，k 对二次函数图象的影响；

2．能够正确说出二次函数的顶点式y ＝a(x-h)2+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

【学习重点】能够作出函数y=a(x-h)2和y ＝a(x-h)2+k 的图象，正确说出y ＝a(x-h)2+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 【学习过程】 一、学习准备

1．说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。

（1）y=2x2 （2）y=-2x2+1 2．请说出二次函数y=ax2+c 与y=ax2的关系。

3

．我们已知y=ax 2，y=ax 2+c 的图像及性质，现在同学们可能想探究y=ax 2+bx 的图像，那我们就动手画图像。 列表、描点、连线。 二、解读教材

4．由学习准备可知，我们如果知道一条抛物线的顶点坐标，那么画图像就比较简单，所以我们可以先配成完全平方式结构。现在我们画二次函数y=3(x-1)2

+2的图象．在同一直角坐标系中作 y=3x2， y=3(x-1)2

，y=3(x-1)2

+2的图像，并结合图像完成下表。

观察后得到：二次函数y ＝3x 2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线．并且形状相同，开口方向相同，只是位

置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y＝3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象．

三、挖掘教材

5．抛物线的顶点式y＝a(x-h)2+k

在前面的学习中你发现二次函数y＝a(x-h)2+k中的a，h，k 决定了图形什么？用自己的语言整理得：

即时练习：直接说出抛物线y=-0.5x2，y=-0.5x2-1，y=-0.5（x+1）2，y=-0.5（x+1）2-1 的开口方向、对称轴、顶点坐标。

6．例已知：抛物线y=a(x-h)2+k的形状及开口方向与y=-2x2+1相同，当

即时练习

已知抛物线的顶点坐标是（3，5）且经过点A（2，-5），请你求出此抛物线的解析式。

7.例二次函数()2

221

y x

=-+的顶点坐标是，把它的图像向右平移2个单位再向下平移2个单位此时得到的抛物线顶点坐标为，它的解析式为。

四、反思小结

1．一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y＝a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象．（规律为：上正下负，右正左负）

2．二次函数的顶点式y＝a(x-h)2+k的图象是轴对称图形，对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k),a决定开口方向和大小，a＞0时，开口向上，有最小值k； a＜0时，开口向下，有最大值k。

【达标测评】

1．指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。

(1) y=2(x-3)2-5 (2) y=-0.5(x+1)2(3) y=-0.75x2-1

(4) y=2(x-2)2+5 (5) y=-0.5(x+4)2+2 (6) y=-0.75(x-3)2

2．函数y= x2的图象向平移个单位得到y=x2+3的图象；再向平移个单位得到y＝(x-1)2+3的图象。

y = ax

h )2

= a( x–h )2 +

y

第5课时 二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质

【学习目标】1．理解用配方法推导二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标，对称轴公式的过程；

2．会用公式求二次函数

c bx ax y ++=2的顶点坐标，对称轴；

3．会画二次函数

c bx ax y ++=2的图象，理解二次函数的性质。

【学习重点】会用公式求二次函数

c bx ax y ++=2的顶点坐标，对称轴。

【学习难点】理解用配方法推导公式的过程。 【课时类型】公式法则学习 一、学习准备

2．二次函数

25(3)2

y x =--

的顶点坐标是 ，对称轴是 。 二、解读教材

3．公式推导——二次函数

c bx ax y ++=2图象的顶点坐标，对称轴公式。

由上一节课，我们看到一个二次函数通过配方化成顶点式

k h x a y +-=2)(来研究了二次函数中的a 、h 、k

对二次函数图象的影响。但我觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。那么这节课，我们就研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。 例1 求二次函数c bx ax y ++=2图象的顶点坐标，对称轴。

