函数及其表示经典例题

函数及其表示

2014年9月21日

上节课知识点回顾

1、集合中元素的三个特性

元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，

元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book 中的字母构成的集合，

元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。例如：集合{}5,4,2,3,1和集合{}5,4,3,2,1是相同的集合。

2、集合的表示方法

列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

3、子集、空集的概念.

① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ??或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A .

空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

4、交集、并集.

① 一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B ，读“A 交B ”，即：

{|,}.A B x x A x B =∈∈且

Venn 图如右表示.

②类比说出并集的定义.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A B，读作：A并B，用描述法表示是：

=∈∈

或.

A B x x A x B

{|,} Array Venn图如右表示.

一、函数及其表示知识点

1．映射的概念：设B

A、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是集合A 到集合B的映射,记作f(x).

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：设B

A、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对A 中的任意数 x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则这样的对应关系叫做从A到B的一个函数，通常记为___y=f(x),x∈A

(2)函数的定义域、值域

在函数A

(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x =),

f

x

x

y∈

的值相对应的y值叫做函数值，对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

5．区间的表示：例如[a,b]

三、经典例题讲解

（一）映射的概念

例1：下述两个个对应是A 到B 的映射吗？

（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=

变式训练：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个

（二）判断两函数是否为同一个函数

方法：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例2： 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x x x f =)(，???<-≥=;01,01)(x x x g

（三）求函数解析式

方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 题型1：用待定系数法求函数的解析式

例3：已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.

例4：二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)解不等式f (x)＞2x ＋5.

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例5：已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f

题型3：求抽象函数解析式

例6：已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.

（四）求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例7：函数()13f x x =-的定义域为（ ） A ．[)(]22+∞-∞-，， B ．[)()2,33+∞，

C ．(][)()22,33-∞-+∞，，

D ．(]2-∞-， 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例8：已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域

（五）求函数的值域

求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

例9：322+--=x x y

(2)换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数

例9：x x y 21-+=

（3）分段函数:分别求函数值域，

例9：函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ?-≤≤?=?+-≤≤??

的值域是（ ） A ．R B ．[)9,-+∞ C ．[]8,1- D ．[]9,1-

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

例10：1

122+-=x x y （5）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

四、课堂练习

1、已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（

） A ．32x +

B ．32x -

C ．23x +

D ．23x - 2、函数x x x x f -+=0

)1()(的定义域是（ ）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且

3、设函数1

11y x =+的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ）

()A {0},{0}M x x N y y =≠=≠ ()B {0},{}M x x N y y R =≠=∈

()C {01,0}M x x x x =<≠->且或，{0011}N y y y y =<<<>或或

()D {1100}M x x x x =<--<<>或或， {0}N y y =≠

4、判断以下各组函数是否表示同一函数

（1）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；

（2）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；

5

、已知)()11,f x f x =-=则_____________。

6、已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )

＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．

7、．已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1

(2)(=+，求)(x f

8、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________

9、求2285y x x =-+- 的值域： （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x

10、求下列函数的值域

（1）13432)(-+-=x x x f

（2） 3243

x y x +=

- 五、课后练习

1、已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域

2、求函数53-++=x x y 的值域

3、设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1

()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.