21.4_无理方程(2)
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21．4 (2)无理方程
上海市闵行第四中学 谢淙 教学目标
（1）会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二
次根式）.
（2）能根据二次根式的性质，直接判断含二次根式的特殊无理方程
的根的情况.
（3）通过解无理方程，进一步体会事物之间相互转化的关系，培养
辩证观点.
教学重点及难点
解简单的无理方程；判断含二次根式的无理方程的根的情况. 教学流程设计
教学过程设计 一、 复习
1、 解无理方程的一般步骤是什么？
2、 无理方程如何进行“验根”？
二、 例题讲解
1、 讲解
解下列方程:
（1）;632
-=-x x （2）;1222+=-x x （3）;323x x =--
（4）.12=-+x x 2、 思考
在解无理方程的时候要注意些什么？
3、 小结
解只含一个“根号”的无理方程时，一般将“根号项”放在方程的一边，把其他“项”放在方程的另一边，然后进行平方，这样求解比较简单；解含两个“根号”的无理方程时，一般将两个“根号项”分别放在等号两边，两边平方后再整理，这样可以简化解题过程；如果含两个“根号”的无理方程中还有其他“项”，通常要经过两次平方，才能把原方程转化为有理方程.
[说明]例题中（1）、（2）两个无理方程，只需方程两边直接平方就可以去掉根号；（3）、（4）两个无理方程，则要先移项，再进行平方，这样求解比较简便.课本将它们分成两个例题，现在将它们放在一道题目中,目的是为了加强学生对两种类型方程的对照和比较，从而对解法上的差异形成更为鲜明的印象.在讲解时，重视解题的示范，再引导学生对如何简化无理方程的解题过程进行反思小结,有利于学生清晰地掌握.
4、提问
不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗? ①011=++x ； ②11=+-x x ； ③325=-+-x x .
5、归纳
对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式a ，有0,0≥≥a a .”
[说明]观察分析也是解无理方程的一种方法（在特殊情况下可用）.通过提问，让学生来观察和判断无理方程有无实数根，激发学生从另外的角度来分析无理方程，而不是不加辨别地采取一般方法进行解题,使学生养成良好的观察和分析习惯.补充②③两题是为了丰富此方法的适应类型，让学生掌握方法，从而能举一反三.
三、巩固练习
课本练习21.4(2) 1、2、3
四、课堂小结
通过本堂课你有什么收获?
五、作业布置
完成练习册21.4(2)作业
解分式方程及增根_无解的典型问题含答案
分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母,看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方 程的增根,必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例１：解方程 214111x x x +-=-- 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根。 方法总结:１.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3:解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解,则常数a 的值。 解:化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时,整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结:1．化为整式方程。 2．把整式方程分为两种情况讨论,整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4:若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠,由题意得不等式组:2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考:１.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少? 方程总结:1． 化为整式方程求根，但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。
分式方程和无理方程
分式方程和无理方程 一. 解分式方程和无理方程必需检验 1. 方程01312=--+x x 的解是_________. 2.方程x x -=-2的解是 __________. 3. 方程x x =+2的解是 ___________. 4.方程 1415112-=--+-x x x x 的解是 __________. 5.方程 2x-332=+x 的解是 ( ) A. 21 和3 B. 21 C. -2 1 和3 D. 3 6. 关于x 的方程x k k x -=-的根为 ( ) A. x = k B. x 1 = k+1 , x 2 = k – 1 C. x 1 = k , x 2 = k + 1 D. x = 2k 7. 方程 4 42144122-=+++-x x x x x 的解是 ( ) A. x 1 = -2 , x 2 = 4 B. x 1 = 2, x 2 = – 4 C. x = 4 D. x = - 4 8.方程3 12)3(42+-=++x x x 的根的个数是 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数多个 二. 与增根有关的填空与选择题. 1. 解分式方程 3 31+=--x m x x 时去分母一步产生了增根,那么m 的值是 ____________. 2. 当m = _____时 , 去分母解方程2 22-=--x m x x 时会产生增根. 3. 解关于x 的方程x m m x x -=--131得 x = 1 34-m m ,当m = ____时,此根是增根. 4. 使分式方程212-=-+x k x x 产生增根的k 的值是 ( ) A. k = 0 B. k = 0, k = 2 C. k = 1 D. k = 2 5. 解关于x 的方程1 3213+-=++x x ax x 有增根x = -1,则a 的值是 ( ) A. 0或1 B. 0 C. 3 D. –2 6. 方程011522=-?-+y y y 的解是 ( ) A. 3 B. 3或-5 C. –5或 –1 D. 3 , -5 ,1 7. 方程 0345=-?-x x 的解是 ( )
分式方程与无理方程(非常规)
