免费_2015_年高考压轴题数学跟踪演练系列六

备战2015高考数学――压轴题跟踪演练系列六

1．（本小题满分14分）

如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.

（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，

∴切线AP 的方程为：;022

00=--x y x x

切线BP 的方程为：;02211=--x y x x

解得P 点的坐标为：101

0,2

x x y x x x P P =+=

所以△APB 的重心G 的坐标为 P P

G x x x x x =++=

3

10，

,3

43)(332

1021010212

010p

P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=

所以2

43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：

).24(3

1

,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即

（2）方法1：因为).4

1,(),41,2(

),41,(2

1110102

00-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP

∴,||41)4

1(||)41)(41(2||||cos 102

2

0202

010010FP x x x x FP x x x x x x FA FP FA FP AFP +

=-+--+?+=?=

∠ 同理有,||41)4

1(||)41)(41(2||||cos 102

2

1212

110110FP x x x x FP x x x x x x FB FP FB FP BFP +

=-+--+?+=?=

∠ ∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2

(

1

x ，则P 点到直线AF 的距离为：,41

4

1

:;2||1

2111x x x y BF x d -=-=

的方程而直线

即.04

1

)41(112

1=+

--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412|

|)41()()4

1(|42)41(|121

1

212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=

所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.

②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04

1)41(),0(041

41002002

0=+-----

=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,04

1)41(),0(041

411121121=+-----

=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：

2||41)

41)(2|)4

1(|41)2)(41(|1020201020

2200120102

01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线

BF 的距离2

|

|012x x d -=

，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）

设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与

椭圆相交于C 、D 两点.

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）

本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=2

2

3,3)1(y x x k y 代入，整理得

.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①

设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，

∴,0])3(3)3([422>--+=?k k λ ② 且,3

)

3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得

.3)3(,12

22

1+=-∴=+k k k x x

解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有

.0))(())((33212121212

22

22121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ

λ

依题意，.)

(3,2

12121y y x x k x x AB ++-

=∴≠

∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+?>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）.

直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.

（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，

代入椭圆方程，整理得 .04442

=-++λx x

又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).2

3,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=

-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1

(1||432

-=

-?-+=λx x k

CD ④

将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842

=-+-λx x ⑤

同理可得 .)12(2||1||212

-=

-?+=λx x k AB ⑥

∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ

假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.

点M 到直线AB 的距离为 .22

32

|

423

21|2|4|00=-+-=-+=

y x d ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

.|2

|2321229|2|

||||2

2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2|

|CD 为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）

A 、

B 、

C 、

D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角?|AN|2=|CN|·|DN|，

即 ).2

|

|)(2||()2||(

2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,2

12

-=λ 由④和⑦知，⑧式右边,2

12

2923)2232)3(2)(2232)3(2(

-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,

∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得

.04442=-++λx x ③

将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得

.016842=-+-λx x ⑤

解③和⑤式可得 .2

3

1,21224,32,1-±-=-±=

λλx x

不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A

∴)2

12

33,23123(

---+-+-+=λλλλCA

)2

12

33,23123(

-------+=λλλλDA

计算可得0=?DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分）

已知不等式

n n n 其中],[log 2

1

131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大

整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(1

1

1=+≤

>=--n a n na a b b a n n n

（Ⅰ）证明 ,5,4,3,]

[log 222=+<

n n b b

a n

（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.5

1

11,0,211111n

a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤

<≥-----时

即

,1

111n

a a n n ≥-- 于是有

.111,,3111,211112312n

a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得

.1

3121111n

a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，

].[log 2

1

1121n a a n >- ∵.]

[log 22.2][log 2][log 21

11,2221n b b

a b

n b n b a b a n n +<

+=+>∴

=

证法2：设n

n f 1

3121)(+++=

，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤

n b

n f b

a n

（i ）当n=3时， 由 .)3(112233133331

12223b f b

a a a a a a +=++?≤+=+≤

知不等式成立.

（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b

k f b

a k +≤

则1)(1)1(1

1)1(1)1()1(1++?++≤+++=+++≤

+b

b k f k k a k k a k a k a k k

k k

,)1(1)1

1)((1)()1()1()1(b

k f b

b k k f b

b

b k f k k b

k ++=

++

+=

+++++=

即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤

n b

n f b

a n

又由已知不等式得 .,5,4,3,]

[l o g 22][l o g 2

1

122 =+=

+<

n n b b

b n b a n

（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞

→n n a

（Ⅲ）∵

,5

1

][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令

则有,10242,10][log log 1022=>?>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5

1

<

n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．

本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设椭圆方程为()22

2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则

()2

1112

222

22

,224

2,3,1 1.

43

a MA a A F a c

c

a a a c c a a

b

c a b c x y =-=-?-=-???

=??=+???∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设

0011221211002112212000012121235

0,

2

2215

tan .

11515

2151515tan 15

arctan

.15

y y PF k PF k F PF PF M F PF y y k k F PF k k y y y y F PF F PF F PF π

=-

=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。

当，即=时，取到最大值，此时最大，故的最大值为

5．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；

(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．

本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分.

解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则

000

0,,2

.0,2

x x

x x y y y y +?=?=-????

+=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上

∴()2

2

2

22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故

(Ⅱ)由()()2

1210g x f x x x x ≥----≤， 可得

当1x ≥时，2

210x x -+≤，此时不等式无解.

当1x <时，2

210x x +-≤，解得112

x -≤≤

. 因此，原不等式的解集为11,2

??-???

?

.

（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+

①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， 1λ∴=-

②11.1x λ

λλ

-≠-=

+当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ

λλλ-<-≤-<-+当时,解得

ⅱ）111,10.1λ

λλλ

->-≥--<≤+当时,解得

0.λ≤综上，

6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x ∈D f 且x ∈D g 规定: 函数h(x)= f(x) 当x ∈D f 且x ?D g g(x) 当x ?D f 且x ∈D g

(1) 若函数f(x)=

1

1

-x ,g(x)=x 2,x ∈R,写出函数h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

[解] (1)h(x)= 1

2

-x x x ∈(-∞,1)∪(1,+∞)

1 x=1

(2) 当x≠1时, h(x)= 1

2

-x x =x-1+11-x +2,

若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=4

π 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+

4π)+cos2(x+4

π

)=cos2x-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x -sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α=

2

π

, g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x.

7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分. 在直角坐标平面中,已知点P 1(1,2),P 2(2,22),┄,P n (n,2n ),其中n 是正整数.对平面上任一点A 0,记A 1为

A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点P 2的对称点, ┄, A N 为A N-1关于点P N 的对称点. (1)求向量20A A 的坐标;

(2)当点A 0在曲线C 上移动时, 点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,

且当x ∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式; (3)对任意偶数n,用n 表示向量n A A 0的坐标.

[解](1)设点A 0(x,y), A 0为P 1关于点的对称点A 0的坐标为(2-x,4-y), A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y), ∴20A A ={2,4}. (2) ∵20A A ={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

另解设点A 0(x,y), A 2(x 2,y 2),于是x 2-x=2,y 2-y=4, 若3< x 2≤6,则0< x 2-3≤3,于是f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3). 当1< x≤4时, 则3< x 2≤6,y+4=lg(x -1). ∴当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

(3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得

n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++ )=2({1,2}+{1,23

}+┄+{1,2n-1

})=2{2n ,

3)12(2-n }={n,3

)

12(4-n }