2015年全国中考数学试卷解析分类汇编 专题22 等腰三角形(第三期)

等腰三角形

一、选择题

1．（2015，广西玉林，6，3分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（）

A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC

考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

专题：计算题．

分析：由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．

解答：解：∵DE∥BC，

∴=，∠ADE=∠B，

∵AB=AC，

∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，

∴∠ADE=∠C，

而DE不一定等于BC，

故选D．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．

2．（2015?丹东，第6题3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°

考点：等腰三角形的性质．

分析：先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．

解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ACE=∠A+∠ABC，

即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，

∴2∠1=2∠3+∠A，

∵∠1=∠3+∠D，

∴∠D=∠A=×30°=15°．

故选A．

点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．

二、填空题

1．（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O 分斜边AB为BO：OA=1：，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．

考点：旋转的性质；等腰直角三角形．

专题：计算题．

分析：连接OQ，由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．

解答：解：连接OQ，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠BAC=∠A=45°，

由旋转的性质可知：△AQC≌△BOC，

∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，

∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，

∴∠OQC=45°，

∵BO：OA=1：，

设BO=1，OA=，

∴AQ=，

∴∠AQO=60°，

∴∠AGC=105°．

点评：本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．

2. （2015?梧州,第17题3分）如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′B′C，点A恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′=110°．

考点：旋转的性质．所有

分析：由∠A=70°，AC=BC，可知∠ACB=40°，根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠α=40°，∠BCC′=70°，于是∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．

解答：解：∵∠A=70°，AC=BC，

∴∠BCA=40°，

根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，

∴∠α=180°﹣2×70°=40°，

∵∠∠CBC′=∠α=40°，

∴∠BCC′=70°，

∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°；

故答案为：110°．

点评：本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转前后的图形对应边相等、旋转角相等是解决问题的关键．

3. （2015?河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；

再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=9．

考点：等腰三角形的性质．

分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解答：解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，

则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，

∵∠BOC=9°，

∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，

∴9°n＜90°，

解得n＜10．

故答案为：9．

点评：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

4. （2015?齐齐哈尔,第19题3分）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为2或2﹣或．

考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．

分析：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB=AC，在R t△ABD中，根据锐角三角函数的定义即可得到结果；②如图2，∠A为锐角，AB=AC，在R t△ABD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果，③如图3，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义即可得到结果．解答：解：分三种情况：

①如图1，∠A为钝角，AB=AC，

在R t△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，

∴AD=，AB=2，

∴AC=2，

∴CD=2+，

②如图2，∠A为锐角，AB=AC，

在R t△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，

∴AD=，AB=2，

∴AC=2，

∴CD=2﹣，

③如图3，BA=BC，

∵BD⊥AC，

∴AD=CD，

在R t△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，

∴AD=，

∴CD=，

综上所述；CD的长为：2或2﹣或，

故答案为：2或2﹣或．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，难点在于要分情况讨论．

5. （2015?黑龙江哈尔滨，第20题3分）（2015?哈尔滨）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=，AD=，CD=13，则线段AC的长为4．

考点：勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形．

分析：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作AF⊥BC交BC于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF=4x，则AF=7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF=4，AF=7，设EF=y，则CE=7+y，则DE=6﹣y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE=，AE=，设DG=z，则EG=﹣z，

则（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，依此可得CG=12，在Rt△ADG中，据勾股定理得到AG=8，在Rt△ACG中，据勾股定理得到AC=4．

解答：解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交AE于F，作AG⊥BC交BC于G．

∵∠C+∠BAD=∠DAC，

∴∠CAE=∠ACB，

∴AE=EC，

∵tan∠BAD=，

∴设DF=4x，则AF=7x，

在Rt△ADF中，AD2=DF2+AF2，即（）2=（4x）2+（7x）2，

解得x1=﹣1（不合题意舍去），x2=1，

∴DF=4，AF=7，

设EF=y，则CE=7+y，则DE=6﹣y，

在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即（6﹣y）2=42+y2，

解得y=，

∴DE=6﹣y=，AE=，

∴设DG=z，则EG=﹣z，则

（）2﹣z2=（）2﹣（﹣z）2，

解得z=1，

∴CG=12，

在Rt△ADG中，AG==8，

在Rt△ACG中，AC==4．

故答案为：4．

点评：考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG和CG的长．

6. （2015?青海，第9题2分）如图，点O为所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA 的延长线上，AD=AC，则∠D=28°．