解：

c bx ax y ++=2

=2

()b c a x x a a ++

=2

22[2()()]222b b b c a x x a a a a

++-+ =2

24()24b ac b a x a a

-++

二次函数c bx ax y ++=2

的顶点坐标是（2

4,24b ac b a a

--），对称轴是直线2b

x a

=-

。 4．公式应用——用公式求函数

c bx ax y ++=2的顶点坐标，对称轴。

(1)分别用配方法，公式法确定下列二次函数的顶点坐标，对称轴并比较其解值。 ①221213y x x =-++ ②2252y x x =-+

5．实际操作——画二次函数c bx ax y ++=2的图象

（2）已知：二次函数

2463y x x =-+

①指出函数图象的顶点坐标，对称轴。②画出所给函数的草图，并研究它的性质。 三、挖掘教材——二次函数

c bx ax y ++=2的性质

6．抛物线c bx ax y ++=2

（0a ≠）通过配方可变形为y=2

24()24b ac b a x a a

-++

(1)开口方向：当0a

>时，开口向 ；当0a <时，开口向 。

(2)对称轴是直线 ；顶点坐标是 。

(3)最大（小）值：当0a >，2b

x a

=-时，y min =

244ac b a -；

当0a <，2b

x

a

=-

时，y max = 。 (4)增减性：

当0a

>时，对称轴左侧（2b x a <-

），y 随x 增大而 ；对称轴右侧（2b x a >-），y 随x 增大而 ； 当0a <时，对称轴左侧（2b x a <-），y 随x 增大而 ；对称轴右侧（2b

x a

>-），y 随x 增大而 ；

【达标测评】

根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。 ①422+-=x x y ②1422++-=x x y

③221y x x =-++ ④2516y x x =-+

第6课时 二次函数))((21x x x x a y --=与一元二次方程

【学习目标】1．体会二次函数

))((21x x x x a y --=与一元二次方程之间的联系；

2．理解二次函数

)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之

间的关系。

【学习重点】把握二次函数图象与x 轴（或y=h ）交点的个数与一元二次方程的根的关系。

【学习难点】应用一元二次方程根的判别式、求根公式对二次函数及其图象进行进一步的理解，并结合二次函数的图象加以分析以解决一些问题。 【学习过程】 一、学习准备

1．已学二次函数的哪两种表达式？ 2．分解因式：x 2-2x-3； 3．解方程：x 2 -2x-3=0 二、解读教材

4．一元二次方程的两根x 1，x 2在哪里？

在坐标系中画出二次函数y= x 2 -2x-3的图象，研究抛物线与x

再找一个一元二次方程和二次函数试一试吧! 5．二次函数的两根式（交点式） 二次函数

)0(2≠++=a c bx ax y 的另一种表达式：y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）叫做二次函数的两根式又称交点式。

练习：将下列二次函数化为两根式：

（1）y=x 2+2x-15； （2）y= x 2+x-2； （3）y=2x 2+2x-12； （4）y=3(x-1)2-3 （5）y=4x 2+8x+4； （6）y=-2(x-3)2+8x 三、挖掘教材 6．抛物线

)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴是否有交点？

例 你能利用a 、b 、c 之间的某种关系判断二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴何时有两个交点，何

时一个交点，何时没有交点吗？

即时训练：（1）已知二次函数y=mx 2-2x+1的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 。 （2）抛物线y=x 2-(m-4)x-m 与x 轴的两个交点y 轴对称，则其顶点坐标为 。 （3）抛物线y=x 2-(a+2)x+9与x 轴相切，则a= 。 7．弦长公式：抛物线与x 轴的两个交点的距离叫弦长（如下图中的AB ）。 例 求抛物线y= x 2 -2x-3与x 轴两个交点间的距离。 总结：已知抛物线

)0(2≠

++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A （x 1，0）和B （x 2，0），

那么抛物线的对称轴x= ，AB=

21x x -=

2

21)(x x -= 。

即时训练：抛物线y=2(x-2)(x ＋5)的对称轴为 ，与x 轴两个交点的距离为 。

四、反思小结——二次函数与一元二次方程的关系

知识点1．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点有三种情况 ， ， ，交点横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的 。

