高中文科数学基础知识汇总

高中文科数学基础知识

一、集合与简易逻辑

1．元素与集合的关系：)(A a A a ?∈或。

2．集合的元素具有：确定性、无序性、互异性。如若{}

2,,1a a A =，则01≠±≠a a 且。 3．集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法。其中要特别注意用描述法表示的集合，

要弄清楚集合元素的属性，如若A={椭圆}，B={直线}，则φ=?B A ，又若

?

?????>>=+=)0(1|),(22

22b a b y a x y x A ，{}0|),(=++=C By Ax y x B ，则B A ?可

能有0

个或

1

个或

2

个元素，再如{}

)23(log |22+-==x x y x A ，

{})23(log |22+-==x x y y B ，{}

)23(log |),(22+-==x x y y x C ,A 表示函数的定义

域，B 表示函数的值域，C 表示函数图象上的点集。

注意：若{}R x x x A ∈>=,1|，{}R y y y B ∈>=,1|，则B A =。

4．常见数集：R ．表示实数集；N ．表示自然数集；)(*

+N N 或表示正整数集；Q ．

表示有理数集；Z 表示整数集。

5．空集是任何集合的子集，记作：A ?φ，空集是任何非空集合的真子集；记作：φA ，

任何一个集合是它本身的子集，记作：A A ?。 6．包含关系：A

B A A B B =?=U U A B

C B C A ????（U 为全集）。

注意：当A B A =?或B B A =?时，要注意考虑φ=A 与φ≠A 的情况。 7．要证明集合A=B ，则须证明：A B B A ??且。 8．集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有12-n 个；非空子集有12-n 个；

非空的真子集有22-n

个。

9．判断命题的真假要以真值表（p 与非p ：真假相对；q p 或：一真必真；q p 且：一假

必假）为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，当一

个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假。

10．命题的否定：条件不变，否定结论。否命题：条件与结论均否定。其中常见的否定词有：

11.的充分条件，的必要条件。q 的充分条件是p 。） 12.判断命题充要条件的三种方法： （1）定义法：q p ?。

（2）利用集合间的包含关系判断，若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条

件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，

一般运用等价法。

二、函数

1. 以x 为自变量的函数=y )(x f 是集合A 到集合B 的一种对应，其中A 和B 都是非空的数．．．．

集．，对于A 中的每一个．．．x ，B 中都有唯一确定的．．．．．y 和它对应。自变量x 取值的集合A 就

是函数=y )(x f 的定义域，和x 对应的y 的值就是函数值，函数值的集合C 就是函数的值域(B C ?)。

注：集合A 中有n 个元素，集合B 中有m 个元素，则A 到B 的映射有n

m 个，而B 到A

的映射有m

n 个。

2. 求函数定义域需要考虑:分母、根号、零次幂的底、对数的真数、对数与指数的底、正余

切及复合函数求定义域的两种类型。求函数值域的方法要掌握：配方法，观察法，换元法（整体换元、三角换元），单调性法，反函数法，判别式法，三角函数的有界性，基本不等式法，利用两点间的距离公式法。定义域及值域都必须写成集合．．的形式。 3. 若=y )(x f 有反函数)(x f y -1=，则=y )(x f 是)(x f y -1=的反函数。

反函数)(x f y -1=的定义域、值域分别是函数=y )(x f 的值域、定义域。 函数=y )(x f 和它的反函数)(x f y -1=的图象关于x y =对称。 （若b a f =)(,则a b f =-)(1即若点),(b a 在)(x f y =的图象上，则点),(a b 必在反函数

的图象上）

注意：○

1)1(1

+=-x f y 是)1(+=x f y 的反函数吗？（不是，)1(+=x f y 和

1)(1-=-x f y 互为反函数。

） ○

2)(x f y =与它的反函数)(1

x f y -=的交点必在直线x y =上吗？（若)(x f 为增函数

则一定，否则无法判断）如函数1()16x y =与116

log y x =的交点为1111

(,),(,)2442，交点不在直线y x =上。 4. 设[]2121,,,x x b a x x ≠∈那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()()

0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]1212

()()

