三角函数定义

莘县一中课时教案

2015 年 3 月9 日第 2 周

课题三角函数的定义课型新授

教学目标

知识与技能目标:借助终边坐标理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值。

方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。

情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。

重点任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

难点引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。

教学过程（一）复习引入

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt ABC

?中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，

锐角A的正弦、余弦、正切

依次为：,,

a b a

sinA cosA tanA

c c b

===

锐角三角函数就是以锐角为自变量，

以比值为函数值的函数

（二）新课讲授

思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? （见课件）

如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边第一象限.在α的终边上任取一点(,)

P a b,它与原点的距离

αM O P(a,b)Y

x 1αA(1,0)M

O P(a,b)Y

x α

A(1,0)O P(x,y)

Y x

教学过程 220r a b =+>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .

则sin MP b OP r

α==; cos OM a OP r α==; tan MP b OM a

α==. 思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? （见课件）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 在α的终边上的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a α==. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为

圆

心,以单位长度为半径的圆称为单位圆. 上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.

1.任意角的三角函数的定义（见课件）

结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.

如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:

(1)y 叫做α的正弦(sine),记做

sin α, 即 sin y α=；

教学过程

（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,

即cos x

α=；

（3）

叫做α的正切(tangent),记做tanα,

即tan(0)

α=≠.

正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.

思考3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么?

说明:(1)当()

k k Z

απ

=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tan

α=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三各值都是唯一确定的实数.

(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)

P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值

例1.（见课件）求

的正弦,余弦和正切值.

解：在直角坐标系中，作

AOB

∠=, AOB

∠的终边与单位圆的交点坐标为

(,)

-，所以

53515

sin,cos,tan3

32323

πππ

=-==-

思考：如果将

变为

呢？

例2．（见课件）已知角α的终边过点

(3,4)

P--，求角α的正弦,余弦和正切值.

思考：一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则sin,cos,tan

y x y

a a a

r r x

===，你能自己给出证明吗？

思考：如果将题目中的坐标改为（-12，5）与（-3a，-4a）,题目又应该怎么做？（学生思考）

教学过程变式训练（一）判断下列各式的符号

1. 00

sin340cos265

sin4tan()

（三）归纳小结：

1.任意角的三角函数的定义

作业：跟踪检测（三）

（五）板书设计

1.2.1任意角的三角函数3．三角函数的定义域和函数

一复习引入例3：

二新课讲授三.课堂练习

1.任意角的三角函数的定义四. 课堂小结

2.利用定义求角的三角函数值五. 布置作业

例1：

例2：

课后记

锐角三角函数的定义

锐角三角函数的定义锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tan=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系：平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos cos=cotsin

初中数学锐角三角函数定义大全

初中数学：锐角三角函数定义大全锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1

sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα

sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα

三角函数基本概念

三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数正弦余弦正切各象限符号 Ⅰ 正正正 Ⅱ 正负负 Ⅲ 负负正 Ⅳ 负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

锐角三角函数的认识

星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级9年级学科数学授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题锐角三角函数的认识教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义； 2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值； 3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4. 运用三角函数的关系化简或求值。教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比. 2.添加辅助线解直角三角形课后作业详见教案提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：

（注意咯，下面可是黄金部分！）知识点1 正切定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tan A ，即的邻边的对边 A A A ∠∠=tan . ①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”； ④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大．【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90o,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB. 【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90o,BC=3,tanA=12 5 ，求AC. ★坡度（或坡比）定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α= l h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数. 锐角三角函数的认识典例

(完整版)三角函数定义练习题

三角函数的定义练习题一、选择题 1．已知a 是第二象限角,5 sin ,cos 13 a a ==则（） A ．1213 B ．513 - C ．513 D ．-1213 2．已知角的终边上一点（），且，则的值是( ) A. B. C. D. 3．已知点P(sin ，cos )落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π),则θ值为( ) A. B. C. D. 4．把表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A. B. C. D. 5．若α是第四象限角，则π－α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 6．cos （）－sin( )的值是( )． A. B ．－ C ．0 D. 7．4tan 3cos 2sin 的值（） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 8．已知3α=-，则角α的终边所在的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（） A ． 15 B ．15- C ．2 5 - D ．25 10．若0sin <α，且0tan >α，则α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 11．若cos α=-,且角α的终边经过点P(x,2),则P 点的横坐标x 是( ) (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)-2 12．若α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α= (A)15. (B)15-. (C)513. (D)513 -.

