矩阵的秩及其应用

学科分类号0701 本科生毕业论文

题目：矩阵的秩及其应用

Rank of Matrix and Its Application

学生姓名：

学号：

系别：数学与应用数学

专业：数学与应用数学

指导教师：

起止日期：2013.12-2014.5

2014年 5 月 10 日

怀化学院本科毕业论文(设计)诚信声明

作者郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。除文中已经注明引用的内容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由作者承担。

本科毕业论文（设计）作者签名：

年月日

目录

摘要 ..................................................................... I 关键词 ................................................................... I Abstract ................................................................. I Key words ................................................................ I

1 前言 (1)

2 矩阵的秩的定义及性质 (2)

2.1 矩阵的秩的定义 (2)

2.2 矩阵秩的性质 (2)

2.3关于矩阵的秩的某些不等式、等式及其应用 (3)

3 矩阵的秩在代数中的应用 (5)

3.1 解线性方程组 (5)

3.2 讨论向量组的相关性 (9)

3.3 讨论零特征值的代数重数 (11)

3.4判断二次型的正定 (12)

4 矩阵的秩在几何中的应用 (13)

4.1 判断平面与平面的位置关系 (13)

4.2 判断平面与直线的位置关系 (14)

4.3 判断直线与直线的位置关系 (15)

参考文献 (17)

致谢 (18)

摘要

矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，它是矩阵的一个数量特征，矩阵的秩有着广泛的应用。本文探讨了矩阵秩的不变性，矩阵秩的Sylvester与Frobenius不等式及等式成立的条件和应用，此外文章重点介绍了矩阵的秩在矩阵运算、矩阵可逆、向量组的线性相关以及零特征值代数重数的关系等问题中的作用，从而得到了矩阵的秩在线性代数、解析几何以及概率论等方面的应用．

关键词

不变性；不等式；线性方程组；齐次线性方程组；代数重数.

Rank of Matrix and Its Application

Abstract

The rank of a matrix is almost throughout the matrix theory, it is a quantity characteristic matrix, rank of matrix has a wide range of applications. This paper discusses the invariance of matrix rank, the rank of a matrix is established with inequality and equality conditions and applications, furthermore the article focuses on the rank of matrix valued algebraic multiplicity relations and other issues in the role of the linear correlation matrix multiplication, matrix, vector group and zero characteristic, which has been applied in the rank of a matrix linear algebra, analytic geometry, probability theory and so on.

Key words

Invariance;inequalities;linear equations; homogeneous linear equations;algebraic multiplicity.

1 前言

矩阵的现代概念是在19世纪逐渐形成的.1801年德国数学家高斯(.F Gauss ，

18551777-）把一个线性变换的全部系数作为一个整体．1844年,德国数学家爱森斯坦

)18521823,.(-n Eissenstei F 讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850年,英国数学家西尔维斯特)(18971841,-Sylvester Joseph James 首先使用了矩阵一词．1858年,英国数学家凯莱)18951821,.(-Gayley A 发表《关于矩阵理论的研究报告》．他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列的文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、两矩阵之和，一个数与一个矩阵的数量积、两矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等．并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m n ?矩阵只能用n k ?矩阵去右乘．1854

年，法国数学家埃米尔特)19011822,.(-Hermitem

C 使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝乌斯)18171849,..(-m Frohenious

G F 发表．1879年，费罗贝乌斯引入矩阵秩的概念．

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是应用数学研究的一个重要的工具．

而矩阵的秩是一个基本的概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，无论是在线性代数中，还是在解析几何中，甚至在概率论中，都有不可忽略的作用．不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是十分必要的.本课题的目的在于讨论和总结两个矩阵和的秩及两个矩阵积的秩，矩阵的和与乘积是矩阵的两种基本运算，关于他们的秩可以用相关矩阵秩的不等式表示，进一步给出有条件的等式表示，本文利用矩阵的秩的几个结论，讲述矩阵的秩在线性代数，解析几何以及向量中的利用.