分式方程与无理方程（非常规） 例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解 例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 例3、解方程x x 1- ＋x 1-1=x 例4、解方程1-x +24-y +39-z =2 1 （x+y+z ） 例5、解方程x -5+x +2=5+2 例6、求方程的整数解2x +y 2=32 例7、已知实数x 1，x 2，???x n 满足 1+2 11 x x = 1 +2 22 x x =???= 1 +2 n n x x ， x 1+x 2+???x n + 11x +21x +???+n x 1=3 10 。 求x 1 例8、已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且a+b 1=b+c 1=c+d 1=d+a 1 =x ， 试求x 的值 例9、已知关于x 的方程（a 2 -1）(1-x x )2-(2a+7)( 1 -x x )+1=0有实数根 （1）求a 的取值范围 （2）若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且1-11x x +1-22x x =11 3 ，求a 的值 练习： 1、方程 x - x 4=x x 3的实数根的个数为 个 2、如果a+b-21-a -42-b =33-c - 2 1 c-5，则a+b+c 的值为 3、若方程p x -=x 有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 4、若实数x ，y ，z 满足x+ y 1 =4，y+z 1=1，z+x 1=37，则xyz 的值为 5、满足x y +x y-x 2003-y 2003+xy 2003 =2003的正整数对的个数是 6、已知 a 1-a =1，那么代数式a 1 +a 的值为 7、对于x 的哪些实数值，等式12-+ x x +1-2-x x =2成立？ 8、解方程16+16x +x x +16= 416x
数学初高中衔接之分式方程和无理方程
2.2 分式方程和无理方程 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握 (1) 不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用” 去分母” 或” 换元法” 求方程的根，并会验根； (2) 了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用” 平方” 或” 换元法” 求根，并会验根． 一、可化为一元二次方程的分式方程 1 ．去分母化分式方程为一元二次方程 【例 1 】解方程． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 方程两边各项都乘以： 即，整理得： 解得：或． 检验：把代入，不等于 0 ，所以是原方程的解； 把代入，等于 0 ，所以是增根． 所以，原方程的解是． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ① 把各分式的分母因式分解；② 在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③ 去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④ 解一元二次方程；⑤ 验根． 26
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式 方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为 0 的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0 ．若为 0 ，即为增根；若不为 0 ，即为原方程的解． 2 ．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例 2 】解方程 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程 的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知的 值的情况下，用去分母的方法解方程． 解：设，则原方程可化为：解得或． (1) 当时，，去分母，得； (2) 当时，． 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 ． 所以，，都是原方程的解． 说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值． 【例 3 】解方程． 分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可 以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程． 27
分式方程和无理方程
天材教育学科教师辅导讲义
分式方程 【知识梳理】 A 1.分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式一叫做分式. B 2?分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3 .分式运算 4?分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程. 5. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根. 【思想方法】 1. 类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式） 2. 检验 【例题精讲】 八“x22x 1 x 1 1.化简：22 X 1 XX 2 x 2x 2x 4 卄亠小匚 2 ?先化简，再求值：2x 2 ，其中x 2 V2 . x24 x 2 1 x 3 ?先化简（1 ）2x，然后请你给x选取一个合适值，再求此时原式的值. x 1 x 1 「小 5 1 - x 2 x 2 16 4 ?解下列万程（1） 2 20 （2）2 x 3x x x x 2 x 2 x 4 则根据题意所列方程正确的是() 312 312 d312 312 , =1 _ = 1 A. x x—2& B.兀+ X 巫-匹=1 21L-竺" c.工X十% D. X—2戌X (二) 无理方程 【一】知识梳理： 1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数 方程. 3、解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程. 4、无理方程的增根：(解无理方程验根的必要性) 乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根.