锐角三角函数教案

第一章直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2）一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考：（1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是；（2）的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ；（3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ；思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2

理解锐角三角函数的定义

理解锐角三角函数的定义 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．， (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若则锐角．，

三角函数的定义

高三第一轮复习材料2009-10-20 三角函数的概念一、基本知识 1. 角的概念的推广（1）终边相同的角；（2）象限角；（3）象限界角 2.弧度制（1）1弧度的角的定义；（2）弧度与角度的互换；（3）弧长公式与扇形的面积公式 3．任意角的三角函数（1）定义：（建系、取点、定比）（2）三角函数在各象限内的符号（3 （4）填表 4．用单位圆中的三角函数线来表示三角函数值二、典型例题例1 （1）若角α的终边和函数x y -=的图像重合，试写出角α的集合；（2）已知角α是第Ⅰ象限角，试确定2 α 所在象限. 感悟：

例2已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . （1）若cm R 10,60==ο α，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. （2）若扇形的周长是一定值)0(>C C ，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积. 例3已知角α终边经过点)0(),2,(≠-x x P 且x 6 3 cos =α，求ααcot sin +的值. 例4解答下列问题（1）若∈θⅣ,试判断)sin(cos θ、)cos(sin θ的符号. （2）若0)cot(sin )tan(cos >?θθ，试指出θ所在象限，并用图形表示出 2 θ 所取值的范围. 例5 已知)2 , 0(π α∈，求证：αααtan sin <<.（提示：用三角函数线证明）例6写出满足下列条件的角α的范围（1）0cos sin >-αα；（2）ααcos sin >；

（3）0cos sin >+αα；（4）0cos sin <+αα. 三、课堂练习 1．钟表的分针和时针在3点到5点40分这段时间里，分针转过了_______弧度的角，时针转过了_______弧度的角. 2．已知α是锐角，那么α2是（） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 小于ο180的正角 .D 不大于直角的正角 3．（05全国）已知α是第三象限角，则2 α 是（） .A 第一象限或第二象限 .B 第一或第三象限 .C 第二或第三象限 .D 第二或第四象限 4． 2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对的扇形面积的数值是（） . A 1 sin 1 . B 1 sin 1 2 . C 2 cos 11 - .D 1tan 5．下列命题中正确的是（） .A 若两扇形面积的比是1：4，则它们弧长的比是1：2 .B 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 .C 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 .D 任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系 6．点P 从)0,1(出发，沿单位圆12 2 =+y x 逆时针方向运动 3 2π 弧长达到Q 点，则Q 的坐标为（） .A )2 3,21(- .B )21,23(-- .C )2 3 ,21(-- .D )2 1 ,23(- 7．（07北京）已知 cos tan 0θθ?<，则角θ是______ .A 第一象限或第二象限 .B 第一或第四象限 .C 第二或第三象限 .D 第三或第四象限 8．函数x x x x x x x x x f cot cot tan tan cos cos sin sin )(+++=的值域是（） .A }4,2{- .B }2,0,2,4{- .C }4,0,2{- .D }4,0,2,4{-- 四、规范训练 1.已知扇形的面积为2 25cm .求该扇形周长的最小值.

8.锐角三角函数的定义

8.锐角三角函数的定义 (20070911190543578657)第1题. （2007甘肃陇南非课改，3分）如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α= ( ) A ． 35 B ． 4 5 C ． 34 D ． 43 答案：B (20070911190544421885)第2题. （2007福建厦门课改，4分）已知在Rt ABC △中，90C ∠= ，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是． (2007091119054531242)第3题. （2007甘肃兰州课改，4分）把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（）Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定答案：Ａ (20070911190546140878)第4题. （2007甘肃兰州课改，4分）下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（）Ａ．y = Ｂ．y = Ｃ．y = Ｄ．y = 答案：Ｃ (20070911190546843991)第5题. （2007广西河池课改，2分）已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin A = ．答案：5 3 (20070911190547625356)第6题. （2007海南课改，2分）在Rt ABC △中， 90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么B sin 的值是（） A ． 2 1 B ．23 C ．33 D ．3 答案：B (20070911190548859809)第7题. （2007山西太原课改，3分）在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为（） α

三角函数的定义教案

教学设计课题：《任意角的三角函数》教学目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别； 3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关； 4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域； 5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。教学重点： 1. 任意角的三角函数的定义； 2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法： 1. 情境教学法； 2. 问题驱动教学法。教学过程：一、复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。初中阶段我们学习了锐角的三角函数。【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答）二、新授知识【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。α的各三角函数值与所构造的三角形的大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。） A C B α sin B C AB α=cos AC AB α=tan BC AC α=α

