模式识别在初中数学解题中的应用2

模式识别在数学解题中的应用 武汉第三寄宿中学 桂文通

茫茫题海，何处是岸，广大数学教师都在苦苦思索，如何引导学生挣脱题海，摒弃题海战术、强化模式在解题中的典范作用是一剂良方.“数学就是对模式的研究”（怀德海）.在学习数学过程中，学习者所积累的知识、方法、经验经过加工、融合，会得出具有长久保存价值的或基本的典型结构与重要类型——模式.若能将其有意识地记忆固化，形成固有的模型和通法，当遇到一个新题目时，只需辨认它属于哪一类基本模式，联想此模式的通法，在记忆贮存中提取相应的方法加以解决，就能举一反三，以简驭繁，融会贯通.这就是模式化解题的基本策略.其过程可用框图表示为：

?抽象

???赋予意义???寻找模式

1． 数学模式

数学模式可以理解为数学知识结构，是内化到人头脑中的符号（表象、语言等）形式，也就是皮亚杰所说的狭义的认识图式，它是对客观现实的结构特征和量化属性的形式化、概括化的描述，是对事物的量化本质的认识，是人脑抽象思维的产物.“无论是数学中的概念和命题，或是问题和方法，事实上都应被看成一种具有普遍意义的模式.从而，从总体上说：数学就应被说成是‘模式’的科学”.就是最简单的自然数“2”也是人们在和物品打交道的过程中，从两个人、两张桌子、两个苹果…之中，将其数量上的共同属性抽象概括成统一的模式，并用“2”加以表示，2就是一个模式.我们经常说的数学模型其实也是一种数学模式，它是把实际问题用数学语言抽象概括，在从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学模型.因此，数学模式在数学科学以及其他科学中随处可见，难怪有人把数学成为“模式”的科学.从数学发展史来看，数学的历史就是不断地创造模式，研究模式、应用模式的历史.怀特海在50多年前就指出：“数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究”.同时，随着人们认识的不断深化，数学模式的抽象概括程度逐步提高，形成了一系列新的、内涵更丰富的数学模式，所以数学模式具有鲜明的层次性.

具体到中学数学教学，我们就应遵循数学模式发展的一般规律,用模式论的观点、方法指导数学教学，加强数学模式的识别，数学模式的研究和应用，数学模式的创造. 2． 模式识别的基本含义

数学解题中的模式识别来源于解题的一个基本经验;拿到一道题目，我们总是辨别它是否属于已经

掌握的类型。如果属于，那就提出解决该类型的方法来解答；如果不是直接属于，那我们会设法进行一些变化；如果无论如何变化都不属于时（题目比较陌生或比较复杂），我们可以考虑其它途径。

这个人们共有的经历和朴素的体验可以上升为模式识别的解题策略。 2.1解题基本模式；

学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型，我们称为解题基本模式。 2.2数学解题中的模式识别；

当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪类基本模式，联想起一个已经解决的问题，以此索引，在记忆储存中提取相应的方法来解决。这就是模式识别的解题策略。 2.3模式识别的多角度理解.

（1）从解题思想的角度看；这是一种化归思想的实现形式。首先是化生为熟。化归为已经解决的问题；其次，化繁为简，花非常题为标准模式。 数学家对化归思想的形象解释

对于数学家来说，他们往往不对问题进行正面思考，而是不断变形，直至把它转化为一个能够解决的问题。比如：现有煤气灶、水龙头、水壶摆在你面前，当你要烧水时，你应该往壶里注满水，然后把水壶放在煤气灶上.现在把所说的问题稍作修改，假定水壶中已盛满了水，其它情况不变，请问，此时你该怎么去做？物理学家说：“点燃煤气，把壶放上去.”数学家却这样说：“只要把壶中的水倒掉，就转化为前面所说的问题了.”

-——（匈牙利）路莎·彼得《无穷的玩艺》

例1.圆周角定理的证明；

例2.①（2009年全国联赛题）如图1,已知D 、E 、F 分别在⊿ABC 三边上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，设⊿ADE 、⊿EFC 的面积分别为S 1、S 2，请用S 1、S 2表示平行四边形DBFE 的面积.