现如今，矩阵理论在许多领域都有很广泛地应用, 例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用. 在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系. 在控制论中, 矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的, 或可观察的. 此外, 矩阵的秩也可用来判定向量组的线性相关性、两个向量组之间的等价、求向量组的极大无关组、向量组的线性表示、求齐次线性方程组的基础解系、求解非齐次线性方程组等等.分块矩阵是矩阵论中一个比较重要的内容，它的应用研究非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中分块矩阵的应用更加广阔，例如在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用.但国内一些专家对其研究主要是在证

明和计算等方面.但在分块矩阵的推广方面很少有研究，难以创新，但分块矩阵的应用的研究不能仅仅停留于现在这个程度，应该使其推广和应用到其它领域之中，使之能够成为我们学习和研究便利的工具. 2 矩阵的秩的定义及性质 2.1 矩阵的秩的定义

定义1 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 定义 2所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义. 2.2 矩阵秩的性质

(1) ()0r A =，当且仅当A 是零矩阵; (2) ()r A n =, 当且仅当0≠A ;

(3) 设A 是m n ?矩阵, 则()()min ,r A m n ≤;

(4)()()()r A B r A r B ±≤+;

(5)()()A O A O r r r A r B BC B O B ????==+ ? ?????

;

(6) 设,A B 分别为n m ?与m s ?矩阵, 则()min{r(A),r(B),,,}r AB n m s ≤; (7) 转置矩阵的秩相等，即()

()T rank A rank A =; (8) 初等变换不改变矩阵的秩;

(9) ()(),00,0rank A k rank kA k ?≠=?=?

；

，

(10) 对于任意一个n 阶矩阵A ，以下三种说法等价;

1.矩阵A 可逆；

2.()rank A n =；

3.det 0A ≠.

(11) 矩阵的行秩、列秩、秩相等;

(12) 设A 为m n ?阶矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q 为n 阶矩阵，则

()()()()rank PAQ rank AQ rank PA rank A ===;

(13) ()()A O rank rank A rank B O B ??

=+ ???;

(14) ()()A O rank rank A rank B C B ??

≥+ ???

;

(15) ()()(){}min ,rank A B rank A rank B ?≤．特别地，若A 可逆，则

()()rank A B rank B ?=．

2.3关于矩阵的秩的某些不等式、等式及其应用

定理 1]1[（Sylvester 不等式）设A 为s n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则

()()()rank AB rank A rank B n ≥+-.

推论1 若矩阵A 与B 为n n ?矩阵，且0AB =，()()rank A rank B n +≤.

定理2]1[ ()Frobenious 不等式 设A B C 、、依次为m n ?、n s ?、s t ?型矩阵，则

()()()().rank ABC rank AB rank BC rank B ≥+-

性质1 设矩阵A B 、为n 阶矩阵，则

()()()n n n rank AB I rank A I rank B I -=-=-.

性质2 若A B 、是n 阶矩阵，则

()()()rank AB A B rank A rank B ++≤+.

定理3]1[ 设()()[],,n n

A P

f x

g x P x ?∈∈，则

()()()()rank f A rank g A +=()()()()rank d A rank m A +，

其中：()()()(),d x f x g x =，()m x 为()f x 与()g x 的最大公因式.

定理4]2[ 设()()()()()(),,,1,n n f x g x F x f x g x A F ?∈=∈，则

()()()()()()()rank f A rank g A rank f A g A n +=+.

推论2 设()()[]()()(),,,,1,n n A F f x g x P x f x g x ?∈∈=则

()()()()()()0rank f A rank g A n f A g A +=?=.

推论3 设()()[],,n n i j A F f x g x P x ?∈∈，且()()(),1i j f x g x =，1,1i m j t ≤≤≤≤，则

()()()()1111m t m t i j i j i j i j rank f A rank g A n rank f A g A ====??????

+=+ ? ? ???????

∏∏∏∏.

例1 设A 为n 阶矩阵，且2A A =，证明：()()rank A rank A E n +-=,E 为

n 阶矩阵.

证明 令()f x x =，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，而2A A =,则20A A -=，所以应用定理4，可得到

()()()()()()()()()

rank A rank A E rank f A rank g A n rank f A g A +-=+=+

()()()20n rank A A E n rank A A n n =+-=+-=+=.

例2 设A 为n 阶矩阵，且2A E =,证明()()rank A E rank A E n ++-=.

证明 令()1f x x =+，()1g x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理4，可得到

()()()()()rank A E rank A E n rank A E A E ++-=++-

()

2

n rank A E =+-

()0n r a n k O n =+=

+

n =.