【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！【问题2】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答）将角的顶点放在原点，始边与x轴正半轴重合。角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。出示PPT。我们在角的终边上任取除顶点以外的一点P，则P有一确定的坐标，（x,y），P点到原点的距离也是确定的， >0。在有意义的前提下这样我们可以得到三组比值：y r ，x r ，y x 。由相似三角形可以得到这些比值和取的点的位置无关，比值只和终边的位置有关！定义：y r 为α的正弦，sinα=y r ; x r 为α的余弦，cosα=x r ; y x 为α的正切，tanα=y x 。取以上各比值的倒数，又可相应得到α的另外三个三角函数，即： cscα=1 sinα=r y , secα=1 cosα =r x , cotα=1 tanα =x y 课本上没有这三个，作为高中生这也是必须了解的，同学们把它写在书上！这就是任意三角函数的定义，这种定义的方法称为坐标法，希望同学你们记牢固！【情境四】根据任意角的三角函数的定义，已知角终边上一点

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆新课讲解：任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r == >，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。（Ⅳ）（Ⅲ）

锐角三角函数定义

一锐角三角函数定义（2011.1.24）学习要求：理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．一、填空题 1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而 AC B A B C C B ) ()(= '=''，又可得 ① ='' 'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个___值； ②='' B A C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③=' ' 'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个_____．第1题图第2题图 2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______； ②斜边 ) (cos =A ＝______，斜边) ( cos = B ＝______； ③的邻边 A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠=＝______． 3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以 sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 7．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．

三角函数基本概念和表示

第三章三角函数第一节三角函数及概念复习要求： 1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。知识点： 1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。（1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O

（3）第三象限角的集合：。（4）第四象限角的集合： 4.轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变，与r 无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量（1）角的度量制有：角度制，弧度制（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。

理解锐角三角函数概念应注意的问题

茨竹学校陈兴超在09年12月25日三、四片区数学教研会上，有老师曾提出一个问题：书写三角函数时，有时加角的符号，有时没有加角的符号，那么该怎样判定加与不加呢？笔者带着这个问题，查阅了有关资料，结合教学实践，作了一些探究。现就理解锐角三角函数概念应注意的问题作如下例举，供同行们参考. 1、初中阶段的所说的锐角三角函数是锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数的统称. 2、锐角三角函数表示的是两个正数的比值，因而，锐角三角函数没有单位. 3、理清锐角三角函数中的自变量与因变量对于上述四种函数来说，以∠A为例，自变量都是锐角A，因变量就是锐角A的四种三角函数。这说明，当锐角A的大小不变时，锐角A的正弦值、余弦值、正切值、余切值也将保持不变. 4、锐角三角函数中自变量的取值范围锐角三角函数的自变量是锐角，所以，自变量∠A的范围就是0°＜∠A＜90°. 5、理解锐角三角函数的整体性 sinA是∠A的正弦函数，cosA是∠A的余弦函数，tanA是∠A的正切函数，cotA是∠A的余切函数，其中，sin A、cos A、tan A、cotA分别是四个不同的整体，不能错误地认为是sin、cos、tan、cot分别与A的乘积，否则，就没有意义了. 6、在书写锐角三角函数时，要因角的不同表示方法而采用不同的书写方式，不能随意改变。具体要求如下：

（1）用顶点字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。例如∠B的锐角三角函数，可以分别记作： sin B、cos B、tan B、cot B. （2）用希腊字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，可以省略角的符号“∠”。例如∠β的锐角三角函数，可以分别记作： sinβ、cosβ、tanβ、cotβ. （3）用三个英文字母法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。例如∠ABC的锐角三角函数，可以分别记作： sin∠ ABC、cos∠ ABC、tan∠ ABC、cot∠ ABC. （4）用数字法表示锐角，在书写锐角三角函数时，不可以省略角的符号“∠”。例如∠1的锐角三角函数，可以分别记作： sin∠ 1、cos∠

锐角三角函数—知识讲解

锐角三角函数—知识讲解责编：康红梅【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 C a b

，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成 “tanAEF”；另外，、

锐角三角函数的概念

锐角三角函数的概念教学目标： 1、理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法； 2、能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值； 3、掌握直角三角形中的锐角三角函数的表示： sinA= 斜边的对边 A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，tanA=的邻边的对边A A ∠∠，cotA=的对边的邻边A A ∠∠ 4、掌握锐角三角函数的取值范围； 5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法．教学重点：锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值．教学难点：锐角三角函数概念的形成．教学过程：一、创设情境：鞋跟多高合适？美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋．但专家认为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳．据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适．假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳．问：你知道专家是怎样计算的吗？显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题．二、探索新知： 1、下面我们一起来探索一下．实践一：作一个30°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C ．量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）． A C B