②如图2，四边形DEFG 为⊿ABC 的内接平行四边形，设⊿ADE 、⊿EFC 、⊿DGB 的面积分别为S 1、S 2、S 3，请用S 1、S 2、S 3表示平行四边形DGFE 的面积（只写结果）。

S =

S = （2）从思维的角度看；是思维定势的正迁移。

B

B

F

图2

图1 A

B

C

D

E

（3）从方法论的角度看.体现了基本问题的想法，从基本问题出发去解决更多、更复杂的问题，像用预制构件，盖出房子。

例3．（1994年全国联赛题）若平行直线EF 、MN 与相交直线AB 和CD 相交成如图3所示的图形，则共得同旁内角（ ）对.

A.4

B.8

C.12

D.16

方法1：（取出1条直线使剩下的线组成三线八角）分成四类；

方法2：（取出三角形或平行线来组成三线八角）分成两类；

例4 如图4 ，已知AD 切⊙O 于点A ，BD 经过圆心O ，AE ⊥BD 于E ，根据图形，尽可能地写出成比例线段的式子.

（1）由已知条件可知本题中存在下列几个基本图形：如下4图

图5 图6 图7 图8

（2）由基本图形联想到有关定理：由图5、6联想到母子相似三角形 。由图7联想到三角形的内（外）角平分线。由图8联想到切割线定理。从而得出有关比例线段。

3.模式识别的应用层次 3.1模式识别的具体操作；

拿到一道题目，在理解题意后，立即思考问题属于哪一学科，哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以先拿来试一试？不行再试第2个方法。这就是学生用模式识别解题的具体操作过程。这个简单的过程已经回答了数学解题中的两个根本问题：从何处下手？

N M

F E

D C

B

A 图3

图4

B

向何方前进？拿道题目就从辨别模式入手，就沿着检索方法及使用方法的方向前进。 3.2模式识别的应用的三个层次. （1）直接识别，直接使用；

拿到题目，经过辨认，它属于某个基本模式，于是提取该模式的相应的方法来解答。课本中绝大数习题，中考、竞赛中的低档、中档题都可以归入这一解决层次。 （2）转化识别，化归使用；

遇到稍新、稍难一点的题目，看不出直接属于某个基本模式，但将条件或结论作出变形，或深层次理解后就属于基本模式

例5.直线平分四边形的面积 3.直线平分梯形的面积

(1)【将梯形问题转化为三角形问题】

方法1：如图6，取CD 的中点E ，连结AE 并延长交BC 的延长线于F ，再作⊿ABF 的中线AG 即可，则AG 平分梯形的面积.

∵CEF ADE S S ??=， ∴ABF ABCD S S ?=梯形， 而AGF ABG S S ??= ∴AG 平分梯形的面积。

方法2：如图7，分别延长BA 、CD 交于G 点，再作⊿GBC 的中线GM 交AB 于N 点，则MN 平分梯形的面积.

∵AD ∥BC ∴

CM

DN

GM GN BM AN == ∵BM=CN ∴AN=DN 由图1的结论知DGN AGN S S ??=、CG M BG M S S ??= ∴ABMN S 梯形=CDMN S 梯形 即MN 平分梯形的面积.

图6

图7

A

B

C

D

G

M N

图8

A

B

C

D

M N

图9

D

C

B

A

M P F

E

O

N

图11

n

m

a

b

x N D C

B

A F E

G M H

图7的M 、N 其实分别是BC 、AD 的中点，即只要过梯形上下底的中点的直线MN 就平分梯形的面积.下面给出另一种证法.

如图8，分别连结AM 、DM. 显然D MN AMN S S ??=

又∵BM=CM ，且点A 、D 到BC 的距离相等. ∴D CM ABM S S ??= ∴ABMN S 梯形=CDMN S 梯形 即MN 平分梯形的面积. (2)【将梯形问题转化为平行四边形问题】

如图9，取CD 的中点P ，过点P 作EF ∥AB 分别交AD 延长线、BC 于E 、F 两点.可证PCF PD E S S ??=，所以ABFE ABCD S S 平行四边形梯形=，再过平行四边形ABEF 的中心O 任作一条与上下底都相交的直线MN 即可，从而MN 平分梯形的面积.

在图9中，连结PO ，并延长交AB 于G(如图10)，可知PG 是梯形ABCD 的中位线，由图9知，只要过梯形中位线的中点任作一条与上下底都相交的直线MN 就平分梯形.同样给出另一种证法.

设梯形ABCD 的高为h.

