珠算开N次方的快捷方法
珠算累减开N 次方的快捷方法
陈林
摘要在使用珠算开N 次方的累减通用公式过程中，虽然我们使用分节布数的方法简化了运算，但是在计算中，计算量还是相当大的，假如我们所求的首根、第一次跟、第二次根等都接近9，则我们就要进行9次复杂的累减数的运算，这是让我们极其头痛的问题，为此，在珠算累减开N 次方的基础上，我们提出了一个加速累减开方的通式，大大缩小了我们在珠算开方过程中的运算量，同时避免了在一步步累减过程中计算出错的可能性。
关键词：简化加速累减开方
一、加速累减公式的推导 我们将定理()()1
1,N+n
a
a
a
i n i i n a =??=
--∈??
∑
展开可以得到
()()()()()11102132...1n
a a
a
a a a a a a a a i n i i n n =????
=--=-+-+-++--????∑
()()0112233....11a a
a a a a a a a
n n n =-+-+-+-++---+
0a n =-
即
0a a n n =-
为了符合我们的习惯，我们将上式写为：
()01n M a =-
（1）式就是我们求首根时的加速累减公式，式中的减0我们不能省略，因为它在我们提出求次根的加速累减公式时具有特殊意义。
当我们在求首根时，用公式（1）进行，即找一个a 的值（a=1,2,3,...,9），使a n 的值它与被开方数的首节最接近，则a 的值就是我们所求的首根
对于被累减数（这里说的被累减数为分节后每一节的被累减数，包括上一节被累减数的最终余数），由推导公式（1）我们提出珠算开N 次方求次根时的加速累减公式，即
()()()10102n n
N a b a =?+-?
对于b 值的选取，我们的原则是使这个N 值与被累减数的值最接近，则这时的b 值就是我们所求的这一分节数的根，这样我们就大大简化了累减开N 次方过程中的运算。当然，我们在进行累减开N 次方时，遇到的不只一个次根，但是其求根公式与公式（2）相同，只
是a 的取值不同，假设一个被开方数有m 个根，即a 1,a 2,a 3,...a m ，则被开方数开方后的结果表示如下：
1
2
3
12311
10
10
10
...1010(3)
m
m m m m i n m m i i A a a a a a a -----==?+?+?++?+=?∑
于是当我们求第i 位次根时，a 的取值为：
()1
1
101,2,3,...,(4)i m j j j a a i m --==?=∑
于是，我们就可以将每一分节的根分别求出来了。
二、珠算快速累减开N 次方实例 1.珠算开平方
例1?=
解：我们使用分节布数进行开方如下：
首根 次根 累减数 被开方数分节布数 0 0 1225 3 ①9 -9
3 25 5 ②325 -3 25 0 3 5
最终得到结果：
35=。
注：①由公式（1）得9=32=92-02；
②由公式（2）和（4）得325=(3×10+5)2-(3×10)2。 2.珠算开平方
例2?=
解：我们进行分节布数开方如下： 首根 第一次根 第二次根 累减数 被开方数分节布数 0 0 0 13 144256 2 ①8 -8
5 144 3 ②4167 -4 167 977 25
6 6 ③977256 -97
7 256 2 3 6
最终得到结果：
236=。
注：①由公式（1）得8=23-03；
②由公式（2）和（4）得4167=(2×10+3)3-203；
③由公式（2）和（4）得120601=(23×10+6)-(23×10)3。
3.珠算开五次方
例3?
=
解：我们进行分节布数开方如下：
首根次根累减数被开方数分节布数
0 0 902 24199
3 ①243 -243
659 24199
9 ②
65924199
-659 24199
3 9
最终得到结果：
39
=。
注：①由公式（1）得243=35-05；
②由公式（2）和（4）得65924199=(3×10+9)5-(3×10)5。
4.珠算开七次方
例4=？
解：我们进行分节布数开方如下：
首根第一次根第二次根累减数被开方数分节布数
0 0 0 4 7683715 8203125
1 ①1 -1
3 7683715
2 ②25831808 -2 5831808
1 1851907 8203125
5 ③
118519078203125
-1 1851907 8203125
1 2 5
最终得到结果：
125
=。
注：①由公式（1）得1=17-07；
②由公式（2）和（4）得25831808=(1×10+2)7-(1×10)7；
③由公式（2）和（4）得118519078203125=(12×10+5)7-(12×10)7。
5.珠算开方小结
从上边的例子我们可以看到，相对于一步步累减求根[1]，我们的加速累减公式要快很多，同时也简单很多，并且在计算过程中可能发生的错误大大减少；和文献[1]提到的累减一样，
本文提到的加速累减公式同样可以应用于开高次方以及被开方数含有小数的开方，由于操作方法相同，在这里就不一一举例了。
需要注意的是，对于公式()()1010n
n
N a b a =?+-?，在计算中我们进行b 值的估值时，不一定一次就得到N 的最大值，如果b 值取得较大，很显然N 值很可能大于被累减数，b 值取得较小（我们设为b 1），则一次不能累减到位，但是这不意味着我们的b 1值无用了，我们只须将b=b 1时N 的值从累减数中减去后，从新取一个b=b 2（当然b 2>b 1），此时我们的累减数计算公式为：
()()()
211010+5n n
N a b a b =?+-?