⑴计算 AB BC ，AB AC ，AC BC ，BC AC 的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较． ∠A=30°时 AB BC AB AC AC BC BC AC 学生1结果学生2结果学生3结果学生4结果 ⑵将你所取的AB 的值和你的同伴比较．实践二：作一个50°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C ．量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）．（1）计算 AB BC ，AB AC ，AC BC ，BC AC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较． ∠A=50°时 AB BC AB AC AC BC BC AC 学生1结果学生2结果学生3结果学生4结果（2）将你所取的AB 的值和你的同伴比较． 2、经过实践一和二进行猜测猜测一：当∠A 不变时，四个比值与B 在AM 边上的位置有无关系？猜测二：当∠A 的大小改变时，相应的四个比值会改变吗？ 3、理论推理观察图中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________，所以 1 1 1AC C B ＝_________＝____________． 4、归纳总结得到新知：（1）在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的．

(完整版)三角函数定义练习题集

三角函数的定义练习题一、选择题 1．已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13 a a = =则（） A ．1213 B ．513- C ．513 D ．-1213 2．已知角的终边上一点（），且，则的值是( ) A. B. C. D. 3．已知点P(sin ，cos )落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π),则θ值为( ) A. B. C. D. 4．把表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A. B. C. D. 5．若α是第四象限角，则π－α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 6．cos （）－sin()的值是( )． A. B ．－ C ．0 D. 7．4tan 3cos 2sin 的值（） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 8．已知3α=-，则角α的终边所在的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．设角θ的终边经过点(3,4)P -，那么sin 2cos θθ+=（） A ．15 B ．1 5- C ．2 5- D ．2 5 10．若0sin <α，且0tan >α，则α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角

11．若cos α=- ,且角α的终边经过点P(x,2),则P 点的横坐标x 是( ) (A)2 (B)±2 (C)-2 (D)-2 12．若α是第四象限角，5tan 12 α=- ，则sin α= (A)15. (B)15-. (C)513. (D)513-. 二、填空题 13．若点(),27a 在函数3x y =的图象上，则tan a π 的值为 . 14．已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P 22sin ,cos 33ππ? ? ??? ，则α＝__________． 15．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒尖位置P （x ，y ），其初始位置为P 0（1，3），当秒针从P 0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为． 16．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限．三、解答题 17．已知任意角α的终边经过点(3,)P m -,且,5 3cos -=α (1)求m 的值．(2)求sin α与tan α的值． 18．如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；第13题

锐角三角函数的知识点

锐角三角函数的知识点一、选择题 1．如图，ABC ?是一张顶角是120?的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ?折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可．【详解】解：作AH ⊥BC 于H ， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ， BH=12 BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ， ∴∠B=30°， ∴AB=30BH cos ? 3 由翻折变换的性质可知，3 ∴DE=BD ?tan30°=1，故选：A ．【点睛】此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（）

A ．39 B ．3 C ．33 D ．32 【答案】A 【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC tan ABC BE ∠= 得出答案．【详解】解:连接DC ，交AB 于点E ．由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF=x 3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3tan ABC BE 23x 3x 33= ===+∠, 故选:A 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A ，B 在同一水平面上）．为了测量A ，B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地起飞，垂直上升1000米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（）

初中锐角三角函数教案

锐角三角函数中考主要考查点： 1．锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2．解直角三角形；解直角三角形的应用； 3．直角三角形的边角关系的应用知识点1. 直角三角形中边与角的关系中，∠C=90° （1）边的关系：（2）角的关系：（3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a 知识点2. 特殊角的三角函数值特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下：斜边的对边 A ∠斜边的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠

知识点3. 三角函数的增减性已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而增大，tanA 随着角度的增大而增大， cosA 随着角度的增大而减小。例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（）（A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1c o t t a n =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin 1tan tan =?B A 知识点5. 直角三角形的解法直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B

高中三角函数定义

三角函数定义把角度θ作为自变量〃在直角坐标系里画个半径为1的圆（单位圆）〃然后角的一边与X轴重合〃顶点放在圆心〃另一边作为一个射线〃肯定与单位圆相交于一点。这点的坐标为(x,y)。 sin(θ)=y; cos(θ)=x; tan(θ)=y/x; 三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan2 A) Sin2A=2SinA?Co sA Cos2A = Cos^2 A--Sin2 A =2Cos2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3; cos3A = 4(cosA)3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ? tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积 sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差