∵h GO h BN AM S AMNB ??=?+=

221

)(21梯形=GO ·h 而h GP h GP h BC AD S ?=??=+=221

)(21ABCD 梯形，

∵GO=21GP ∴2

1

=AMNB S 梯形ABCD 梯形S ∴MN 平分梯形的面积.

4.直线平分任意四边形的面积

【通过作四边形的对角线将四边形转化为三角形，再运用等积变换的方法处理】

方法1：连AC ，作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，取BE 的中点M ，则AM 平分四边形ABCD 的面积.

∵DE ∥AC ∴ACE ACD S S ??= ∴ABCD S 四边形=ABE S ? ∵M 是BE 的中点 ∴AM 平分四边形ABCD 面积

方法2：连AC 、BD ，取BD 的中点O ，作OM ∥AC 交BC 于M ，则AM 平分四边形ABCD 的面积.

∵O 是BD 的中点 ∴AOD ABO S S ??=, DOC BOC S S ??= ∴ABOC S 四边形=

21

ABCD

S

四边形 ∵OM ∥AC ∴CMD AMO S S ??= ∴ABOC S 四边形=AMB S ? ∴AM 平分四边形ABCD 面积.

图12

A

B C

D

E

M 图13

A B

C

D

O

N

（3）分解整合，创造条件使用.

遇到更新、更难、更活的题目，简单变形仍看不出属于某个基本模式，那么一方面可以将题目加以组合或分解，使组合后的新问题、或分解后的各个子问题成为基本模式；另一方面也可以将基本模式加以深化或重组，用整合过的综合模式来解决所面临的问题。

例6 .如图5，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 过圆心O ，CE 平分∠ACB 分别交⊙O 和AB 于点E 、D ，若PA=4，PC=8，求CD ·CE 的值.

图10 图11 图12

分析；图9可分解三个基本图形。如图10、11、12。

（1）、图10是初中几何教材第三册P 100-10的图形，可以利用该题的结论将问题的结论进行转化，因为可证⊿CDB

～⊿CAE ，从而CD

·CE=AC ·BC

（2）、图11是切割线定理的图形，由该图形得

PC 2

=PA ·PB 又由 PA=4、PC=8， 可求AB=12……①。又由该图形可证⊿PAC ～⊿PCB 推出BC AC =PC PA =2

1

……②

（3）、图12是直角三角形，联想到勾股定理，即AC 2

+BC 2

=AB 2

，再结合前面的式①②，可求出AC=

5

12、

BC=

5

24 ∴CD ·CE=AC ·BC=

5

288

4．积累模式

4．1课本学习的总结归类； （1）基本定理、基本公式等； （2）基本图形；

第一类：“A 字型”或“X 型” 如下列图形：

“A 字型” “X 型” “双A 字型”

图5

B

第二类：“子母三角形” 如下列图形：

△ABC 与△ACD △ABC 与△DAC 、△DBA △ABC 与△ADB

第三类：“站着一个，睡着一个” 如下列图形：

第四类：“八字型”或“蝴蝶型” 如右图：

第五类：旋转类相似（经常与四点共圆有关）如下列图形：

（3）基本方法（包括几何图形的辅助线作法） 面积问题的处理方法；

中点问题; ……

例7.(2008年江苏省竞赛试题)如图6，在⊿ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE=∠ACF ，BE 、CF 交于点O ．过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ ．

D

C B A

D C B

A D C

B A

B

C

ABC 与ADE

C

A

D

B

E

F O P Q

P )C

B

这是一道源于课本，超越课本的一道几何竞赛题．说它来源于课本是基于当OQ 与CF ，OP 与BE 重合时，即BE 、CF 是△ABC 两边上的高时（如图2），比较容易证得DF (Q )=DE (P )．有了这样的实际数学背景，在保证图形本质不变（即∠ABE =∠ACF ，OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ）的前提下，对原图形进行变换，这样既可以考查学生对图形与变换本质的理解，也能考查学生对数学解题方法、策略的体悟与运用．作为教师，在素质教育和创新教育的今天，对作为数学教育任务之一的解题教学而言：“我们不能仅把“题”作为研究的对象，把“解”作为目标，而且要把“解题活动”作为研究对象，把“学会数学的思维”、促进人的全面发展作为目标．”基于上面的认识，笔者认为有必要对解题活动进行更深入的探求，并且在日常的教学活动中自觉的引导学生对其“解题活动”进行反思，这样的反思不仅是一个全面“回头看”“解题分析”过程，更是一个理清自己数学思维和在数学活动中所涉及的知识、方法、策略“科学研究”的过程．

