2005年深圳大学数学分析考研试题
北京大学数学分析考研试题及解答
判断无穷积分 1 sin sin( )x dx x +∞ ?的收敛性。 解 根据不等式31|sin |||,||62 u u u u π -≤≤， 得到 33 sin sin 1sin 11 |sin()|||66x x x x x x x -≤≤， [1,)x ∈+∞； 从而 1sin sin (sin())x x dx x x +∞-?绝对收敛，因而收敛， 再根据1sin x dx x +∞?是条件收敛的， 由sin sin sin sin sin()(sin())x x x x x x x x =-+ ， 可知积分1sin sin()x dx x +∞?收敛，且易知是是条件收敛的。 例5.3.39 设2()1...2!! n n x x P x x n =++++，m x 是21()0m P x +=的实根， 求证：0m x <，且lim m m x →+∞ =-∞。 证明 （1）任意* m N ∈，当0x ≥时，有21()0m P x +>； , 当0x <且x 充分大时，有21()0m P x +<，所以21()0m P x +=的根m x 存在， 又212()()0m m P x P x +'=>，21()m P x +严格递增，所以根唯一，0m x <。 （2） 任意(,0)x ∈-∞，lim ()0x n n P x e →+∞ =>，所以21()m P x +的根m x →-∞，（m →∞）。 因为若m →∞时，21()0m P x +=的根，m x 不趋向于-∞。 则存在0M >，使得(,0)M -中含有{}m x 的一个无穷子列，从而存在收敛子列0k m x x →，（0x 为某有限数0x M ≥-）； 21210lim ()lim ()0k k k M m m m k k e P M P x -++→+∞ →+∞ <=-≤=，矛盾。 例、 设(1)ln(1)n n p a n -=+，讨论级数2 n n a ∞ =∑的收敛性。 解 显然当0p ≤时，级数 2 n n a ∞ =∑发散； 由 20 01 1ln(1) 1lim lim 2x x x x x x x →→- -++=011lim 21x x →=+ 12=，
北京科技大学考研数学分析(2003-2014)
北 京 科 技 大 学 2014年硕士学位研究生入学考试试题 ============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页） 适用专业： 数学, 统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。 ============================================================================================================= 1.(15分)（1）计算极限2020cos lim ln(1)x x xdx x →+?； （2）设112(1)0,,(1,2,3,),2n n n a a a n a ++>==+ 证明: lim n n a →∞存在，并求该极限. 2.(15分) (1)设222z y x u ++=，其中),(y x f z =是由方程xyz z y x 3333=++所确定的隐函数, 求x u . (2) 设2233x u v y u v z u v ?=+?=+??=+?，求z x ??. 3. (15分)设)(x f 在[]0,2上连续，且)0(f ＝(2)f ，证明?0x ∈[]0,1，使 )(0x f ＝0(1).f x + 4.(15分)设f (x )为偶函数, 试证明: 20()d d 2(2)()d ,a D f x y x y a u f u u -=-??? 其中:||,|| (0).D x a y a a ≤≤> 5. (15分)设)(x f 在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且对一切[0,1]x ∈，均有(),''()f x M f x M <<. 证明: 对一切[0,1]x ∈，成立 '()3f x M <.