0(),f x f x f x a b x x -

设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。

5. 定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件．．．．．．．

。（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=-）。例如：x y tan =是奇函数，)3

1tan(π+=x y 是非奇非偶。（定

义域不关于原点对称）。

奇函数特有性质：若x ∈0的定义域，则)(x f 一定有0)0(=f （0不在函数的定义域内，则无此性质）。

注意：○

1奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称；○2奇函数关于原点对称的区间单调性相同，偶函数关于原点对称的区间单调性相反，简称：奇同偶反。 6. 函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=。 (2)函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称?)2()(x a f x f --=?)()(x a f x a f -=+。

(3)函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则)(x f y =的图象关于直线2

a

b x +=

对称。 (4)若函数)(x f y =对定义域中任意x 均有0)()(=+-++c x b f x a f ，则函数

)(x f y =的图象关于点(

,)22

a b c

+-成中心对称图形。 7. 两个函数图象的对称性

（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线y 轴对称。 （2）函数()y f x =与函数)(x f y -=的图象关于直线x 轴对称。 （3）函数()y f x =与函数)(x f y --=的图象关于原点对称。 （4）函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线x y =对称。 （5）函数)(x f y =和)(1

x f

y --=-的图象关于直线x y -=对称。

（6）函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2

a

b x -=

对称。 注意对比：函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+，则)(x f y =的图象关于直线

2

a

b x +=

对称。 （7）函数)(wx a f y +=与函数)(wx b f y -=的图象关于直线w

a

b x 2-=

对称。 8. 曲线图象的对称问题：

（1）曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为：0),2(=-y x b f 。

（2）曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为：0),(=----c x c y f 。 （3）曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为：0),(=+-c x c y f 。 （4）曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为：0)2,2(=--y b x a f 。

9. 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；

若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象。

即：○1函数)(x f y =的图象按),(k h a =

平移后的图象的表达式是：)(h x f k y -=-；

○

2曲线0),(=y x f 按),(k h a =

平移后的曲线的关系式是：0),(=--k y h x f 。 10.分数指数幂n m n

m

a a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）

。n

m n

m

a

a 1=

-

（0,,a m n N *>∈，

且1n >）。

11.指数式与对数式的关系是：)1,0(log ≠>=?=a a b N N a a b 且 12.对数的换底公式:a

N N m m a log log log =

。推论b m n b a n

a m log log =，a

b b a log 1log =。

13.指数运算性质：○

1=?n m

a a n m a +； ○2=n m a )(mn a ；

○

3=n ab )(n

n

b a ?；),,0,0(R n m b a ∈>> 对数运算性质：○1=)(MN log a N M a

a log log +； ○2=N

M

log a N M a a log log -； ○3=n a M log M n a

log ； ○4=a log a 1，01log =a 。 )1,0,0,0(≠>>>a a N M 且。 14.指数函数和对数函数

①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠

③两根式（也称零点式）：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 16.几个函数的周期(约定0>a )：

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期a T =。

（2）)()(x f a x f -=+或)0)(()

(1)(≠=

+x f x f a x f ，

或)(1

)(x f a x f -=+)0)((≠x f , 或)()(a x f a x f -=+,则)(x f 的周期a T 2=。

（3） )0)(()

(1

1)(≠+-

=x f a x f x f ，则)(x f 的周期a T 3=。

（4）若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线a x =对称，则)(x f 是周期为||2a 的