例3 设n n A F ?∈，n 为正整数，则对任意的正整数l k ，,有：

()()()1k

l m rank A rank A E n +-=，如果1m A A +=;

()()1

2

(2)k

l

m m rank A E rank A

A

A E n ---+++

++=,如果m A E =.

证明

(1)令()l f x x =，()()1k

m g x x =-，则()()(),1f x g x =，应用定理4，

()()(())(())l m k rank A rank A E rank f A rank g A +-=+

(()())(())

111(()())

1(())().

l m k n rank f A g A n rank A A E l m m k n rank A A A A E l m k n rank A O A E n rank O n =+=+--+-=+---=+-=+=

(2)令()()()1

2

(1),1k

l

m m f x x g x x

x

x -+=-=++

++，则()()(,)1f x g x =应用定理4，

可到

()()12k

l

m m rank A E rank A A A E ---+++++L

()()()()rank f x rank g x =+ ()()()()()(

)12k

l

m m n rank f A g A n rank A E A A A E --=+=+-++

++

()

()()()

()1

1

1

2

1

2

k l m m m m n rank

A E A E A

A A E A

A

A E ---+-+=+--++

++++

++

)

)())())(()((12121211-------+++?++++-+++--+=k m m m m m m l E A A A E A A A A A A A E A E A rank n

()

()()

()1

1

1

2

k l m

m m n rank

A E A

E A

A

A E ---+=+--++

++

()n rank O n =+=

以上三道例题如果用零化多项式的知识去解非常繁琐，但用

S ylvester 不等式来就非常简单且易懂.矩阵秩的不等式在解题中有很好的应用，本文就不一一说明了. 3 矩阵的秩在代数中的应用 3.1 解线性方程组

定理1]3[（线性方程组可解的判定方法） 设n 元线性方程组AX B =，其中

11121121222212,,n n m m mn m a a a b a a a b A B a a a b ????

? ? ? ?=

= ? ?

? ?????

L

L M M M M L

设其增广矩阵为

11121121

222212,n n

m m mn m a a a b a a a b A a a a b ?? ? ?

= ?

?

??L

L M M M M L

则有

(1)方程组AX B =无解当且仅当()()

rank A rank A <；

(2)方程组AX B =有唯一解当且仅当()()

rank A rank A n ==； (3)方程组AX B =有无穷多解当且仅当()()rank A rank A n =<．

例1 当c , d 取何值时, 线性方程组

123451234523455123451,323,2263,5433.x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x d ++++=??+++-=??

++++=??+++-=?

无解? 有解? 有解时, 求出一般解.

解 对增广矩阵作一系列初等变换：

1

11

1111111

1

1321130122

63012263012263543310122

65c c d d ????

?

?

------ ? ?→ ? ?

? ?

? ?------?

???

111

111111

11

1000000

12263012263000000000020

00002c c d d ????

?

?

? ?

→→ ? ? ? ?

? ?--?

???

. 从而有：

)1当0,c ≠ 或者2d ≠时, ()(),R A R A B ≠ 故方程组无解;

)2当0c =, 且2d =时, ()()2R A R A B ==

)3为求出一般解, 继续对增广矩阵施行初等变换, 并将2,0==d c 代入

1

11

11

11011520122630

122630000030

0000000000d 20

00000???----?

?

?

? ?

→

? ?

? ?

? ?-?

???

.

从而有134523452,

226 3.x x x x x x x x =++-??=---+? 其中345,,x x x 为自由变量, 它们可以取任意的实数.若

令314253,,,x k x k x k ===则

11232123314253522263x k k k x k k k x k x k x k =++-??=---+??

=?

?=?

=??

，，，，， 为所求一般解（其中123,,k k k 为任意实数）. 例2 对于方程组

12312312

3222x x x x x x x x x λλλ++=??

++=??++=?，

，

，

讨论λ取何值时，方程组有解. 解 系数矩阵

1

11

111A λλ

λ?? ?= ? ??

?, 增广矩阵

1

121

1

211

2B λ

λ

λ

?? ?= ? ??

?

,

若要方程组有解,则需rankA rankB =.

221111111101101111011002A λλλλλλλλλλλλλ??????

? ?

?=→--→-- ? ? ? ? ? ?--+-??????