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(重积分)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解 第21章重积分 21.1复习笔记 一、矩形上的二重积分 1．矩形的分划P （1）矩形的分划P的定义 设是内的一个闭矩形，即 用平行于轴和平行于轴的两组直线 将矩形A分划为个子矩形，记 称P为矩形A的一个分划． （2）分划P的长度的定义 矩形A分划为个子矩形后， 记称为分划P的长度．直线及称为分线． 2．矩形A上的积分定义 （1）矩形A上的和 设定义于矩形A．在每个子矩形内任取一点作和
式中是子矩形的面积． （2）可积 ①可积定义 对于矩形A上的和，若满足当如果极限存在，并且此极限与A的分 划无关，又与点在内的选取无关，则称二元函数在闭矩形A上可积（简称（R）可积或可积）．记为 或者简单记为称它是函数在A上的二重积分，即 其中是被积函数，A是积分区域． ②语言定义 若存在一个数对对一切分划P，只要不等式 对一切都成立，则称为在A上的二重积分，并记 注意：当在A上可积时，在A上必有界． （3）大（小）和 记 作下列和式，它们显然与分划P有关：
分别称和是函数在A上相应于分划P的大和与小和． （4）大（小）和的相关性质 ①加入新分线后，大和不增，小和不减； ②每增加一分线，大和与小和的变动值不大于这里 ③任何一个大和不小于任一个小和，即对任两个分划，必成立 3．二重积分的几何意义 设是定义在闭矩形A上的一个非负连续函数，那么二重积分 表示以曲面为顶、以矩形A为底面的柱体（即曲顶柱体）的体积．如图21-1． 图21-1 4．可积充要条件 （1）定理 设定义于矩形则于A上可积，等价于当分划 时，振幅体积 也等价于一个振幅体积 这里是在子矩形上的振幅．
高等数学部分参考答案-深圳大学
高等数学部分（下）参考答案 1. 315y x = y =1()33x y Inx =-; 4. 122c c y x x =+ ; 5. 2 y x = ; 6. A ; 7. C ; 8. A ; 9. 1 ()x f x e - =; 10. ' 2(1)24x F F e +=; 22(2)x x F e e -=-; 11. ''(1)sin y y x -=; 1 (2)sin 2 x x y e e x -=-- ; 12. 2 20d y y dt +=; 2y x =22 (1)21x y +=; (2)s =; 14. 2 75124 y x x =- ; 15. 2(1)y x =-; 16. 1.05()km ; 17. A ; 18. 2; 19. 245x y z +-=; 20. '2g g -; 21. 3 ; 22. 2(2)edx e dy ++; 23. A ; 24. B ; 25.D ; 26. A ; 27. 222111222242()(1)xy xy xy xyf x y e f xye f xy e f -+-+++; 28. 1()1x z x z x f f e dx z -++++1()1 y z y z y f f e dy z -+-+; 29. 22x y +; 30. 极大值点(9,3)--,极大值-3,极小值点(9,3),极小值3. 31. '222x y y x e -+=, 32()3 x x y c e -=+; 32. 最大值(1,0)3f ±=,最小值 (0,2)2f ±=-; 33. '2()y y f x x ; 34. (与32题同); 35. g =(5,5)-和(5,5)-; 36. 21 20 (,)x x dx f x y dy ? ?; 37. 2 a ; 38. B ; 39. D ; 40. D ; 41. A ; 42. 1 e -; 42()323ππ-; 44. (1)2e ππ+; 45. 1632 39 π-; 46. 38; 47. 51 83 π-; 48. ()F t 在(0,)+∞内单调增加; 49. 32 π; 50. 3 (2R π; 51. c a d b -; 53. π-; 54.
浙江大学数学分析考研试题
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：数学分析 科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的， 证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求 是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16
数学分析报告考研试题
高数考研试题2 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】 当1>λ时，有 ,0, 0,0,1sin 1cos )(21 =≠?????+='--x x x x x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有) 0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续. 【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）. （2）已知曲线b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6 4a . 【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2 b 与a 的关系. 【详解】 由题设，在切点处有 0332 2=-='a x y ，有 .220a x = 又在此点y 坐标为0，于是有 030023 0=+-=b x a x , 故 .44)3(6 422202202a a a x a x b =?=-= 【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题. （3）设a>0， ，x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤?? ?==而D 表示全平面，则??-=D dxdy x y g x f I )()(= 2 a . 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域积分即可. 【详解】 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ??≤-≤≤≤1 0,102 =. ])1[(21 02101 2a dx x x a dy dx a x x =-+=??? + 【评注】 若被积函数只在某区域不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 . （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a E B αα1+=，