探求1 信息整合，诱发证题思路

从已知提供的信息看，线段DQ 和DP 相等的关系是依赖于线段BC 的中点D 以及相似的两个直角三角形△OBQ 和△OCP ，与其他元素关系不大，联想到三角形中位线和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这两个定理，结合原图形模式，从而诱发能否利用中点解决这个问题呢？

证法一：如图3，取OB 中点M ，OC 中点N ．

因为D 为BC 的中点，所以DM ∥OC ，DM ＝12OC ，DN ∥OB ， DN ＝

1

2OB ．

在Rt △BOQ 和Rt △OCP 中，QM ＝12OB ，PN ＝1

2

OC ．

所以DM ＝PN ，QM ＝DN ． ∠QMD ＝∠QMO ＋∠OMD ＝2∠ABO ＋∠FOB ， ∠PND ＝∠PNO ＋∠OND ＝2∠ACO ＋∠EOC ． 因为∠ABO ＝∠ACO ，∠FOB ＝∠EOC ，

所以∠QMD ＝∠PND ． 于是△QMD ≌△DNP ，从而DQ=DP ．

这种证法是竞赛组委会提供的标准答案，说明了此种证法学生是有实际数学背景、操作经验和思维基础的，也体现出数学竞赛是为了引导和促进学生的学好数学、学会数学、会学数学的理念．

探求2 信息挖掘，形成新思路

证法一是利用中点构造两个三角形全等解决线段DQ =DP 的问题．如果我们把思维聚焦到两个Rt △OBQ 和Rt △OCP 中，结合证法一的思路，经验题感就告诉我们：点Q 和P 能否构造为某个三角形的中点而解决问题呢？

证法二：如图4，在直线BF 上取点M ，使QM=BQ ，

在直线CA 上取点N ，使PN=CP ．连接CM ，BN ，OM ，ON ．

所以DQ=12CM ，DQ ∥CM ，DP=1

2BN ，DP ∥BN ．

C A

D

B

E F

O

P Q

M

N

图3

C

A

D

B

E F

O P

Q

N M

因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以OM ＝OB ，ON ＝OC ．

∠BOM ＝1800－2∠ABO ，∠CON ＝1800

－2∠ACO ，

因为∠ABO ＝∠ACO ，所以∠BOM ＝∠CON ． 从而∠BON=∠BOM ＋∠MON ＝∠CON ＋∠MON ＝∠COM ．

所以△OMC ≌△ONB ，所以CM=BN ，从而DQ ＝DP ．

探求3 经验迁移，激发新意向

利用题目中本身所存在的数学知识结构，结合某些解题方法和某些条件的有效组合，进而形成了上面的两种解题方法．但是解题方法的产生与解题经验是密不可分的，所以我们可以进一步考虑能否再利用中点D ，即延长线段PD 或QD （即倍长中线的解题经验）来解决问题呢？可以试一试

证法三：如图5，延长线段PD 到点M ，使DM=PD ，连结线段BM 、QM 、QP ．

根据“SAS ”定理，易证△BMD ≌△CPD ， 所以∠ACB =∠CBM ，BM =CP ； 又易证△OBQ ∽△OCP ， 所以

OP OQ CP BQ =．故OP

OQ

BM BQ = 因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB 所

以

A A

B A Q O ∠+∠=∠-=∠0

1

8

Q

C

B

ABC ∠=∠+∠=

所以△BQM ∽△OQP ．所以OQP BQM ∠=∠

又因为OQ ⊥AB ，所以QM ⊥QP 即△MQP 是直角三角形，故DQ =DP ．

上面证明的方法简洁明了，体现了数学的美感，这种“直觉性题感”常常有助于解决问题意向的产生．类似的，倍长线段QD 解决这个问题自然成了题中之义（证明略）．

探求4 结论启示，构造新途径

从结论DQ =DP 看，△DQP 是等腰三角形，如果能够证明它，问题也就迎刃而解．由此我们很容易从记忆中提取等腰三角形“三线合一”这条性质．所以，连结PQ ，取线段PQ 的中点H ，剩下的任务只要能够证明DH ⊥PQ 即可．