习题：分式方程及增根、无解(含答案)
1 当堂检测 11- x 1. 解方程 1=1-x - 3答案： x = 2是增根原方程无解。 x -22-x a 1- 2x 2. 关于x 的方程 a +1=1-2x 有增根，则a = ------------------ 答案：7 x -44-x m 3. 解关于 x 的方程 m =1下列说法正确的是（C ） x -5 A.方程的解为x = m + 5 B.当m -5时，方程的解为正数 C.当m -5时，方程的解为负数 D.无法确定 x +a 4. ----------------------------------------------------------------- 若分式方程x +a =a 无解，则a 的值为 -------------------------------------- 答案：1或-1 x - 1 m +x 5. 若分式方程m + x =1有增根，则m 的值为 --------- 答案：-1 x - 1 1m 6. ----------------------------------------------------------------- 分式方程 1 = m 有增根，则增根为 -------------------------------------- 答案：2 或-1 x -2x +1 1k 7. 关于x 的方程 1 +1= k 有增根，则 k 的值为 ------------- 答案：1 x -2x -2 x +a 8. 若分式方程x + a =a 无解，则a 的值是 --------- 答案：0 a m + x 1 9.若分式方程2m + m + x = 0无解,则m 的取值是 ------- 答案：-1或- 1 x - 1 2 10. 若关于x 的方程 = m - 3无解，则 m 的值为 ---- 答案：6，10 2x +1 x -m 3 11. 若关于x 的方程x -m -3 = 1无解，求m 的值为 ---------- 答案： x - 1 x 12.解方程 1 =1 -6- x 答案x =-6 2-x x -2 3x 2 -12 7 24 13．解方程 2-4=0 x-1 x 2 -1 2x 2 14. 解方程 2x -2 =1 2 x -5 2x +5 x -2 15. 解方程x -2 x +3 x -1 m 2 16. 关于 x 的方程 = 有增根，则 m 的值 答案：m=2 或-2 x -3 2 x -6 x -a 3 2x 2 -13 x 2-9
有限差分法求解偏微分方程MATLAB教学教材
有限差分法求解偏微分方程M A T L A B
南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨 学号： 115104000545 成绩： 有限差分法求解偏微分方程
一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα??-=??其中为常数 具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π???-=≤≤?????? =??? ==≥??? 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2 100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下：
初二 代数方程分式方程和无理方程讲义
代数方程2---分式方程 无理方程 板块一、分式方程 1、用“去分母”的方法解分式方程 例题1. 解分式方程 12244212=-+-++x x x x 例题2、解分式方程 2123x x x ++- + 2226x x x -+-＝2632 x x x --+ 限时训练： 1、已知方程（1）11=+x x （2）6323=+x x （3）11182=+x （4）1=x x 中， 分式方程的个数是（ ） （A ） 1 （B ） 2 （c ）3 （D ）4 2、分式226232 x x x x +---的值等于零，则x 的值应是________________ 3、分式方程1 214--=+x x x 的根是______________ 4、分式方程14 1212=-++x x 的最简公分母是________________ 5、分式方程21 32=+-x x 去分母后化为整式方程是___________________ 压轴题： 1、已知方程 24k 2-x 12x 2x -=-+有增根，求k 的值。 2、已知关于x 的分式方程 () 02222=-++-+-x x k x x x x x 只有一个解，求k 的值。
2、用“换元法”解分式方程： 例1、解分式方程 012 1863222=+-+-+-x x x x 例2：解下列分式方程： 2 122112122=+++-+x x x x 限时训练： 1、 分式方程0101712=+?? ? ??--??? ??-x x x x ，若设y x x =??? ??-1，则原方程可化为关于y 的整式方程为___________________________ 2、 在分式方程41 331122=+++++x x x x 中，可设____________=y ，则原方程化为关于y 的整式方程为__________________________ 3、 解分式方程12 222422=+-+ -x x x x ，宜用_______法来解，并且设____________=y 较合适。 4、 解分式方程组???????=++=-+871033y y x y y x 时，可设m=______________，n=_______________， 原方程组可化为整式方程组_________________ 压轴题： 1、已知：622122=+++ x x x x ，求x x 1+的值 2、解方程：22 356635620x x x x -+- +=
解分式方程及增根-无解的典型问题含答案
（ 分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程 214111 x x x +-=-- ） 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 — 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 . 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠-
Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)
第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t
(完整版)初中数学知识点总结分式方程和无理方程