数学分析考研大纲
数学分析考研大纲 第一部分 集合与函数 1、集合 实数集、有理数与无理数的调密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套 定理、聚点定理、有限复盖定理。2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广。 2、函数 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定 理。初等函数以及与之相关的性质。 第二部分 极限与连续 1、 数列极限 数列极限的N ε-定义，收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式 性质） 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关 系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用。 2、 函数极限 各种类型的一元函数极限的定义（εδ-、M ε-语言 ），函数极限的基本性质（唯一 性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限：sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号о与O 的意义。多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二 元函数的二重极限与累次极限的关系。 3、 函数的连续性 函数连续与间断的概念，一致连续性概念。连续函数的局部性质（局部有界性、保号性）， 有界闭集上连续函数的性质（有界性、最值可达性、介值性、一致连续性）。 第三部分 微分学 1、一元函数微分学 （i ）导数与微分 导数概念及其几何意义，可导与连续的关系，导数的各种计算方法，微分及其几何意义、 可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。 （ii ）微分学基本定理及其应用 Feimat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理， Taylor 公式(Peano 余项与 Lagrange 余项)及应用，函数单调性判别法，极值、最值、曲线凹凸性讨论。
数学分析考研试题 (1)
南京理工大学2005年数学分析试题 一、（10分）设0>n a ，n=1,2， )(,0∞→≠→n a a n ,证 1lim =∞→n n n a 。 二、（15分）求积分 ??∑?ds n F ??其中），，＝（x y yz x y F ?，∑为半球面，0z 1z y x 222≥，＝＋＋和圆1y x 0z 22≤＋， ＝的外侧 三、（15分）设f 为一阶连续可微函数，且） （0f ''存在，f （0）＝0， 定义?????≠'0 x x f x 10 x 0f x g ）（＝）（）＝（ 证 g 是一个可微，且g '在0点连续。 四、（15分）证明 级数 ∑∞1n x n 2e ＝－ 在），＋（∞0上不一致收敛，但和函数在） ，＋（∞0上无穷次可微。 五、（15分）设〕，〔b a C f ∈，证明，0>?ε存在连续折线函数g ，使得 ε<）（）－（x g x f ，〕〔b a,x ∈ ?。 六、（15分）设），（t x u 为二元二阶连续可微函数且u 的各一阶偏导关于x 是以1为周期 函数，且2222x u t u ????＝，证明?????E 1022dx x u t u 21t ））＋（）（（）＝（是一个与t 无关的函数。 七、（15分）设f 为〕 ，＋〔∞1上实值函数，且f （1）＝1，）（）（＋）＝（1x x f x 1x f 22≥'，证明）（＋x f lim x ∞→存在且小于4 1π＋。 八、（15分）设∑∞1n n n x a ＝为一幂函数，在（－R ，R ）上收敛，和函数为f ，若数列{}j x 满足 0x x R 21>>>>Λ且0lim =∞ →j j x ，Λ1,2j 0x f j ＝，）＝（，证明 Λ210n 0a n ，，＝，＝ 九、（15）设f 是 〕〔〕，〔b a b a ??上的二元连续映射，定义 {}〕 ，〔），（）＝（b a y y x f max x g ∈，证明 g 在〔a ，b 〕上连续。 十、（20分）讨论二元函数连续、可偏导、可微三个概念之间的关系，要有论证和反例。
数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库
数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库 一、山东科技大学《603数学分析》考研真题
二、复旦大学数学系 第1部分数项级数和反常积分
第9章数项级数 一、判断题 1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：，虽然，但是 发散． 2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道 但是发散，所以发散． 二、解答题 1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解： 2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]
解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于 ，故发散． 3．证明：收敛．[东南大学研] 证明：因为所以 又因为 而收敛，故收敛． 4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研] 证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而