,

221121

1211211201100110.1120112200222B λλλλλλλλλλλλλλλ?????? ? ? ?=→--→-- ? ? ? ? ? ?---+--??????

由此可以看出

当1λ=时，1rankA rankB ==，方程组有无穷多个解. 当1λ≠,且2λ≠-时，3rankA rankB ==，方程组有唯一解. 当2λ=-时，2rankA =，3rankB =，方程组无解.

对于非齐次线性方程组来说，A 为其系数矩阵，B 为其增广矩阵，当

rankA rankB =时，若0A ≠,则方程组有唯一解，若0A =,则方程组有无穷多组解；

当rankA rankB ≠时，方程组无解.

矩阵的秩不仅可以用来判断非齐次线性方程组有无解,而且还可以用来判断线性方程组解的情况，进而确定其通解的结构.以下定理可以根据矩阵的秩判断解的情况.

定理2]3[（齐次线性方程组有非零解的判定方法） 一个奇次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未知量的个数n ．

例3 求齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全部解.

1234512345

1234512345202075550320.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=??+---=??

+--+=??--+-=?，

，， 解 对上面方程组的系数矩阵做初等变换可以得

121111211112112211110533105331.175550966606900312110552205140------??????

??????-------??????→→??????----??????------?????? 由

1112033

1009000

1

4

0---≠，

可知()45rank B =<.方程组的基础解系含有一线性无关的解向量，题目所给方程组的同

解方程组为

123452345232342205330 690540x x x x x x x x x x x x x x -++-=??--+=??

-+=??-++=?，，，， 可以令2 2x =可推出T 12131,1,,23124

η=

（，），η是原方程组的一个基础解系，因此齐次线性方程组的全部解可以表示为x k η=（k 为任意常数）.

例4 讨论齐次线性方程组

1234512345123451234520,20,75550,320,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-=??+---=??

+--+=??--+-=?

解的情况.

解 对上面方程组的系数矩阵做初等行变换，得

12111211111755531211--?? ?--- ? ?-- ?---?? 12112053310690005140--?? ?-- ?→ ?- ?-?? 12112053310690005140--??

?-- ?→ ?- ?-?? 1-21

1

20

2-300

0021-10

0-2111?? ?

?→ ? ?

?? , 可知()45R A =<.因此齐次线性方程组有非零解.此时，方程组中四个方程都是有效方程.

定理3]3[（齐次线性方程组的解空间的维数）数域F 上一个n 个未知量的齐次线性方程组的一切解作成n F 的一个子空间，称为这个齐次线性方程组的解空间．如果所给的方程组的系数矩阵的秩为r ，那么解空间的维数等于n r -．

例5 应用线性方程组的理论证明：若m n ?矩阵A 与n p ?矩阵B 的积AB O =, 则

()rank A ＋()rank B ≤n .

证明 若A O =或B O =，结论自然成立.不妨设秩A ＝m n ?>0,作齐次线性方程组

AX O =，该方程组的解空间的维数为n r -，由AB O =知B 的列向量是AX O =的解向

量.因此，()rank B ≤n r -，于是()rank A ＋()rank B ≤n .

例6 当λ取不同值时，计算下列齐次线性方程组的通解.

12312312330230230.

x x x x x x x x x λ++=??

-+=??++=?，，

(1) 解 方程组的系数矩阵为A ，

31123231A λ??

?=- ? ???

,

计算系数矩阵的行列式,

()3112312312307507574231079004A λλλλ--=-=-=-=---,

当4λ=时，0A =，方程组有非零解.

314123123123075075231075000A --?????? ? ? ?=-→-→- ? ? ? ? ? ?-??????

,

方程组的系数矩A 的秩为2，由定理可得方程组的基础解系所含解的个数为1.此时方程组化简为

12323230

750

x x x x x -+=??-=? （2）

方程组（1）与（2）同解，且解为

1

32333117

57.x x x x x x ?=-??

?

=??

=???

，，

由于115177T

α??