初中数学知识点总结分式方程和无理方程 知识点总结 一．分式方程、无理方程的相关概念： 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2．无理方程：根号内含有未知数的方程。（无理方程又叫根式方程） 3．有理方程：整式方程与分式方程的统称。 二．分式方程与无理方程的解法： 1．去分母法： 用去分母法解分式方程的一般步骤是： ①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； ②解这个整式方程； ③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去。 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入最简公分母。 2．换元法： 用换元法解分式方程的一般步骤是： ②换元：换元的目的就是把分式方程转化成整式方程，要注意整体代换的思想； ③三解：解这个分式方程，将得出来的解代入换的元中再求解； ④四验：把求出来的解代入各分式的最简公分母检验，若结果是零，则是原方程的增根，必须舍去；若使最简公分母不为零，则是原方程的根。 解无理方程也大多利用换元法，换元的目的是将无理方程转化成有理方程。 三．增根问题： 1．增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的增根。 2．验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。 3．增根的特点：增根是原分式方程转化为整式方程的根，增根必定使各分式的最简公分母为0。 解分式方程的思想就是转化，即把分式方程整式方程。 常见考法 （1）考查分式方程的概念、分式方程解和增根的机会比较少，通常与其他知识综合起来命题，题型以选择、填空为主； （2）分式方程的解法，是段考、中考考查的重点。 误区提醒
分式方程的增根及无解
分式方程的增根与无解 甲:增根是什么? 乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．比如 例1、解方程:。① 为了去分母，方程两边乘以，得② 由②解得。 甲:原方程的解是。 乙:可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？ 乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢? 乙:因为原来方程①中未知数ｘ的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲:如此说来,从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢? 乙:很简单,两个字:检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根,否则就是原方程的解。 甲：那么,这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢? 乙:原方程无解。
甲:啊?！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论ｘ取何值,都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程,不论x取何值也不能使它成立,因此,这个方程也无解。 甲:是不是有增根的分式方程就是无解的,而无解的分式方程就一定有增根呢? 乙:不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看： 例2、解方程， 去分母后化为,解得或,此时，是增根,但原方程并不是无解,而是有一个解,而方程,去分母后化为,原方程虽然无解,但原方程也没有增根。 乙:增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解,利用这种关系可以解决分式方程的有关问题,你看： 例3、已知关于x的方程有增根，求k的值。 首先把原方程去分母,化为。③ 因为原方程的最简公分母是，所以方程的增根可能是或 若增根为,代入方程③,得，； 若增根为，代入方程③,得,。 故当或时，原方程会有增根。 甲:虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解,但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系,这是怎么一回事？
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为
初中数学专题复习分式方程与无理方程(含答案)
第15课分式方程与无理方程 目的：复习分式方程和无理方程的概念和解法． 中考基础知识 1．分式方程：分母含有_______的方程． 2．分式方程的解法： （1）分式方程转化为______方程来解； （2）分式方程转化为______方程为解． 3 （1）无理方程转化为_________方程来解； （2）无理方程转化为_________方程来解． 4x的取值范围扩大了，可能会出现_____根，因此在解无理方程和分式方程时必须______根，解分式方程是代入________去分母验根，解无理方程是代入______验根． 备考例题指导 例1．解方程31 1 x x - + - 2 1 x x - - =1+ 2 2 1 x- ． 解：分解分母：31 1 x x - + - 2 1 x x - - =1+ 2 (1)(1) x x -+ ， 方程两边同乘以（x+1）（x-1）（这一步是关键） 得（3x-1）（x-1）+（2-x）（x+1）=（x+1）（x-1）+2，化简得x2-3x+2=0， （x-2）（x-1）=0， x1=2，x2=1． 检验：把x1=2，x2=1分别代入（x+1）（x-1） 当x1=2时，它不等于0，当x2=1时，它等于0 ∴得x=1是原方程的增根，x=2是原方程的根． ∴原方程的解是x=2 （一定要验根） 例2．解方程 2 2(1) 1 x x + + + 2 6(1) 1 x x + + =7． 分析：直接去分母难度较大，宜用换元法． 解：设 21 1 x x + + =y，则原方程转化为方程：