所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知 收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时， 发散． 5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研] 证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N 时，有，则有 ，故由比较判别法知级数收敛． 6．求．[中山大学2007研] 解：由于，所以绝对收敛． 7．设，且有，证明： 收敛．[大连理工大学研] 证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有
， 即 取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且 现在证明．因为，即则 ． 所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有 所以存在N，当n＞N时，，则 因此 ，
2017年北大数学分析考研试题(Xiongge)
北京大学2017年硕士研究生招生考试试题 (启封并使用完毕前按国家机密级事项管理) 考试科目：数学基础考试1(数学分析)考试时间:2016年12月25日上午 专业：数学学院各专业(除金融学和应用统计专业) 方向：数学学院各方向(除金融学和应用统计方向) ————————————————————————————————————————说明：答题一律写在答题纸上(含填空题、选择题等客观题),写在此试卷上无效. 1.(10分)证明lim n !+1Z 2 sin n x p 2x dx =0.2.(10分)证明1X n =111+nx 2sin x n ?在任何有限区间上一致收敛的充要条件是?>12.3.(10分)设1X n =1a n 收敛.证明lim s !0+1X n =1a n n s =1X n =1a n . 4.(10分)称 (t )=(x (t );y (t )),(t 2属于某个区间I )是R 2上C 1向量场(P (x;y );Q (x;y ))的积分曲线,若x 0(t )=P ( (t )),y 0(t )=Q ( (t ));8t 2I ,设P x +Q y 在R 2上处处非0,证明向量场(P;Q )的积分曲线不可能封闭(单点情形除外). 5.(20分)假设x 0=1;x n =x n 1+cos x n 1(n =1;2; ),证明:当x !1时,x n 2=o ?1n n ?.6.(20分)假如f 2C [0;1];lim x !0+f (x ) f (0)x =?<ˇ=lim x !1 f (x ) f (1)x 1 .证明:8 2(?;ˇ);9x 1;x 22[0;1]使得 =f (x 2) f (x 1)x 2 x 1 .7.(20分)设f 是(0;+1)上的凹(或凸)函数且 lim x !+1xf 0(x )=0(仅在f 可导的点考虑 极限过程).8.(20分)设 2C 3(R 3), 及其各个偏导数@i (i =1;2;3)在点X 02R 3处取值都是0.X 0点的?邻域记为U ?(?>0).如果 @2ij (X 0) á3 3是严格正定的,则当?充分小时,证明如下极限存在并求之: lim t !+1t 32? U ?e t (x 1;x 2;x 3)dx 1dx 2dx 3: 9.(30分)将(0; )上常值函数f (x )=1进行周期2 奇延拓并展为正弦级数: f (x ) 4 1X n =112n 1 sin (2n 1)x:该Fourier 级数的前n 项和记为S n (x ),则8x 2(0; );S n (x )=2 Z x 0sin 2nt sin t dt ,且lim n !1S n (x )=1.证明S n (x )的最大值点是 2n 且lim n !1S n 2n á=2 Z 0sin t t dt .考试科目：数学分析整理：Xiongge ，zhangwei 和2px4第1页共??页
2015武汉大学数学分析考研真题
2015武汉大学数学分析 一、（40分） 1、.) 1()1)(1()1()1)(1(lim 2111------+--→k k n n n x x x x x x x 2、.sin cos cos lim 20x bx ax m n x -→ 3、).11(lim 132 n -+∑=∞→n k n k 4、已知 2 110n a a n n +≤<+，证明数列{}n a 极限存在。 二、已知曲面0)))((,))(((11=------c z y b c z x a F ，且),(t s F 二阶偏导连续，梯度处处不为零，（1）证明，曲面的切平面必过一定点；（2）()y x z z ,=，证明 .02 22222=??? ? ?????-?????y x z y z x z 三、0>n a ，01lim 1n >=??? ? ??-+∞→λa a n n n ，证明，()∑∞=--111n n n a 收敛. 四、求?????????????? ??--??-∞→t t y x t dxdy y x e e e 00t lim 的极限，或证明它不存在。 五、（1）、求积分()??+ππ 00cos dxdy y x 的值，（2）、10<<α，求积分()d t t f ?1 α的上确界，其中)t (f 是连续函数， ().110 ≤?dt t f 六、已知()dt x tx f ?∞+=0 21cos t ，证明， （1）、()x f 在()∞+∞， -上一致收敛； （2）()0lim =∞→t f t （3）()x f 在()∞+∞， -上一致连续； （4）()0dt sin 0 ≤?∞ t t f ；
数学分析各校考研试题与答案
2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?
2021浙江大学《819数学分析》配套考研真题
2021浙江大学《819数学分析》配套考研真题 浙江大学819数学分析考研真题 浙江大学攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：数学分析（A）（819） 考生注意： 1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。 一、（40分，每小题10分） （1）； （2）； （3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分； （4）设.求. 二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得. 三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性. 四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的， ，同时对于任意，有. 证明：对于任意的，都有.