知识点2．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的弦长公式： 。 【达标测评】

1．抛物线y=-9(x-4)(x ＋6)与x 轴的交点坐标为

。 2．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=

。

3．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围

。 4．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个 B ．2个

C ．1个

D ．0个

5．与x 轴不相交的抛物线是（ ）A ．y=3x 2-4 B ．y=-2x 2-6 C ．y=-x 2-6 D ．y=-3

1

(x+2)2-1 6．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点。

7．抛物线y=mx 2＋(3－2m)x ＋m －2（m≠0）与x 轴有两个不同的交点。

（1）求m 的取值范围； （2）判断点P(1，1)是否在此抛物线上？

8．二次函数y=x 2－(m －3)x －m 的图象如图所示。

（1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？ （2）当m 为何值时，方程x 2－(m －3)x －m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积。

O

x

x 1 x 2 y

A 对

称

第7课时 刷图训练

【学习目标】据二次函数系数a 、b 、c 画出抛物线的必要条件：开口方向、对称轴、顶点坐标与坐标轴的交点坐标。 【学习重点】二次函数一般式与顶点式、交点式的互化；找特殊点的坐标。 【候课朗读】 【学习过程】 一、学习准备

1．二次函数的一般式为：y= （其中0a

≠，a 、b 、c 为常数）

；顶点式为：y= ，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ；交点式为： （其中1x ，2x 是0y =时得到的一元二次方程20ax bx c ++=的根）

。 2．函数

2y ax bx c =++(0a ≠)中，a 确定抛物线的开口方向：当a ＞0时 ，当a ＜0时 ；a

和b 确定抛物线的对称轴的位置：当a 、b 同号时对称轴在y 轴的 侧；当a 、b 异号时对称轴在x 轴的 侧；（可记为“左同右异” ）c 确定抛物线与 的交点位置：当c ＞0时交于y 轴的 半轴；当c ＜0时交于y 轴的 负半轴。 二、阅读理解

3．定义：抛物线的草图：能大致体现抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点、x 轴上的两根为整根的抛物线叫抛物线的草图。

4．在抛物线的三种解析式的图象信息：

一般式能直接体现开口方向、与y 轴的交点；顶点式能直接体现开口方向、对称轴、顶点坐标；两根式能直接体现开口方向、与x 轴的两个交点。因此，它们各有优劣，其中以顶点式为最佳。 5．灵活转化三种形式并画出草图 ①1,a

b ==偶，（用配方法）

例1 作出函数242y x x =-+解：

242y x x =-+

2442x x =-+-

()2

22x =--

则大致图象是（画在上左图中）： 即时练习：在上右图中作出函数223y x x =+-的大致图象。

②1,a

b ==奇，（对称轴公式+代值）

x

例2 作出函数

253y x x =-+的大致图象。 解：∴55

2212b a --=-=?

min 51324

x y ==-当时，

则大致图象是：（画在左图中） 即时练习：在右图中作出函数232y x x =+-的大致图象。

③1a ≠（公式法）

例3 作出函数

2241y x x =-+的大致图象。 解：∵4

124

b a -=-=，

24816

148

ac b a --==-，

∴则大致图象是：（在空白处画图）

即时练习：在右边空白处作出函数

2223y x x =-+-的大致图象。

④两根式（先转化为一般式，再转换成顶点式） 例4 作出函数()()212y x x =-+的大致图象。

解：

()()212y x x =-+

()222x x =--

219244x x ?

?=-+- ??

?

2

19222x ?

?=-- ??

? 则大致图象是：

6．含有参数的抛物线中的图象信息 例5 作出函数

22y x x m =-+-的大致图象。

即时练习：在右边空白处画出函数y=－x 2+n 的大致图象。 变式训练：画出函数y=－x 2+mx+3的大致图象。 三、巩固训练：作出下列函数的大致图象 ①232y x x =-+- ②244y x x =--