2y+6 y =7，去分母得2y2-7y+6=0， 解之得y1=3 2 ，y2=2． 当y=3 2 时，有 21 1 x x + + = 3 2 ，解得x1= 3 4 + ，x2= 3 4 - ． 当y=2时，有 21 1 x x + + =2，解得x3x4=1 经检验：x1，x2，x3x4 例3-2x+1=0． =2x-1， （想一想为什么要这样移项） 平方，得4x+1=（2x-1）2， 解之得x1=0，x2=2． 把x1，x2代入原方程检验得，x1是原方程的增根，x2是原方程的根．∴原方程的解为x=2． 例4．解方程3x2-6x-+4=0． 分析：采用例3方法会出现难解的高次方程，因此可用换元法． 解：变形，3x2-8=0． =y，则原方程变为：3y2-2y-8=0， 解之得y1=2，y2=-4 3 （不合算术根定义，舍去） =2，解之得x1=0，x2=2． 经检验：x1，x2都是原方程的解； ∴原方程的根为：x1=0，x2=2． 注：这个方程也可用因式分解法降次求解：
分式方程的增根与无解[1]
例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
习题：分式方程及增根、无解(含答案)
1 当堂检测 1. 解方程1 1322x x x -=---答案：2x =是增根原方程无解。 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a =-------答案：7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是（C ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程1x a a x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-1 5. 若分式方程=11m x x +-有增根，则m 的值为-------------答案：-1 6.分式方程121m x x =-+有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x 的方程1 122k x x +=--有增根，则k 的值为-----------答案：1 8. 若分式方程x a a a +=无解，则a 的值是----------答案：0 9.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1 -2 10. 若关于x 的方程(1)5 321m x m x +-=-+无解，则m 的值为-------答案：6，10 11. 若关于x 的方程3 11x m x x --=-无解，求m 的值为-------答案： 12.解方程2116 2-x 2312x x x -=---答案6 7x =- 13．解方程224 0x-11x -=- 14. 解方程22 12525x x x -=-+ 15. 解方程2 22213 339x x x x --=-+- 16. 关于x 的方程2 1326x m x x -=--有增根，则m 的值-----答案：m=2或-2 17.当a 为何值时，关于x 的分式方程3 11x a x x --=-无解。答案:-2或1
Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)
第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供
用matlab实现线性常系数差分方程的求解
数字信号处理课程设计 题目：试实现线性常系数差分方程的求解 学院： 专业： 班级： 学号： 组员： 指导教师：
题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解 一． 设计要求 1． 掌握线性常系数差分方程的求解 2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3． 结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解 二．设计原理 1．差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为 ()(1)()f k f k f k ?=+- （3.1—1） 一阶后向差分定义为 ()()(1)f k f k f k ?=-- （3.1—2） 式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为 ()(1)f k f k ?=?- （3.1—3） 二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。 由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则 1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()() a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ?+=+--+-=--+--=?+? （3.1—4） 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为 2()[()][()(1)]()(1) ()2(1)(2) f k f k f k f k f k f k f k f k f k ?=??=?--=?-?-=--+- （3.1—5） 类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。一般地，n 阶差分
第七讲 分式方程和无理方程的解法
分式方程和无理方程的解法 初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并会验根． 分析：去分母，转化为整式方程． 解：原方程可化为： 142 12(2)(2)2 x x x x x +-=++-- 方程两边各项都乘以2 4x -： 2(2)42(2)4x x x x -+-+=- 即2 364x x -=-， 整理得：2 320x x -+= 解得：1x =或2x =． 检验：把1x =代入2 4x -，不等于0，所以1x =是原方程的解； 把2x =代入24x -，等于0，所以2x =是增根． 所以，原方程的解是1x =． 说明： (1) 去分母解分式方程的步骤： ①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根． (2) 验根的基本方法是代入原方程实行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．所以我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解． 2．用换元法化分式方程为一元二次方程 【例2】解方程 22 23()4011 x x x x --=-- 分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点， 设 2 1x y x =-，即得到一个关于y 的一元二次方程．最后在已知y 的值的情况下，用去分母的方法解方程 2 1 x y x =-． 解：设 2 1 x y x =-，则原方程可化为：2340y y --= 解得4y =或1y =-．