周期函数。

（5）若)(x f y =)奇函数，其图像又关于直线a x =对称，则)(x f 是周期为||4a 的周

期函数。

（6）若)(x f y =的图象关于直线a x =,b x =)(b a ≠对称，则函数)(x f y =是周期

为b a -2的周期函数。

（7）若)(x f y =的图象关于a x =对称，同时关于点)0,(b 对称，（a b ≠），则函数

)(x f y =是周期为||4a b -。

（8）若)(x f y =的图象关于)0,(a 对称，同时关于点)0,(b 对称，（a b ≠），则函数

)(x f y =是周期为||2a b -。

17.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42

-=?，则有： （1）若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0a ，且0≥?。

注意：对函数)(log )(2c bx ax x f m ++=的定义域或值域为R 的问题，要注意考虑0=a 的情况。

18.平均增长率的问题：如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总

产值y ，有(1)x y N p =+。

19.你知道函数x b ax y +

=)0,0(>>b a 的单调区间吗？（该函数在]a

b --∞,(或

),[

+∞a b 上单调递增；在)0,[a b -或],0(a

b

上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

20.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看

法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。

21. 解恒成立问题常用方法：①分离参数法；②数形结合法；③交换主元法。你能清楚何

时用何种方法吗？

常见题型：①若)(x f m ≥在],[b a x ∈上恒成立，则max )(x f m ≥；若)(x f m <在

],[b a x ∈上恒成立，则min )(x f m <。②若)(x f m ≥在],[b a x ∈上有解，则

min )(x f m ≥；若)(x f m >在],[b a x ∈上无解，则min )(x f m ≤。（注：m 为常数。）

③)()(x g x f >在],[b a x ∈上恒成立，是对于任意的],[b a x ∈，min )(x f 必须大于

max )(x g 吗？应该怎样解？（不是。通常移项，使0)()()(min >-=x g x f x h 即可；

若)(x h 的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在],[b a x ∈上)(x f 的图像始终在

)(x g 的上方即可。）

三、数列

1. 通项n a 与前n 项和n S 的关系???-=1

n S S S a )2()1(≥=n n ，后检验能否合成一个关系式。

2. 由??

?≥≥+-11n n n n a a a a 求最大项n a ；由???≤≤+-1

1

n n n n a a a a 求最小项n a 。

3. 两个基本变换：

○1)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a )2(≥n

○21

23

121

-???=n n n a a a a a a a a )2(≥n 4. 证明数列{}n a 是等差数列的方法：

○1定义法：)2(1≥=--n d a a n n 或)1(1≥=-+n d a a n n ○2中项法：)2(211≥+=+-n a a a n n n

5. 等差数列的通项公式：d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=，变形n

m a a d n

m --=

6. 三数成等差数列，可设为：d a a d a +-,,；四数成等差数列，可设为：d a d a d a d a 3,,,3++--

7. 前n 项和公式：1()2n n n a a s +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+- 8. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当10a >,d<0时，满足???≤≥+00

1

m m a a 的项数m 使得m S 取最大值。

(2)当10a <,d>0时，满足???≥≤+00

1

m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。

9. 等差数列的性质：

○1若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，特别p n m 2=+，则p

n m a a a 2=+。

○3设n

S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n a 为等差数列的充要条件是bn an S n +=2（b a ,为常数）其公差是a 2。

○4若}{},{n

n b a 都是等差数列，前n 项和分别为n S ，n T ，且3423++=

n n T S n n ，则13

1377T S

b a =，)

3174(17)2153(15151715171715151717159898+?+??

=?=?=S S b a b a ；（注：)23(+=n kn S n ，)34(+=n kn T n ，其中k 为非0常数。

） 注意：形如c bn an S n ++=2)0(≠c 的类型，数列{}n a 从第二项起成等差数列。即通项为：??

?+-++=b a an c b a a n 2)

2()1(≥=n n 。

10.证明数列{}n a 是等比数列的方法：

○

1定义法：)2(1

≥=-n q a a n n 或)1(1≥=+n q a a

n n ；

○2中项法：)2(112

≥?=+-n a a a n n n 。

11.等比数列的通项公式：m n m n n q a q a a --=?=11，变形m

n

m

n a a q

=

-。 12.三数成等比数列，可设为：q

a

，a ，aq ；四数成等比数列，可设为：3

q

a ，q a ，aq ，3

aq 。 13.前n 项和公式：

○1当1=q 时，1

na S n = ○

2当1≠q 时，

14.等比数列的性质：

○1若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?，特别p n m 2=+，则2

p n m a a a =?；

15.若n n n b a c ?=，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求{}n c 的前n 项的和，用错位相减法求和。

16.常用的求和方法有:①倒序相加求和；②错位相减求和；③分组求和；④裂项求和。 17.常用裂项公式：

○

1n

n n n 111)1(1--=-； ○2)21

1(21)2(1+-=+n n n n ； ○

3)1

21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ○4m n m n m n C C C -=+-11