考点：圆周角定理；等腰三角形的性质．

分析：由AD=AC，可得∠ACD=∠ADC，由∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，可得∠BAC的度数，由∠D=∠BAC即可求解．

解答：解：∵AD=AC，

∴∠ACD=∠ADC，

∵∠BAC=∠ACD+∠ADC=2∠D，

∴∠BAC=∠BOC=×112°=56°，

∴∠D=∠BAC=28°．

故答案为：28°．

点评：本题主要考查了圆周角及等腰三角形的性质，解题的关键是找出∠D与∠BOC的关系．

7. （2015?黑龙江省大庆,第14题3分）边长为1的正三角形的内切圆半径为．

考点：三角形的内切圆与内心．

分析：根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．

解答：解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，

则∠OBD=30°，BD=，

∴tan∠BOD==，

∴内切圆半径OD==．

故答案为：．

点评：此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．

8．（2015?湖北十堰，第14题3分）如图，分别以Rt△AB C的直角边AC及斜边AB为边向

外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE 是平行四边形．

考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质．来源:~中%#国@教育出版网

分析：由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，再由一对直角相等，及AE=AB，利用AAS即可得证△ABC≌△EAF；由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一组对边平行且相等，即可得证．[ww^w.%zzste~p*.@com]

解答：解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．

理由：∵=，

∴∠CAB=30°，

∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，

∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，

∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，[w*ww.z@%z~step.c^om]

∴∠FEA=∠BAC，

在△ABC和△EAF中，

，

来@源中&~国%教育出版网

∴△ABC ≌△EAF （AAS ）； ∵∠BAC=30°，∠DAC=60°， ∴∠DAB=90°，即DA ⊥AB ， ∵EF ⊥AB ， ∴AD ∥EF ，

∵△ABC ≌△EAF ， ∴EF=AC=AD ，

∴四边形ADFE 是平行四边形． 故答案为：

．

[www#.~z%zste@p.^com]

点评： 此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键

三、解答题

1． （2015?黄冈,第21题8分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN,过点C 的切线交AB 的延长线于点P. （1）求证：∠BCP=∠BAN;

（2）求证：

BP

CB

MN AM

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）由AC 为⊙O 直径，得到∠NAC+ ∠ACN=90°，由AB=AC ，得到∠BAN= ∠CAN ，

根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN+ ∠PCB=90°，于是得到结论．

（2 ）由等腰三角形的性质得到∠ABC= ∠ACB ，根据圆内接四边形的性质得到 ∠PBC= ∠AMN ，证出△ BPC ∽△MNA ，即可得到结论． 解答：（1）证明：∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+ ∠ACN=90°， ∵AB=AC ，

∴∠BAN= ∠CAN ， ∵PC 是⊙O 的切线，

∴∠ACN+ ∠PCB=90°， ∴∠BCP= ∠CAN ， ∴∠BCP= ∠BAN ； （2 ）∵AB=AC ， ∴∠ABC= ∠ACB ，

∵∠PBC+ ∠ABC= ∠AMN+ ∠ACN=180°， ∴∠PBC= ∠AMN ，

由（1）知∠BCP= ∠BAN ， ∴△BPC ∽△MNA ，

∴

BP

CB

MN AM ．

点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，

圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理． 2. （2015?内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015?呼伦贝尔）如图，已知直线l 与⊙O 相离．OA ⊥l 于点A ，交⊙O 于点P ，OA=5，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ．

（1）求证：AB=AC ；

（2）若PC=2，求⊙O 的半径．

考点： 切线的性质．

分析： （1）连接OB ，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC ，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）延长AP 交⊙O 于D ，连接BD ，设圆半径为r ，则OP=OB=r ，PA=5﹣r ，根据AB=AC 推

出52﹣r 2

=（2

）2﹣（5﹣r ）2

，求出r ，证△DPB ∽△CPA ，得出

=，代入求出即可．

解答： 证明：（1）如图1，连接OB ．

∵AB 切⊙O 于B ，OA ⊥AC ，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，

则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，

AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，

∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直径，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴=，

∴=，

解得：PB=．

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．