③

221y x =+ ④()()1

122

y x x =

-+

x

第8课时 根据抛物线得到二次函数系数信息

【学习目标】根据图象得到a 、b 、c 及它们之间的关系。 【学习重点】读图、找出特殊点的坐标。 【学习过程】一、学习准备

二次函数

()20y ax bx c a =++≠中，它的顶点坐标式可写为：__________________，对称轴是 ，

顶点坐标是 ，还可以写为： ，其中对称轴是__________，顶点坐标是 。 二、典例示范 例1 已知函数

2y ax bx c =++的图象如图所示，1

3

x =

为该图象的对称轴，根据图象信息，你能得到关于系数a b c 、、的一些什么结论？

解：由图可得：

⑴a ＞0； ⑵1-＜c ＜0；

⑶123b a -=，即2

a = 又2b

a

-＜1而a ＞0则得b -＜2a ，∴2a+b>0；

⑷由⑴⑵⑶得abc ＞0； ⑸考虑1x =时

y ＜0，所以有a b c ++＜0； ⑹考虑1x =-时y ＞0，所以有a b c -+＞0；

⑺考虑2x

=时y ＞0，所以有42a b c ++＞0，同理2x =-时，42a b c -+＞0；

⑻图象与x 轴有两个交点，所以2

4b ac -＞0。

例2 如图是二次函数

2y ax bx c =++图像的一部分，图像过点A ()3,0-，对称轴1x =-，给出四个结论：

①2

b ＞4a

c ，②20a b +=，③0a b c -+=，④5a ＜b ，其中正确的结论是（ A 、②④ B 、①④ C 、②③ D 、①③ 分析：由图象可以知道a ＜0；抛物线与x 轴有两个交点，

∴2

4b ac -＞0，即2b ＞4ac ；

又对称轴1x =-，即12b

a

-=-，∴2a b =，b ＜0；

∴20a b -=，a 、b 均为负数，5a ＜b ；当1x =-时，抛物线有最高点， ∴a b c -+＞0；综上，正确的是①④，故选B 。 例3 如图所示的抛物线是二次函数22

3y ax x a

=-+的图象，那么a 的值是_____。

分析：由图象可知：a ＜0；当0x

=时1y =，

即2

1a

=，∴1a =±，但是a ＜0，故1a =-。

三、巩固训练 1．抛物线

2y ax bx c =++如图所示，则（ ）

A 、a ＞0，b ＞0，c ＞0

B 、a ＞0，b ＜0，c ＜0

C 、a ＞0，b ＞0，c ＜0

D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0 2．已知二次函数

2y ax bx c =++的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（ ）

①a b c ++＜0，②a b c -+＞0，③abc ＞0，④2b a = A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 3 c 0，当x_____时，y 随x 的增大而减小。

4．2

-()2,1；②对称轴可以是1x =；③当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3，其中正确叙述的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5．已知二次函数

()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是（ ）

A 、－1＜x ＜3

B 、x ＞3

C 、x ＜-1

D 、x ＞3或x ＜-1 6．抛物线

c bx ax y ++=2的图象与x 轴的一个交点是()2,0-，顶点是()1,3，下列说法中不正确的是（ ）

A 、抛物线的对称轴是1x =

B 、抛物线开口向下

C 、抛物线与x 轴的另一个交点是

()2,0 D 、当1x =时，y 有最大值是3

7．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ） A 、223y x x =-+ B 、223y x x =--C 、223y x x =+- D

28b<0，c<0。 。

9．已知y=x 2+ax+a-1的图象如图所示，则a 的取值范围是 。

10．据图抛物线y=ax 2+bx+c 确定式子符号：①a 0，②b 0，③c 0，④b 2-4ac 0，⑤a+b+c 0，⑥a-b+c 0。

第第第题

题 7题

11．若函数y=ax 2+bx+c 的对称轴x=1如图所示，则下列关系成立的是：（ ） A 、abc>0 B 、a+b+c<0 C 、a 2>ab-ac D 、4ac-b 2>0

2

【学习目标】1．掌握已知三点，会用一般式求函数的表达式；

2．掌握已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求函数的表达式。 3．掌握已知两根及一点，用两根式求函数解析式。