=- ???，，

线性无关，则可以作为方程组的基础解系，X 表示方程组的通解.因此方程组的通解为,X k α= 其中k R ∈.当4λ≠时，0A ≠,方程组只有零解. 3.2 讨论向量组的相关性

向量组的线性相关型理论是贯穿线性代数始终的理论主线．由于线性关系是变量比较简单的一种关系，而线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，并且一些非线性问题在一定条件下，可以转化或近似转化为线性问题来解决．

如果称向量组12,,

,k u u u 是线性无关的，那么等式1

0k

j j j c u ==∑只有12,,

0k c c c =是

能成立的．否则称这组向量组是线性相关的．

假设这组向量组为1m +阶的列向量．这时用矩阵的形式可以将上述的等式写成

1

0k

j j j AC c u ===∑，其中()12,,

k A u u u =，()12,,,T

k C c c c =．

这时判断向量12,,,k u u u 组线性无关或相关的问题，可以转换成求方程组0AC =是

否有非零解的问题来讨论．可以得到：

定理1]4[ 一组列向量组线性无关当且仅当矩阵()12,,,k A u u u =的秩等于k ．

由此可得到矩阵秩的另一种等价的定义：

定义1矩阵()ij m n A a ?=的行（列）向量组的极大无关组的个数成为该矩阵的秩． 例7 设A 为n 阶方阵, 12,,,n ααα为n 个线性无关的n 维向量, 证明秩A =n 的充

要条件是A 1α, A 2α,

, A n α线性无关.

证明 令B =()12,,

,n ααα, 那么B 0≠.

先证明必要性 设秩A =n , 所以A 0≠. 令

1122()()()n n k A k A k A O ααα+++=L

用1A -左乘（1）式得1122n n k k k O ααα++=L . 所以

120n k k k ===L .

即 A 1α, A 2α, L , A n α线性无关.

再证明充分性 因为A 1α, A 2α,

, A n α线性无关，所以

12,,

,n A A A ααα=AB 0≠,

从而A 0≠, 即 秩A =n .

定理2]5[ 如果方阵n n A C ?∈的秩为r ，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组

AX O =的解向量组中，必有n r -个是线性无关的．

例8 设0r 是非齐次线性方程组β=AX 的特解，r n -ηη ,1是导出组AX O =的基础解系，证明

(1) 01,,r r n -ηη 线性无关； (2)β=AX 有1+-r n 个线性无关的解

010101,,,r r r r n r n r n =+=+=+---ξηξηξ ；

(3) β=AX 的任意解ξ可唯一表示成

1111+-+---++=r n r n r n r n k k k ξξξξ，

其中111=+--r n k k .

证明 （1）设110n r n r

k k kr O ξξ--++=.若0k ≠，则0r 可表示成01,,r r n -ηη

的线性组合，故0r 是导出组AX O =的解，矛盾.于是0=k ，故

0011=++--kr k k r n r n ξξ，10n r k k -?===L .

（2）因为βξβηξ==-==+=+-010,,,1,Ar A r n i A Ar A r n i i ，即

11,,,+--r n r n ξξξ

是β=AX 的解.设

，

即

101010()()n r n r n r k r k r k r O ηη---++++++=L

11011()n r n r n r n r k k k r k k O ηη--+--?++++++=L L

而01,,,r r n -ηη 线性无关，则.011====+--r n r n k k k 1111n r n r n r n r k k k O ξξξ---+-+++=

（3）设ξ是β=AX 的任意解，则 .110r n r n k k r --+++=ηηξ

.

)1()()(1111010101+-+------+++=---+++++=?r n r n r n r n r n r n r n k k k r k k r k r k ξξξηηξ

其中r n r n k k k -+----= 111，则.111=++++--r n r n k k k 3.3 讨论零特征值的代数重数

引理1 设n 阶方阵()ij n n A a ?=的特征值为12,,

,n λλλ，则

()1122331nn a a a a trA +++

+=;

()1232det n A λλλλ=???

?;

()30A 是的特征值的充分必要条件是0.A =.

例9 设A 是n 阶矩阵，r A R a a a A tr nn =+++=)(,)(2211 且A A =2，证明.)(r A tr =

证明 因为A A =2，设0)(0,222=-?===?≠=ξλλλξξλξξξλξξA A A .由0≠ξ知 20λλ-=，于是1λ=或0.又01V V F n ⊕=，取1V 的基为s ηη ,1，取0V 的基为n s ηη,,1 +，

令),,(1n T ηη =，则s

E O AT T O

O ??=

???，即~s E O A B T O O ??