五、（5分）； （10分）. 六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在 上无界； （15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界. 七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：. 八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证： ， 其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数. 第1部分数项级数和反常积分 第9章数项级数 一、判断题 1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案
【解析】举反例：，虽然，但是发散． 2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道 但是发散，所以发散． 二、解答题 1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解： 2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研] 解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于 ，故发散．
2020年数学分析高等代数考研试题参考解答
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2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
1992-2016年南京大学627数学分析考研真题及答案解析 汇编
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考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m , 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ 浙江大学2000年数学分析考研试题及解答 一、（1）求极限()1 1lim t t t e t →+-； 解 ()1 1 1 ln(1) ln(1)1 11 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e e t t t ++-→→→+---== 1 ln(1)1 ln(1)1 1lim ln(1) 1 t t t t e t e t t t +-→+--=+- 2 00 ln(1) 1 1 1 ln(1)1lim lim lim lim 22(1) 2 t t t t t t t t e t t e e e e t t t t t →→→→+--+--+=====- +； 或()1 ln(1) 1 1 ln(1) 2 1ln(1) ( ) 1(1) lim lim lim 1 t t t t t t t t t e t e e e t t t t t ++→→→+- +--+== 2 ln(1)1lim t t t t e t →-++=2 1 1 (1) 1lim 2t t t e t →- ++=2 lim 2(1) 2 t t e e t t →-==- +。 （2）设01,x a x b ==，211()2 n n n x x x --= -，求 n n x lim ∞ →. 解 由条件，得 12111211()()2 2 n n n n n n n x x x x x x x ------+=-+= +， 反复使用此结果 11 11011()()()()22 n n n n x x x x b a ---+=+=+， ,2,1=n ； 于是 21212221100()()()n n n n n x x x x x x x x ++-=+-++++- 221 11()()()()()22 n n a b a b a b a -=++-++++- 21 11() 222 () ()13 3 1() 2 n b a a b a a b a +-- -=+-→+-= -- ，)(∞→n ； 22212122100()()()n n n n n x x x x x x x x ---=+-++-++ 伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解 第8章广义积分 8.1复习笔记 一、无穷积分的基本概念与性质1．无穷积分的概念 （1）设函数上有定义，并且对于上可积．①如果极限 存在，则称无穷积分收敛，此时称函数f（x）在上可积，并记 ②如果极限 不存在，则称无穷积分 发散． （2）设函数f （x）在上有定义，并且对于在区间[X，b]上可积．①如果极限 存在，则称无穷积分收敛，此时称函数f（x）在上可积，并记 ②如果极限 不存在，则称无穷积分发散． （3）设函数上有定义，且在任何的闭区间[a，b]上可积．任取 ①若无穷积分与都收敛，则称无穷积分收敛，并 记 ②若无穷积分中至少有一个发散，则称无穷积分 发散． 2．无穷积分的基本性质 （1）若函数f（x）在[a，＋∞）上有原函数F（x），并形式地记 则有 （2）若f（x）在（－∞，b]上有原函数G（x），记，则 （3）若上有原函数H（x），则 （4）无穷积分换元公式设函数上有定义，且对于在区间 上可积，再设函数 在区间上连续可微，严格单调上升，并且满足 则有以下的换元公式： （5）无穷积分分部积分公式设函数上连续可微，且极限 存在，则有以下分部积分公式 二、无穷积分敛散性的判别法 1．柯西准则 设函数上有定义，对于在区间上可积，则无穷积分 收敛的充分必要条件是：对于时，有 2．绝对收敛的无穷积分 （1）定义 设函数上有定义，对(x) f在区间[a，X]上可积． ①若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛； ②若无穷积分收敛，但无穷积分发散，则称无穷积分 条件收敛． （2）定理 设函数f（x）在上有定义，对于在区间[a，X]上可积．若无穷积分 绝对收敛，则无穷积分必收敛． 3．非负函数的无穷积分的敛散性问题 （1）定理 设非负函数f（x）在[a，＋∞）上有定义，对于在[a，X]上可积，则无穷积分 收敛的充分必要条件是：存在0 A ，使得对一切X≥a，有 （2）比较定理 设非负函数上有定义，且对于在[a，X]上可积．若存在常数 使得当时，成立不等式 则可得出下述结论： ①若收敛，则也收敛； ②若发散，则也发散． （3）推论 设非负函数上有定义，且对于在区间[a，X]上可浙大2000年-2002年数学分析考研试题及解答
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