○

5!)!1(!n n n n -+=? 18.由数列的递推公式求通项的类型：

（1）)(1n f a a n n +=+ （2）)(1n f a a n n ?=+ （3）q pa a n n +=+1（1≠p ） （4）q

pa a a n n

n +=

+1

（5）1(0)n n n ca d

a a aa b

++=

≠+ （6）n n n b pa a +=+1

（7）c qn pa a n n ++=+1 （8）c kn qn pa a n n +++=+21

（9）11-++=n n n qa pa a （10）r

n n pa a =+1

（11）前n 项和n S 与n a 之间的等式关系求通项类型：

如○1n

n

n S a a 3,111+==+ ；○23

2

231341+?-=+n n n a S 。这种类型通常利用关系n n n a S S =--1(2≥n )来进行转换，后由已知类型求解通项。

有些类型要注意考虑用数学归纳法。如：n n n a a a a a -===++1221,5,1。 19.常用的求和公式：

○

12

)1(321+=++++n n n ○22

)12(531n n =-++++

○

3)12)(1(6

1

212

22++=+++n n n n 四、三角函数

1. 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。

2. 弧度制:

○

1r

l =||α； ○2弧长公式:r l ||α=,其中||α为圆心角的弧度数．．．

； ○3扇形的面积公式:2||2

1

21R R l S α=?=

扇形； ○

41弧度=815730.57'?=?，π弧度

180=。 3. 公式:

公式组二：

x

x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ

公式组三：

x

x x

x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四：

x x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ

公式组五：x

x x

x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六：

x

x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ

其中诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．。其中奇．

是指2

π

的系数为奇数，偶．是指

2

π

的系数为偶数，变．是指：正弦与余弦互变，正切与余切互变。看符号时是指对原三公式组一sin x ·csc x =1tan x =

x

x cos sin sin 2x +cos 2

x =1

cos x ·sec x x =

x

x sin cos 1+tan 2x =sec 2x

tan x ·cot x =1

1+cot 2x =csc 2x

=1

角函数进行判断，并且要将．．α视为锐角．．．．

。如：ααπ

cos )2

(sin =+，ααπ

sin )2

(

cos -=+。

4. 两角和与差的三角函数：

22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式)； 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-。

sin cos a b αα+=

)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决

定,tan b a ?=

)，常见：○

1)4

sin(2cos sin π

ααα+=+a a a ， ○

2)3sin(cos 23sin 21πααα+=+；○3)6

sin(3cos 23sin 23π

ααα+=+。

5. 二倍角公式：

变形：

126. 一种类型：正余弦的齐次式转化为正切值求解，如

α

α

ααααtan 3tan 32sin cos 3sin 3cos 2+-=+-；

α

ααααααααα2

2222

tan 11

tan cos sin cos cos sin cos cos sin ++=++?=+?等。 7. 掌握角的演变：)()(2βαβαα-++=，αβαβ-+=)(等。 8. 三角形中的三角变换

(1)角的变换：因为在△ABC 中，π=++C B A ，所以

C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+；C B A tan )tan(-=+。 2cos 2sin

C B A =+；2sin 2cos C B A =+；2cot 2tan C

B A =+。

（2）在非直角△ABC 中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan ??=++。

(3) 在△ABC 中，熟记并会证明：①C B A ∠∠∠,,成等差数列的充分必要条件是

?=∠60B ；②△ABC 是正三角形的充分必要条件是C B A ∠∠∠,,成等差数列且

c b a ,,成等比数列。

9. 常用结论：

○

1(1)若)2

,0(π

∈x ，则2cos sin 1≤+

○

2x sin ＜x ＜)2

,0(,tan π

∈x x x

x

x f sin )(=

在),0(π上是减函数 ○

3ααα3

sin 4sin 33sin -= αααcos 3cos 43cos 3

-= ○44

2675cos 15sin -== 4

2615cos 75sin +=

=

3275cot 15tan -== 3215cot 75tan +==

10.三角函数图象的五点作图法：如正弦：)0,0(；)1,2

(；)0,(π；)1,2

(

-；)0,2(π， 余弦：)1,0(；)0,2

(

π

；)1,(-π；)0,2

3(

π

；)1,2(π 这五点是函数图象在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。

注意：你会用五点作图法画k x A y ++=)sin(?ω的草图吗？哪五点？你会根据图象求

参数?ω、、A 、k 的值吗？

11.三角函数图象及性质

12.三角函数的周期问题：

○

1函数k wx A y ++=)sin(?、k wx A y ++=)cos(?，|)sin(|h wx A y ++=?（R x ∈且A,ω,?为常数，且A 、h ≠0）的周期|

|2w T π

=

。 ○

2函数k wx A y ++=)tan(?，|)tan(|k wx A y ++=?（,2

x k k Z π

π≠+∈）(A,ω,?