分式方程增根与无解专题说课讲解
分式方程增根与无解 专题
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 分式方程的增根和无解专题讲义 题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一、解分式方程 （每题5分共50分） （1） 223433x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ； （3）30120021200=--x x （4）255522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- (9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、 若方程 x x x --=+-34731有增根,则增根为 .
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 例3．若关于x 的方程 3 13292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少? 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是： （1）将所给方程化为整式方程； （2）由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） （3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。 专练习二： 1.若方程3 323-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2、 使关于x 的方程a x x a x 22 24222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关 3、若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2 4.当m 为何值时,解方程 115122-=-++x m x x 会产生增根? 5、关于x 的方程 x x k x -=+-323 会产生增根，求k 的值。 6、当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
分式方程无理方程和高次方程的解法讲练
第一讲分式方程(组)的解法 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程 解令y=x2＋2x-8，那么原方程为 去分母得 y(y-15x)＋(y+9x)(y-15x)＋y(y＋9x)=0， y2-4xy-45x2=0， (y+5x)(y-9x)=0， 所以y=9x或y=-5x． 由y=9x得x2+2x-8=9x，即x2-7x-8=0，所以x1=-1，x2=8；由y=-5x，得x2+2x-8=-5x，即x2＋7x-8=0，所以x3=-8，x4=1． 经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程 y2-18y+72=0， 所以y1=6或y2=12． x2-2x＋6=0． 此方程无实数根． x2-8x+12=0， 所以x1=2或x2=6． 经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根． 例3 解方程 分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为 整理得 去分母、整理得 x＋9=0，x=-9． 经检验知，x=-9是原方程的根． 例4 解方程 分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为 即 所以 ((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)． 例5 解方程
分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为 整理得 去分母得 x2＋9x-22＝0， 解得x1=2，x2=-11． 经检验知，x1=2，x2=-11是原方程的根． 例6 解方程 次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为 所以 x=0或2x2-3x-2=2x2+5x-3． 例7 解方程 分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为 当x≠0时，解得x=±1． 经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根． 说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验． 例8 解方程 解将原方程变形为 例9 解关于x的方程 将x1=a-2b或x2=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x1=a-2b及x2=b-2a 都是原方程的根．当a=b时，原方程无解． 例10 如果方程 只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根． 分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得 2x2-2x+(a+4)=0．① 原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即 △=4-4·2(a+4)=0． (2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2． (i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2-2x=0，x(x-1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．(ii)当x=2时，代入①式，得 2×4-2×2＋(a+4)=0， 即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x2-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根． 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是