证明四：如图6，作直线PQ ，取线段PQ 的中点H ， 连结DH 、AO ，过点B 、C 作BM ⊥PQ 、CN ⊥PQ ， 垂足分别为M 、N ．

因为OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，所以点A 、Q 、O 、P 四点在以AO 为直径的圆上．

M

O F

Q

P E D C

B

A

图

5 H N

M

O

F Q

P

E D

C

B

A

所以∠AOQ ＝∠APQ ，而∠APQ =∠NPC 所以CPN AOQ ??∽， 所以

PN

OQ

CP AO =

． ① 同理可证BQM AOP ??∽， 所以

MQ

OP BQ AO =． ②

又因为BOQ COP ??∽，所以

OQ

OP

BQ CP =

③ 由①、②、③式可以得到MQ =NP ， 又因为QH =PH ，

所以 MH =NH ，即点H 为线段MN 的中点，又因为点D 为线段BC 的中点，

所以线段DH 是直角梯形MBCN 的中位线． 即DH ∥BM ∥CN ， 所以DH ⊥PQ ．从而问题得证．

探求５ 删繁就简，直击问题本质

证法四中运用了梯形的中位线定理和相似变换，那么证法能否更优化呢？由此我们产生删繁就简的“念头”，结合前面我们对图形与图形之间关系研究的深刻反思，在证明问题中起着最关键作用的关系在头脑中逐渐抽象出来，新的证法也可以由此萌生．

证法五：如图7，连结线段PQ 、PB ，分别取它们的中点H 、M ， 连结HM 、MD 、HD ．因为线段HM 、MD 分别是△PQB 、△PBC 的中位线，

所以MD PC HM BQ PC DM BQ HM 2,2,,==且∥∥

ACB MBD MDB MBD PMD QBP HMP ∠+∠=∠+∠=∠∠=∠,

所以ACB MBD QBP PMD HMP HMD ∠+∠+∠=∠+∠=∠

A A C B

ABC ∠-=∠+∠=0

180 易证A QOP ∠-=∠0

180， 所以HMD QOP ∠=∠.

又因为BOQ COP ??∽，所以HM MD OQ OP BQ CP ==.

所以HMD QOP ??∽，由此可得MHD OQP ∠=∠，

因为OQ ⊥AB ，0

90=∠+∠AQP OQP ，由BQ HM ∥得到MHQ AQP ∠=∠

图7

所以090=∠+∠MHQ MHD ，即DH ⊥PQ ．从而问题得证．

这种证明的方法是利用三角形的中位线和相似变换，相比上面的方法来说就显得简洁明了，而且证明的方法更具有创新性，思维也显得更自觉、更周密．

通过对问题证法的探求过程，我们不但发现了新的证法，而且对题目有了更深刻、更本质的认识和把握．不仅沟通了旋转相似变换、全等变换、三角形、四边形等知识之间的联系，更为可贵的是我们形成了解决中点类问题的方法和策略，体悟了运用数学方法解决规律性探索问题的策略，可谓一举多得，收获颇丰．行文至此，笔者想借用罗增儒教授的话结束本文：“对“解题过程的反思”则继续把解题活动作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解”进一步分析增强数学能力、优化认知结构、提高思维素质，学会“数学地思维”，重点在怎样学会解题．”

4．2解题过程的分析提炼

例8．反比例函数模型；

（1）．完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，甲、乙一齐干几天完成？（工程问题）

工作效率×工作时间=工作量

（2）。从甲地到乙地，客车需2小时，货车需3小时。现两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？(行程问题)

速度×时间=路程

（3）。妈妈去商店买布，所带的钱可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米。现三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各卖几米？

单价×数量=总价

单位量×单位数=总量（定值） ab=k

（1）甲干2天完成，即11b a =k ，21=b ； （2）乙干3天完成，即22b a =k ，2b =3； （3）甲乙一起干，即b a a )(21+=k ，有 b=

21a a k

+=21b k b k k +=2

1111b b +

对于反比例函数y=f （x ），若已知21,y y ，则

f （21x x +）= f （

2

1y k

y k +

）= (2)

1111y y + 更一般形式

f （21x x ++…+n x ）= f （

21y k y k +

+…+n

y k

）=…=n

y y y 111121+++

（4）.如图，在直线a 上平放有3个面积相等的长方形，其高分别为2米、3米、6米，现有一平行于a 的直线b,使截得三部分(阴影部分)面积的和恰好等于一个长方形的面积，则a 、b 之间的距离是多少米.

