数学论文 证明三角形内角和等于180度

证明：三角形内角和等于180°

在几何证明中，“三角形内角和等于180°”这个定义十分常用，但这个定义的得出原因值得探讨。

我们可以随意作一个三角形，为△ABC

方法一：可以添加一条平行线，得到相等的同位角和内错角，然后进行等量代换。

证明：如图①，延长BC到D，再过点C作A B∥CD

A

E

B C D

图①

∵A B∥CD（已知）

∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∵∠ACB＋∠ECD＋∠ACE＝180°（平角为180°）

∴∠ACB＋∠B＋∠A＝180°（等量代换）

方法二：

证明：如图②，过点A作AD∥BC

A

B

C

D

E

∵AD ∥BC ∴∠DAC ＝∠ACB ∠EAB ＝∠ABC

∵∠EAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°（平角为180°） ∴∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°（等量代换）

方法三：

证明：如图③，过点A 作AD ∥BC

图③

A

B

C

D

∵AD ∥BC

∴∠C=∠DAC （两直线平行，内错角相等）

∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ∴∠DAC+∠CAB+∠B=180° ∵∠C=∠DAC

∴∠C+∠CAB+∠B=180°

方法四：如图④，过A 点作DE ∥BC ，延长BA 、CA 交DE 于A 点

F G

A

B

C

E

D

图④

∵DE ∥BC ∴∠C=∠FAD

∠B=∠GAE （两直线平行，同位角相等） ∵D,A,E 三点共线 ∴∠DAE=180°

∵∠DAE=∠DAF+∠FAG+∠GAE ∴∠DAF+∠FAG+∠GAE=180°

∵∠GAF=∠BAC（对顶角相等）

∴∠BAC+∠C+∠B=180°

方法五：如图⑤，作直线DE∥AC，FE∥AB交BC于E

∵DE∥AC

∴∠AFE+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∠C=∠DEB（两直线平行，同位角相等）

∵FE∥AB

∴∠AFE+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∠B=∠FEC（两直线平行，同位角相等）

∴∠A=∠DEF

∵B,C,E三点共线

∴∠BEC=180°

∵∠BEC=∠DEB+∠DEF+∠FEC ∴∠DEB+∠DEF+∠FEC =180° ∴∠A+∠C+∠B=180° 方法六：

证明：如图⑥，作DE ∥AC ，FG ∥AB ，MN ∥BC ，都交于点O

D A

B

C

F M

O N

G

E

图⑥

∵DE ∥AC

∴∠AFO+∠FOD=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵FG ∥AB

∴∠AFO+∠A=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A=∠FOD ∵MN ∥BC

∴∠C=∠FNO（两直线平行，同位角相等）

∵DE∥AC

∴∠FNO=∠DOM（两直线平行，同位角相等）

∴∠C=∠DOM

∵MN∥BC

∴∠B=∠DMO（两直线平行，同位角相等）

∵FG∥AB

∴∠DMO=∠FON（两直线平行，同位角相等）

∴∠B=∠FNO

∵M,O,N三点共线

∴∠MON=180°

∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON

∴∠DOF+∠DOM+∠FON=180°

∴∠A+∠B+∠C=180°

方法七：

证明：如图⑦，作DE∥AC，FG∥AB，MN∥BC，都交于点O

延长AC交FG于点K，延长AB到点L，延长BC 交FG于点P

A

B

C

F L

K

N

H

G

P O

M

D

E

∵ MN ∥BC

∴∠ABC=∠AHN

∠ACB=∠ANM （两直线平行，同位角相等） ∵ AB ∥FG ∴∠AHN=∠FON

∠BAC=∠AKO （两直线平行，同位角相等） ∴∠ABC=∠FON

∵DE∥AC

∴∠ANM=∠DOM （两直线平行，同位角相等）∠OKA=∠DOF （两直线平行，内错角相等）∴∠ACB=∠DOM

∵FG∥AB

∴∠BAC=∠OKA（两直线平行，同位角相等）

∴∠BAC=∠DOF

∵M,O,N三点共线

∴∠MON=180°

∵∠MON=∠DOM+∠DOF+∠FON

∴∠DOM+∠DOF+∠FON=180°

∴∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°