= ???.由

r A R =)(，得 (),.r

E O R B r B O

O ??==

???

而相似矩阵有相同的迹，故r B tr A tr ==)()(.

引理2 设i λ是方阵A 的i r 重特征值（称i r 为特征值i λ的代数重数），对应有i s 个线性无关的特征向量（称i s 为特征值i λ的几何重数），则1i i s r ≤≤．

定理1]5[ 如果方阵A 的秩为R ，设A 有零特征值，且其重数为r ,则必定有：

n r R n -≤<

推论1 如果方阵A 仅有一个零特征值，即1r =，则必有A 的秩1R n =-． 推论2 如果方阵A 的秩1R =,A 的n 个特征值为12,,

,n λλλ，则必有

123,0n trA λλλλ===

==

例10 设A 为n 阶方阵, A E ≠，且()()5rank A E rank A E n ++-=，求A 的一个特征值.

解 因为A E ≠,所以A E O -≠,从而()0rank A E ->，故由

()()5rank A E rank A E n ++-=

得()5rank A E n +<.所以50A E +=，即-5为A 的一个特征值. 3.4判断二次型的正定

设二次型()12,,

n f x x x =T x Ax , 其中T A A =, 那么有以下的结论：

A 正定?f 的正惯性指数与秩都等于n , A 负定?f 的负惯性指数与秩都等于n ,

A 半正定?f 的正惯性指数与秩相等.

例11 设A 为n 阶满秩矩阵, 试证明: X (A T A )T X 是一个正定二次型, 这里

X =()12,,

,n x x x .

证明 设A 是满秩矩阵, 令T Y =T A T X , 其中Y =()1,

,n y y , 则 T X =()

1

T

T A Y -是非退化线性替换, 且

X (A T A )T X =T YY =22212n y y y ++

+

由上式看出, 此二次型的正惯性指数与秩都等于n . 所以X (A T A )T X 是正定二次型.

例12 设A 为m 阶实对称矩阵, 且正定. B 为m n ?实矩阵. T B 为B 的转置矩阵.试证明：T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是

()rank B =n .

证明 先证明充分性. 首先()T

T T B AB B AB =，1,n x R x O ??∈≠.由秩B =n , 知

Bx O ≠, 而A 为正定矩阵, 故

T x ()

()()T

T B AB x Bx A Bx =>0

此即T

B AB 为正定矩阵.

再证明必要性. 用反证法. 若()rank B

0Bx O =,但0x O ≠, 由T B AB 为正定矩阵, 知

()T T 000x B AB x <=()()T

00Bx A Bx (1)

另一方面, 因为00Bx =, 所以

()()T

00B B =0x A x (2)

由于(1),(2)矛盾, 故()rank B =n ,所以T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是()rank B =n . 4 矩阵的秩在几何中的应用 4.1 判断平面与平面的位置关系

定理1]6[ 已知平面11111:a x b y c z d π++=与平面22222:a x b y c z d π++=.设线性方程组

11112222

a x

b y

c z

d a x b y c z d ++=??

++=?，

， 的系数矩阵为A 增广矩阵为A ，则：

①若()()2rank A rank B ==，平面1π与2π相交于一条直线; ②若()()

1rank A rank A ==，平面1π与2π重合； ③若()1rank A =，但()

2rank A =，平面1π与2π平行． 定理2]6[ 设空间三个平面的方程分别为：

111122223333A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D ++=++=++=，

，，

系数构成的矩阵为

1

111

1112

222

2223

3

33

3

3

3,A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ????

? ?== ? ? ? ?????．

则：

①三平面重合的充要条件为()()

1rank A rank A ==; ②三平面平行的充要条件为()()1,2rank A rank A ==，且A 的任意两行不成比例; ③三平面两两相异且有唯一公共点的充要条()()2rank A rank A ==，且A 的任意两

行不成比例;

④三平面中有两平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是()2,rank A =并且

()

3rank A =，且A 的任意两行不成比例;

⑤两平面重合，且第三平面与它们平行的充要条件是：()1rank A =，()

2rank A =，且A 的两行不成比例;

⑥三平面有唯一的公共点的充要条件是()3rank A =．

例1 设有n 个平面0,1,2,

,i i i i a x b y c z d i n +++==.

1111111222

2222,n n n

n n n n a b c a b c a b c a b c A B a b c a b c ????????