如果b 2还是较小，不是最大的b 值，则我们就取b 3(b 3>b 2)，如此继续下去，直至得到最大的b 值，则这个最大的b 值就是我们所求的次根；下面，我们举个例子进行验证：
例5?=
解：对于本题，我们不采用参考文献[2]提到的幂次关系进行开方，而是使用公式（1）、公式（2）和公式（5）进行一次性开方，下面对此题布数开方如下：
首根 次根 累减数 被开方数分节布数 0 0 9474296896 4 ①4096 -4096 5378 296896 3 ②2225363049 -2225 363049 3152 933847 4(4>3) ③934950807 -934 950807 2217 983040 6(6>4) ④2217983040 -2217 983040 0 4 6
最终得到结果：
46=。
注：①由公式（1）得4096=46-06；
②由公式（2）得22253363049=(4×10+3)6-(4×10)2； ③由公式（5）得934950807=(4×10+4)2-(4×10+3)2； ④由公式（5）得2217983040=(4×10+6)2-(4×10+4)2。
三、结论
1.本文提出了珠算开N 次方过程中加速累减的公式，即求首根时0n
M a =-，求次根时
()()1010n n
N a b a =?+-?；
2.当被开方数有两个或两个以上的次根时公式()()1010n
n
N a b a =?+-?中a 的取值为()1
1
101,2,3,...,i m j j
j a a
i m --==
?=∑；
3.对于公式()()1010n n
N a b a =?+-?中的b 的估值问题，提出了解决此问题的公式，即()()211010+n
n
N a b a b =?+-?从而得到最终所求的b 值；
4.使用本文提到的加速开方方法，不仅大大减少了累减过程中的累减次数，而且减少了累减过程中进行计算时发生错误的可能性。
参考文献
[1]陈林.珠算开N次方的通用方法.珠算.2002(5)：26
[2].苑玉敏.珠算开平方与开高次方.珠算.1998：6-9
求一个数的n次方根
数值计算 探讨求解的几种方法
摘要 很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为 ()0 m f x x n =-=方程的解*x 称为方程的根或函数()f x 的零点。对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的n 次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。 一、算法设计 计算机配置内存：2G 处理器主频：2.53GHz MATLAB 版本：R2011b 1.1二分法 设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b ?<，则[,]a b 内有方程的根。取[,]a b 的中点01 ()2 x a b = +，将区间一分为二。若0()0f x =，则0x 就是方程的根，否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧。 若0()()0f a f x ?<，则*0(,)x a x ∈，令110,a a b x ==；若0()()0f a f x ?>，则*0(,)x x b ∈，令101,a x b b ==。 不论出现那种情况，11(,)a b 均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。 对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套 11[,][,][,]n n a b a b a b ???? 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[,]n n a b 的长度为 1 ()2n n n b a b a -= -若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。当n →∞
笔算开n次方的方法
笔算开n次方 笔算开n次方的方法： 1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开； 2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a； 3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数； 4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）； 5、设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。 6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。 例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。 3 9 7 1. 1 9 2 9 5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000 243 ________________________________________________ 744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5 _____________________________________________ 85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商 83 92970 61757................................397^5-390^5 ____________________________________________ 1 4826 2 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商 1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5 ___________________________________________ 23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商 12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5 _________________________________________ 11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商 11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5 _________________________________________ 372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2
最新自然数幂次方和公式
1 2 自然数幂次方和的另一组公式 3 摘要：一般的自然数幂次方和公式是用n 的p+1次方的多项式表示，考虑到任 4 一多项式均可用k n C 表示，本文给出了自然数幂次方和用k n C 表示的方法，并且给 5 出了相应的系数完整表达式。这比多项式表达方便得多，因为多项式表达的系数 6 至今仍是递推公式表达。 7 8 9 由笔者的文章（注【1】）知，自然数幂次方和可以用关于n 的多项式表达，而 10 每一个多项式均可用k n C 表示的，因此可猜想自然数幂次方和也可以用k n C 表达出 11 来。 12 假设自然数幂次方和可以写成以下形式 13 ∑∑=++===p k k n k n k p n C A k S 1 111 。。。。。。（1） 14 那么同理可应有： 15 ∑∑=++--=-==p k k n k n k p n C A k S 1 11)1(1 1 1 16 那么： 17 ∑∑=+=++--=-=p k k n k p k k n k n n p C A C A S S n 1 1 1 11 1 18