为常数，且A ≠0)的周期|

|w T π

=

。

○

3函数|)sin(|?+=wx A y 、|)cos(|?+=wx A y 的周期|

|w T π

=。

○4x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；

x y cos =是周期函数；x y cos =为周期函数（π=T ）；

2

1

2cos +

=x y 的周期为π，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(。

13.函数图象的变换：

振幅变换：)(x f y = 横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）为原来的A 倍 )(x Af y = 周期变换：)(x f y = 纵坐标不变，横坐标伸长（或缩短）为原来的

w

1

倍 )(wx f y = 相位变换：)(x f y = 向左（或向右）平移?个单位 )(?±=x f y

平移变换：)(x f y = 向上（或向下）平移k 个单位 k x f y ±=)( （其中k w A ,,,?为正数） 14．反三角函数

?反正弦函数x y arcsin =是奇函数，故x x arcsin )arcsin(-=-，]1,1[-∈x （一定要注明定义域，若),(+∞-∞∈x ，没有x 与y 一一对应，故x y sin =无反函数．．．．

） 注：x x =)sin(arcsin ，[]1,1-∈x ，?

?

????-∈2,2arcsin ππx ，x x =)arcsin(sin ])2,2[(ππ-∈x 。 ?反余弦函数x y arccos =非奇非偶，但有π=+-)arccos()arccos(x x ，[]1,1-∈x 。

注：①x x =)cos(arccos ，]1,1[-∈x ，],0[arccos π∈x ，x x =)arccos(cos ，],0[π∈x ；

②x y cos =是偶函数，x y arccos =非奇非偶，而x y sin =和x y arcsin =为奇函数。 ?反正切函数：x y arctan =，定义域),(+∞-∞，值域（2,

2π

π-

），x y a r c t a n =是奇函数，

x x arctan )arctan(-=-，),(+∞-∞∈x 。

注：x x =)tan(arctan

，),(+∞-∞∈x ，x x =)arctan(tan ，)2

,2(π

π-∈x

五、平面向量

1. 基本概念:向量),(y x a = ,向量长度2

22)(||y x a a +== ,零向量0 ,单位向量

e (其中1||=e ),与非零向量a 方向相同的单位向量为:||a a (若反向,则为|

|a a

-)

2. 平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的非零向量。规定0

与任一向量平行。

注意：平行向量只与方向有关，而与起点、终点无关。

3．相等向量：方向相同且模相等，如),(),,(2211y x b y x a ==

，2121y y x x b a ==?=且

4．向量运算

(1)加法运算：加法法则如图：三角形法则与平行四边形法则

坐标运算：),(),,(2211y x b y x a ==

，则),(2121y y x x b a ++=+

特别：n n n A A A A A A A A 113221=+++- ，AB OA OB +=等。 (2)减法运算减法法则(如图)：三角形法则

坐标运算：),(),,(2211y x b y x a ==

，则),(2121y y x x b a --=-

特别：OA OB AB -=，又若A 、B 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则

),(1212y y x x --=。

(3)实数与向量的积：

定义：)(,R a ∈λλ ，其中||||||a a λλ=，当λ>0时，a λ与a 同向，当λ<0时，a

λ

a

b b a +

a

b

b a －

与a 反向，当0=λ，0

=a λ

坐标运算：若),(y x a = ，则),(),(y x y x a λλλλ==

。 (4)平面向量的数量积：

定义：θcos ||||b a b a =?(θ,0,0 ≠≠b a 为向量b a

,的夹角（有时也记

>=

,θ）且0≤θ≤π)，规定：00=?a

运算律：a b b a ?=?，)()()(b a b a b a λλλ?=?=?，c b c a c b a

?+?=?+)( 不满足结合律：)()(c b a c b a

??≠??（只有特殊的时候才相等） 坐标运算：若),(),,(2211y x b y x a ==

，则2121y y x x b a +=?