（5）。某水池有编号为1，2，3，9的九个进出口水管，有的只进水，有点只出水，已知所开的水

管号与水池灌满时间如下表：

若九管齐开，水池多少小时灌满？

12111

,2x x += 23111,4

x x += …

91111

496

x x +=

1111124496

=+++

例9．（《中等数学》2004，6 2005，1）22)2(4b ax ac b +=-；

20ax bx c ++=

224440a x abx ac ++=

22222

2

444(2)4a x abx b b ac ax b b ac

++=-+=-

应用1（2004，“TRULY 信利杯”全国联赛题）已知a 0,b ≤0,c 0,

求2

4b ac -的最小值。

所以二次方程2

10acx bx ++=由实根x=-1 于是ac=b-1

224(2)b ac acx b -=+=22[2(1)(1)](2)4b b b --+=-≥ （b ≤0）

应用2（2004，全国联赛题）已知2

2

64320x x n n ---=的根都是整数，求整数n 的值。

222

2

(3)(4329)0(3)(28)550

x n n x n --++=--++=

例10．一组与旋转有关的勾股问题； 1． 问题的产生

如图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

在图3中，旋转小直角三角形可以得到如下问题：

①．在图3中，绕点D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC 、BC 交于点E 、F ，如图4，求证：22

2

EF BF

AE =+；若继续旋转小直角三角形，使它的两直角边的延长线分别与CA 、BC 的延长

线交于点E 、F ，如图5，此时结论22

2

EF BF

AE =+是否仍然成立？

B

D

B

D

图1

图2

图3

【分析与解】在图4中，由AD=BD ，将⊿AED 绕点D 顺时针旋转180°，得⊿BE ′D ，AE=B E ′、ED= E ′D

因为∠FBE ′=∠ABC+∠AB E ′=∠ABC+∠CAB =90°

所以在Rt ⊿B E ′F 中有 E ′B =+22BF E ′2

F 又由FD 垂直平分E E ′得 EF=F E ′ 所以代换得 22

2

EF BF AE =+

在图5中同理可证相关结论。

②．在图3中，绕点C 旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 的延长线分别与AB 交于点E 、F ，如图6，求证：222

EF BF

AE =+；若继续旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 的延长线分别与AB

及其延长线交于点E 、F ，如图7，此时结论22

2

EF BF AE =+是否仍然成立？

【分析与解】在图6中，由AC=BC ，将⊿AEC 绕点C 逆时针旋转90°，得⊿BE ′C ，AE=B E ′，CE=C E ′

因为∠FBE ′=∠ABC+∠CB E ′=∠ABC+∠CAB =90°

所以在Rt ⊿B E ′F 中有 E ′B =+22BF E ′2

F 又可证⊿CEF ≌⊿C E ′F 得 EF=F E ′ 所以代换得 22

2

EF BF

AE =+

在图7中同理可证相关结论。

③．在图6中，

求证：

E'

E'

F

E'

2222CF BF AF =+；在图7中结论2222CF BF AF =+是否仍然成立？

【分析与解】在图8中，由AC=BC ，将⊿BFC 绕点C 顺时针旋转90°，得⊿AF ′C ，BF=AF ′、CF=CF ′

因为∠FAF ′=∠CAB+∠CAF ′=∠CAB+∠CBA =90°

所以在Rt ⊿AF ′F 中有 F ′A =+2

2

AF

F ′2F ，即=+22BF AF F ′2F

又可证⊿CF F ′是等腰直角三角形 ，所以 F ′2

F =22

CF 所以代换得2

2

2

2CF BF AF =+

在图9中同理可证相关结论。 2．问题的拓展

2． 1问题①中“等腰Rt ⊿ABC ”可以改为“Rt ⊿ABC ”，结论仍然成立。 2．2 问题②拓展

拓展1：.如图9，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，满足⊿CEF 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ，试问线段BM 、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由.

【分析与解】在图9中，将⊿ADF 绕A 点顺时针旋转90°，得⊿ABG ，且FD=BG 、AD=AG

因为⊿CEF 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，

所以CE+EF+CF=CD+BC=CF+FD+CE+BE ，化简得EF=EG ， 从而可证⊿AEG ≌⊿AEF 推出∠EAF=∠EAG=45°

此时该问题就转化为图6中问题了。由前面的结论知2

2

2

DN BM MN +=再由勾股定理的逆定理知，线段BM 、MN 、DN 可构成直角三角形.