[ ]∑∑==+++=-=p k k n k p k k n k n k p C A C C A n 1 1 111 19 20 ∑== p k k n k p C A n 1 21 因为对于充分大的自然数n 均使得上述式子成立，所以上式对应的应该是一个22 关于n 的p 次多项式，其中： 23 )1).....(1(k n n n C k n -+-= 24 这仅仅是一个多项式的写法，与排列组合无关, n 可为任意的数。 25 分别令n=1,2,3， 。。。。p-1时就有： 26 01 1 1 1 +=+ ==∑∑∑∑=+===t k k t k p t k k t k t k k t k p k k t k p C A C A C A C A t 27 ∑==t k k t k p C A t 1 )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 28 （2) 29 ∑-=-=1 1t k k t k p t C A t A )1...3,2,1(-=p t 。。。。。。。。 30 （3） 31 这是一个递推的数列，其中A 1=1 ， 很显然，通过它可以求出所有的系数t A ，32 仿照笔者的文章（注【1】）可证明，由（3）式求出的系数t A ，使得公式（1）33 成立，即自然数幂次方和的公式由（1）（3）给出了。 34 其中（3）式是递推公式，那么能不能直接写出系数A t 的表达式呢，下35 面给出这个结论。 36
1到10的n次方表格
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2.茉莉花 3.màodié八九十岁的意思。 4.齐白石的蛙声十里出山泉 网络信息检索4-51.搜索引擎最早是yayoo，后来发展壮大，搜索引擎的工作方式和在图书馆里面进行图书查找的工作差不多 2.如果可以直接下载，那么右键菜单选择目标另存为，如果不行那么可以选中链接之后采用下载软件下载。 3.例如：优化查找的速度、扩大资料的范围等。 信息的评价5-1abaaaa 信息的评价5-2acdcab 信息的评价5-3baccd 信息的评价5-4abacd(ac多选） 信息的评价5-5cdbc(acd多选） 信息的编程加工6-1daddc 信息的编程加工6-2adcca 信息的编程加工6-3cbccc 信息的编程加工6-4cdb 信息的编程加工6-5c,s=a*a，Fbaced 信息的智能化加工7-1caccb 信息的智能化加工7-2cbcdc 信息的智能化加工7-3adcbc
两数N次方差的一般计算公式
两数N次方差的一般计算公式 在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。 推导过程： 一、由二次方看 首先，我们知道两个数的二次方的计算方法 已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。 解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是： 5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9 几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加 4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7 几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加 所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下： (A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1) 对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到 (A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2 =[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2 几何上理解为：
长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。 同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为： P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q) 二、再看三次方的情况 我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法： 已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。 设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图： (A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1) A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1) 几何上的理解是： 长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。 对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为： P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q) 三、推广到四次方 同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：
最美的十个公式和十个数形结合
英国科学期刊《物理世界》曾让读者投票评选了“最伟大的公式”，最终榜上有名的十个公式既有无人不知的1＋1＝2，又有著名的E＝mc^2；既有简单的圆周公式，又有复杂的欧拉公式…… No.10 圆的周长公式（The Length of the Circumference of a Circle） 目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度。还是挺无聊的。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位就已经足够了。如果用35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。现在的人计算圆周率，多数是为了验证计算机的计算能力，还有就是为了兴趣。 No.9 傅立叶变换（The Fourier Transform） 这个挺专业的，一般人完全不明白。不多作解释。简要地说，没有这个式子就没有今天的电子计算机，所以，你能在这里上网除了感谢党和政府外还要感谢这个完全看不懂的式子。傅立叶虽然姓傅，但他是法国人。 No.8 德布罗意方程组（The de Broglie Relations） 这个东西也挺牛B的，高中物理学到光学的活很多概念跟它是远亲。简要地说，德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有“波长”。于是搞啊搞，就有了这个物质波方程（属于量子物理的范畴），它表达了波长、能量…等之间的关系。同时他也获得了1929年的诺贝尔物理学奖。 No.7 哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture） 1＋1＝2 这个公式不需要名称，不需要翻译，更不需要解释。
No.6 薛定谔方程（The Schr?dinger Equation） 也是一般人完全不明白的。因此我摘录官方的评价：“薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式”。由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。另外，薛定谔虽然姓薛，但他是奥地利人。 No.5 质能方程（Mass–energy Equivalence） 好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义。在物理学的“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出。同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论。这个公式告诉我们：能量和质量是可以互换的。副产品：原子弹。 No.4 勾股定理／毕达哥拉斯定理（Pythagorean Theorem） No.3 牛顿第二定律（Newton's Second Law of Motion） 有史以来最伟大的有其没有之一的科学家在有史以来最伟大的科学巨作《自然哲学的数学原理》当中的被认为是经典物理学中最伟大的核心定律。动力学的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。对于学过高中物理的人，没什么好多讲了。 No.2 欧拉公式（Euler's Identity） 这个公式是上帝写的么？到了最后几名，创造者个个都是神人。欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药…等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。 欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及注意力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。