【学习重点】用一般式、顶点式求函数的表达式。 【学习难点】用顶点式和两根式求函数的表达式。 【学习过程】 一、学习准备：

1．已知一次函数经过点（1，2），（-1，0），则一次函数的解析式为 。

2．二次函数的一般式为 ，二次函数的顶点式 ，二次函数的两根式（或交点式）为 。 二、方法探究（一）——已知三点，用一般式求函数的表达式。

3．例1 二次函数的图象经过（0，2），（1，1），（3，5）三点，求二次函数的解析式。

4．即时练习 已知抛物线经过A （-1，0），B （1，0），C （0，1）三点，求二次函数的解析式。

三、方法探究（二）——已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。 5．例2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3），且经过点（-1，7），求函数的解析式。 解：设抛物线的解析式为

2()y a x h k =-+。

把顶点（－2，3）,即h=-2 , k=3 代入表达式为

2(2)3y a x =++

再把（－1，7）代入上式为

27(12)3a =-++

第

解得4a

=

所以函数解析式为24(2)3y x =++

即

241619y x x =++

6．即时练习 （1）抛物线经过点（0，－8），当1x =-时，函数有最小值为－9，求抛物线的解析式。

（2）已知二次函数2()y a x h k =-+，当2x =时，函数有最大值2，其过点(0，2)，求这个二次函数的解析式。

四、方法探究（三）——已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。 7．例3 已知抛物线经过（－1，0），（3，0），且过（2，6）三点，求二次函数的表达式。 解：设抛物线的解析式为

12()()y a x x x x =--

把抛物线经过的（－1，0），（3，0）两点代入上式为：

(1)(3)y a x x =+-

再把（2，6）带入上式为6(21)(3)a x =+- 解得2a =- 所以函数的解析式为2(1)(3)y x x =-+-

即

2246y x x =-++

8．即时练习 已知抛物线经过A （-2，0），B （4，0），C(0，3)，求二次函数的解析式。 五、反思小结——求二次函数解析式的方法 1．已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？

2．用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。 3．用两根式求二次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。 【达标测评】求下列二次函数的解析式：

1．图象过点（1，0）、（0，-2）和（2，3）。

2．当x=2时，y 最大值=3，且过点（1，-3）。

3．图象与x 轴交点的横坐标分别为2和-4，且过点(1，-10)

第10课时 求二次函数的解析式（二）

【学习目标】1．了解二次函数的三种表示方式；

2．会灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。

【学习重点】灵活地运用适当的方法求二次函数的解析式。 【学习过程】 一、学习准备

1．函数的表示方式有三种： 法， 法， 法。 2．二次函数的表达式有： 、 ， 。 二、典型例题——用适当的方法求出二次函数的表达式 3．例1 已知抛物线

2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点的横坐标是－1，3，顶点坐标是（1，－2），求

函数的解析式（用三种方法）

4．即时练习：用适当的方法求出二次函数的解析式。 一条抛物线的形状与2y x =相同，且对称轴是直线1

2

x =-

，与y 轴交于点（0，1），求抛物线的解析式。

5．例2 已知如图，抛物线

b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C 。

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点CO=3时，求抛物线的解析式。

6．即时练习：已知直线y=2x-4与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象相交于A （-2，m ），B(n ，2)两点，且抛物线以直线x=3为对称轴，求抛物线的解析式。

三、反思小结——求二次函数解析式的方法 1．已知三点或三对x 、y 的对应值，通常用2(0)y ax bx c a =++≠。

2．已知图象的顶点或对称轴，通常用

2()(0)y a x h k a =-+≠。 3．已知图象与x 轴的交点坐标，通常用12()()(0)y a x x x x a =--≠。

四、巩固训练

1．已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，该二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(4,0)。 （1）求B 点的坐标

（2）求这个二次函数的关系式；

2．如图，在平面直角坐标系中，直线

y =-与

x

轴交于点

A ，线

2(0)y ax x c a =-

+≠经过A B C ，，三点。 （1）求过

A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标。

（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 若不存在，请说明理由。