拓展2：如图10，在⊿ABC 中，∠ACB=120°，AC=BC ，E 、F 在AB 上，且∠ECF=60°， ∠CEF=45°，求证：

222EF AE BF =-

【分析与解】在图10中，由AC=BC ，将⊿AEC 绕点逆时针旋转120°，得⊿BE ′C ，CE=CE ′，AE=B E ′

因为∠FBE ′=∠ABC+∠CBE ′=∠ABC+∠CAB =60°

E

F 图

9

B

E

F 图10

可证⊿CEF ≌⊿C E ′F 得EF=F E ′，且∠CF E ′=∠CFE=75°

从而∠E ′FB=180°-2×75°=30° 所以∠FE ′B=180°-30°-60°=90° 在Rt ⊿B E ′F 中有2

'22'F E B E BF =- 从而有2

2

2

EF AE BF =-

2．3问题③拓展

拓展1：若图11中的F 点在等腰Rt ⊿ABC 的内部，且∠CFB=135°，求证：2

2

2

2CF BF AF =-

【分析与解】在图11中，由AC=BC ，将⊿AFC 绕点逆时针旋转90°，得⊿BF ′C ，CF=CF ′，AF=B F ′

可得⊿CFF ′是等腰直角三角形，所以∠CFF ′=45° 又由∠CFB=135°得∠F ′FB=90°

在Rt ⊿B E ′F 中有22

2

'

'F F BF

B F =-

又在Rt ⊿C F ′F 中有2

2

2'FB F F = 代换得 2

2

2

2CF BF AF =-。

拓展2：若图8中的F 点在等边⊿ABC 的内部，且∠CFB=150°，求证：2

2

2

CF BF AF =-

【分析与解】在图12中

因为AC=BC ，将⊿AFC 绕点逆时针旋转60°，得⊿BF ′C ，CF=CF ′，AF=B F ′

可得⊿CFF ′是等边三角形，所以∠CFF ′=60° 又由∠CFB=150°得∠F ′FB=90°

在Rt ⊿B E ′F 中有22

2''F F BF B F =-

代换得 2

2

2

2CF BF AF =-

三．一点体会

用动态的观点观察图形的运动，可以发现和提出一些数学问题。将问题特殊化或一般化，可以得到新的问题；将一个明显的条件用等价问题替代，可以提高问题复杂性和研究性；类比法有时也是发现新问题的一种途径。

旋转变换是我们解题的一种重要工具。它可以将分散的线段集中起来，实现线段或角等元素的“搬家”和已知条件的重组，从而有利于我们联想并选择适当的方法（本文主要是运用勾股定理一）将问题解决。

通过问题的拓展和变式可以发现 “形式的差异往往蕴含着精神实质的一致”：不同的问题的结构形式或图形的运动形式可能有些差异，但解决问题的方法却出现了惊人的一致（旋转法），问题结论也体现着和谐的统一。

B

例11．

c

b a 1

11=+模型；

例12．⊿ABC 的外接圆的直径公式.

在图1中如果作?ABC 的高AD,如图5,则sinB=AB

AD

,由等式(1)得

2R=AD

AC AB ?……(5).

这个结论也可以通过证明?ABD ～?AEC 获得.

等式(5)我们可以用文字表达为:三角形外接圆的直径等于三角形的两边之积除以第三边上的高.

等式(5)也可以写成AB ·AC=2R ·AD ……(6),当?ABC 的高AD 和它的外接圆的大小不变时, AB ·AC 也是定值.

下面举几例说明等式(5)、(6)的运用.

、在⊿ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，设能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径为R ，求R 的最小值。

例4、如图6,圆心A 在⊙O 上,点D 是⊙A 上一动点,过点D 作⊙A 的切线交⊙O 于B 、C 两点,连结AB 、AC.已知⊙A 、⊙O 的半径分别为r 、R,求证： AB ?AC 的值不变。

证明:由BC 是⊙A 的切线,D 为切点.得AD ⊥BC, 且AD=r. 由等式(6)知AB ·AC=2R ·AD=2Rr(定值)

例5、如图7，设两圆O 1、O 2内切于A ，其直径分别为D 、d （D ＞d ），任作一直线垂直于连心线所在的直线，并使其在连心线同侧分

别交⊙O 1、⊙O 于B 、C ，

求证：⊿ABC 外接圆的面积是定值。

证明:如图7,连心线O 1O 2分别交⊙O 1、⊙O 于E 、F,连BE 、CF.