????==?????

???

????

d d d 则

(1)这n 个平面只有一个公共点()()3;R A R B ?== (2)这个n 个平面相交于一条直线()()2R A R B ?==.

证明 （1）考虑方程组11112222

000.

n n n n a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d +++=??+++=????+++=

?，

， （*）

则由方程组理论可知，这

n 个平面只有一个公共点?方程组（*）有唯一解

()()3R A R B ?==.

（2）充分性 若()()2R A R B ==，则由线性方程组理论知，方程组（*）有无穷多个解，其基础解系含有321-=个向量11(0)??≠全部解为1k ?，因此，这n 个平面相交于一条直线，该直线的方向向量为1?.

必要性 若这n 个平面相交于一条直线，则方程组（*）有无穷多个解，从而

()() 3.R A R B =<又因为这n 个平面不重合，()1R B >,故()()2R A R B ==.

4.2 判断平面与直线的位置关系

定理3]6[ 设空间平面与直线的一般方程为：

222211113

333,A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D ++=?++=?++=?.

系数构成的矩阵为

1

111

1112

222

2223

3

33

3

3

3,.A B C A B C D A A B C A A B C D A B C A B C D ????

? ?== ? ? ? ?????

则：

①直线与平面相交的充要条件为：()()3rank A rank A ==; ②直线与平面没有公共点的充要条件为()()

2,3rank A rank A ==; ③直线属于已知平面的充要条件为()()

2rank A rank A ==．

例2 判断直线l :???==+00

y z x 与平面π: 10x y z -++=的位置关系.

解 将系数矩阵

????? ??-=111010101A ,????

? ??-=111100100101B .

进行初等变换得

????

?

??=101001000001B .

则()2,()3,R A R B ==故直线l 平行于平面.π 4.3 判断直线与直线的位置关系

定理4]6[ 设空间两直线的一般方程分别为：

1111

3

332

2224444,A x B y C z

D A x B y C z D

A x

B y

C z

D A x B y C z D ++=++=??

?

?++=++=??

．

系数构成的矩阵为

1

111

1112

222

2

2233333334

4

44

4

4

4,A B C A B C D A B C A

B C D A A A B C A B C D A B C A B C D ???? ? ? ? ?== ? ? ? ?????

.

则：

(1) 两直线异面的充要条件为()()

3,4rank A rank A ==；

(2) 两直线相交的充要条件为()()3rank A rank A ==； (3) 两直线平行的充要条件为()()2,3rank A rank A ==； (4) 两直线重合的充要条件为()()2rank A rank A ==．

例3 判断两直线???=-++-=--+0

720

721z y x z y x l 和???=--=--+02083632z y x z y x l 的位置关系. 解 将系数矩阵

?

??

??

?

? ??--------=01128363711

27121

A .??????? ??-----=112363112121

B .

进行初等变换得

A =??

?

?

?

?

?

??--0000700001500121.

A 的秩3R =,

B 的秩2S =, 故两直线平行.

例4 证明直线1l 和直线2l 平行，其中

1l ：2727a b c a b c +-=??

-++=?，2l ：3638,

20.a b c x y z +-=??--=?

证 由以上结论来证明.一方面

U =121211363211-?? ?-

? ?- ?--??→1211210510510000000510

00--????

? ?-- ? ?

→ ? ?

? ?-????

,

所以() 2.r U r == 另一方面，

V =1217211736382110--?? ?--

? ?-- ?--??→121705120001305114--?? ?-- ? ? ?-??→1

2170

512000130000--??

?

-- ?

?

?

??

，

所以()3r V R ==,由定理4可以得出直线1l 和直线2l 平行. 例5 设有空间四个点(,,),1

,2,3,4i i i i P x y z i =, 1112223334441111x y z x y z A x y z x y z ??

????

=??????

，

矩阵A 的秩()R A r =，则

(1)4r =时，四点异面； (2)3r =时，四点共面；

(3)2r =时，四点共线； (4)1r =时，四点重合.

证明 因为1

11112,3,4

21i r r i x y z A A -=??

???→=????

A 0，故12()()()1R A R A R A ==+. (1)当4r =时，2()3R A =,向量组121314PP PP PP ，，线性无关，由张成整个三维空间知四