变形：22

22

21

21

2121|

|||cos y

x y x y y x x b a b

a +?++=

?= θ（用于求向量的夹角）

5．重要定理、公式

○

1．向量b 与非零向量a

共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b λ=即λ=?//；

坐标形式：若),(),,(2211y x b y x a ==

，则0//1221=-?y x y x b a ；

○2．平面向量基本定理：若b a ,是不共线的非零向量，对任一向量，存在唯一实数μλ,，

使得：μλ+=；应用：若b y a x b y a x c

2211+=+=，则21x x =且21y y =；

○

3．两个非零向量垂直的充要条件：0=??⊥b a b a

；

坐标形式：若),(),,(2211y x b y x a ==

，则02121=+?⊥y y x x b a ；

○4．线段的定比分点公式：设111(,)P x y ，222

(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12

PP PP λ=，则1212

11x x x y y y λλλλ+?

=??+?+?=?+?

?12

1OP OP OP λλ+=+

中点坐标公式：???

????+=+=22

21

21y y y x x x 。

6．如果点),(y x p ，按向量),(k h a =

，平移到p(x ,y )'''，则???+='+='k y y h x x 或?

??-'=-'=k y y h x x

7．在

>=

（注意：这一结论常用在立几中求“点到面的距离；或异面直线间的距离等距离”问题上。）

8．常见结论：

○

1点B A P ,,共线y x +=?，且1=+y x ； ○

2三角形中“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外心222

OA OB OC ?==；（2）

O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=；（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?；

○3三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11

A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123

(

,)33

x x x y y y G ++++； ○4在ABC ?中，B ac B ac cos )cos(-=-=?π。

8．三角形的面积公式： （1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示c b a ,,边上的高）； （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B =

==。 9. 正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，变形A R a sin 2=，,sin 2B R b =

,sin 2C R c =其中R 为三角形外接圆的半径。

10.余弦定理：2

2

2

2cos a b c bc A =+-;2

2

2

2cos b c a ca B =+-；

2

2

2

2cos c a b ab C =+-，变形：○1bc

a c

b A 2cos 2

22-+=；

○

2A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 2

22??-+=。 11．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定：

其中A b h sin = ?A 为锐角时： ①h a <时，无解；

②h a =时，一解（直角）；

③b a h <<时，两解（一锐角，一钝角）；④b a ≥

?A 为直角或钝角时： ①b a ≤时，无解；②b a >时，一解（锐角）。 另附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线的交点；

外心：三角形三边垂直平分线的交点； 内心：三角形三个内角的平分线的交点； 垂心：三角形三边上的高的交点；

旁心：三角形一内角的平分线与两条外角平分线的交点。 12．三角形四心：重心、内心、垂心、外心问题

○

1若)(++=λ)(R ∈λ，则动点P 过三角形的重心； ○

2若)|

||

|(AC AB +

+=λ)(R ∈λ，则动点P 过三角形的内心；

○

3若cos ||cos ||C

AC B

AB OA OP +

+=λ)(R ∈λ，则动点P 过三角形的垂心；

○

4若(2OP +++=λ)(R ∈λ，则动点P 过三角形的外心。 13．判断三角形的形状：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，设最大边为c 则有

下列结论：

A

○

12

22b a c +=?△ABC 为直角△?2

π

=∠+∠B A ○

22

22b a c +>?△ABC 为钝角△?2

π

<∠+∠B A

○

32

22b a c +

>∠+∠B A

○

4B A b a sin sin >?> B A b a c o s c o s 六、不等式

1．不等式的性质：

?a b b a ； ?c a c b b a >?>>,； ?c b c a b a +>+?>； d c b a >>,d b c a +>+?； ?bd ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0,；

?00,0>>?>>>x

x

b a x b a ； x

x

b a x b a <>00,0 (6)b

a b a ab 1

1,0

>>。 注意一个等式的性质:

k d

b c a b a k d c b a =++=?==。 2．比较大小：

（1）作差比较的步聚：作差→变形（因式分解）→定号。 （2）作商比较的步骤：作商→变形→定值（与1比大小）

此法要注意：要比较的两个数都为正数．．。 3．几个重要不等式： （1）基本不等式：

2)2(222b a b a ab +≤+≤（当b a =时，2

)2(2

22b a b a ab +=+=）),(R b a ∈

2

2112

2

2b a b a ab b

a +≤+≤≤+（当

b a =时取等号）)0,0(>>b a 使用均值不等式求最值时要注意：一正二定三相等．．．．．．．

。