因为AE 、AF 分别是⊙O 1、⊙O 的直径, ∠ABE=∠ACF=900

.又有BC ⊥ O 1O 2.所以由射影定理得AB 2

=AG ·AE, AC 2

=AG ·AF.

根据等式(5) 得2R=

AG

AC

AB ?,

两边平方得4R 2

=2

22AG

AC AB ?=2AG AF

AG AE AG ???=AE ·AF 所以⊿ABC 外接圆的面积为

4

AF AE ?π=

4

dD

π(定值)

例6.如图8,在平面直角坐标系中, B(-3,0),A 为y 轴正半轴上一动点,半径为

2

5

的⊙A 交y 轴于点G 、H,连BG 交⊙A 于点C.D 为半径AH 上一点,且AD=1,过点D 作⊙A 的弦CE,连GE

E

图5

图6

E

B

图7

并延长交x 轴于点F,当⊙A 与x 轴相离时,求证:OF

OG 2

的值为定值,并求其值. (2006年武汉市中考题)

证明:连CH 、EH.因为GH 是直径,,所以∠GCH=∠GEH=900

.可证?GEH ～?GOF 、

?GCH ～?GOB,得

EG OG =EH OF

……(7) ,CG OG =CH OB ……(8) (7)×(8)后变形得OB OF OG ?2

=EH

CH EG CG ??

再作GM ⊥CE, 作HN ⊥CE,垂足分别为M 、N.

由等式(6)知CG ·EG=GM ·GH, CH ·EH=NH ·GH.

所以OB OF OG ?2

=GH NH GH GM ??=NH GM =DH

GD

因为GH=5,AD=1,得DH=

23,GD=2

7 故OF OG 2

=OB ·DH GD =3·3

7=7

5．识别模式

案例：旋转的正方形

例13．（一个正方形绕另一个正方形的顶点旋转）如图7，正方形EFGH 的顶点G 与正方形ABCD 的

顶点C 重合.

（1）除正方形的边长相等外，还有哪些线段相等；

（2）当正方形EFCH 绕点C 顺时针旋转过程中，如图8,（1）中的结论是否仍然成立？

1。两只大小不同的含45°角的三角板BCD 和FCH 如图1摆放，直角顶点重合，在图1中，点N 、P 分别是线段DH 、BF 的中点.

（1）在图1中，请猜想△CPN 的形状。

图7 图10 图11

E

A D

B

C F P E A

D B C

F E A D B C F 图9 O

（2）将图1中的△CFH 的绕点C 顺时针旋转，（如图2），问(1)的猜想是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由.（2008年元月武汉市考试题改）

1.两只大小不同的含45°角的三角板BCD 和FCH 如图1摆放，直角顶点重合，在图1中G 、P 、M 、N 分别为线段PF 、BD 、BM ，HF 的中点.

（1）在图1中，请猜想四边形GPMN 的形状，并证明你的结论； （2）将图1中的△CFH 的绕点C 顺时针旋转，（如图2），问①的猜想是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由.（2007年元月武汉市考试题）

5.已知等腰三角形ABC 和ADE 的顶角共顶点，∠BAC=∠DAE 。线段BD 和EC 的垂直平分线相交于点P ，连接PB ，PC ，PD ，PE.

（1）B 、A 、E 依次在同一条直线上.

若∠BAC=90°（图1），则∠BPC+∠DPE= ； 若∠BAC=60°（图2），则∠BPC+∠DPE= ;

（2）B 、A 、E 依次在同一条直线上,若∠BAC=α°（图3），猜想∠BPC+∠DPE 的值，并写出你的结论.（2007年四月武汉市考试题）

填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB=AC 、EC=ED ， ∠BAC=∠CED ，直线AE 、BD 交于点F.

(1)如图12，若∠BAC=60°，则∠AFB= ； 如图13，若∠BAC=90°, 则∠AFB= ； (2)如图14，若∠BAC=α ， 则∠AFB= (用含α的式子表示)；

(3)将图14中的⊿ABC 绕点C 旋转(点F 不与A 、B 重合)，得到图15或图16.在图15中，∠AFB 与α的数量关系是 ； 在图16中， ∠AFB 与α的数量关系是 ,请你任选其中一个结论

H

N C 图1 图2

H

C

图1

图3

图2图1 图2