幂的运算
幂的运算 第一部分:知识归纳，要点总结 （什么是——幂？） n a 1、 同底数幂的乘法（重点） 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式表示：m n m n a a a += （m 、n 都是正整数）。 推导过程：()()m n m n a a a a a a a a a +== 。 关键：找准底数。 注意：①底数必须相同；②相乘时，底数没有变化；③指数相加的和作为最终结果幂的指数。 例：计算351010?= ，3m m ?= ，()()32 b b --= ，21n n b b += 。 推广及逆用（难点） 同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上同底数幂的情况，即：m n p m n p a a a a ++= （m 、n 、p 都为正整数）， m n p m n p a a a a +++= （m 、n ，…，p 都为正整数）。 反之，m n m n a a a += （m 、n 为正整数）亦成立。 2、 幂的乘方与积的乘方 ⑴幂的乘方 意义：指几个相同的幂相乘。如：()n m a 是n 个m a 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方。 推导过程：。 法则（重点）：()n m mn a a =（m 、n 都是正整数）。 ⑵积的乘方 意义：是指底数是乘积形式的乘方。如：()3ab ，()n ab 。 推导过程：()()()()()()n n n ab ab ab ab a a a b b b a b === 。
法则（重点）：()n n n ab a b =（n 为正整数）。 3、 同底数幂的除法 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式表示：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 为正整数，且m>n ）。 例：62x x ÷= ，()5 3a a -÷= ，41n n a a ++÷= ，()()3211a a +÷+= 。 零指数幂与负整数指数幂的意义（重、难点） （1）零指数幂 ()010a a =≠， 即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 （2）负整数指数幂 1p p a a -=（0a ≠，p 是正整数） 即任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数。 第二部分:考点精析，方法指导 【典型例题1】已知23x =，求32 x +的值。 【典型例题2】计算3534x x x x x += 【典型例题3】若236m m x x x -= ，求2112m m -+的值。 【典型例题4】若2m =-，求()()3 24m m m --- 的值。
方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式
方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式 1.根式运算法则： (1) ， ， ； (2) ， ， (m a =≥0) a =≥0,P ≠0) (5) , 0),,a m n N =≥∈其中 2.指数运算法则： ， ， ， ， ， ， （7）1 (0)m m a a a -=≠， （8）1 n a = （9）m n a =（10） d b d b a c a c =?= 3.对数运算法则： i 性质：若a ＞0且a≠1，则 ， ， （3）零与负数没有对数， （4）log log 1a b b a ?= ⑥, （7）log log log 1a b c b c a ??= ii 运算法则： 若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则 ， ，
， log log (,01)m n a a n b b a b m =>≠且 （4） , log log n n a a m m =， 1log log n a a m m n = （5）换底公式 ， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0, （6）倒数公式 1 log ,0,1log a b b a a a = >≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10x N x N =?= （8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =?= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n →∞ =+≈ 4.指数与对数式的恒等变形： ； 。 5、指数方程和对数方程解题： ()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =?==?=定义法） ()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =?==?=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =?=（取对数法） ()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =?=（换底法） 6、理解对数 ①两种log a b 理解方法 1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。 2、表示a 的多少次方等于b 。 ② log log (...)n a a m M M M =??? n 个 log log ...log a a a M M M =+++ n 个 log a n M =
n次方和及n次方差公式
n 次方和及n 次方差公式 （1）n 次方差公式： 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++ ++，n N *∈ （2）n 次方和公式： 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-++ -+，n N *∈，n 为奇数 注意：n 为偶数时，没有n 次方和公式 实际上， 12322211,()((1)(1)),n n n n n n n n n n n a b n a b a a b a b ab b a b n -------?+?+-++--+-=?-??为奇为偶 即n 为偶数时，立方和公式有两个： 123221123221()()()()n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b -----------=-+++ ++=+-+++- 常用公式： 1.平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 2.立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ 立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3.四次方差公式：4432233223()() ()() a b a b a a b ab b a b a a b ab b -=-+++=+-+- 4.1231(1)(1)n n n n x x x x x x ----=-+++++，n N *∈ 1231(1)(1)n n n n x x x x x x ---+=+-+++-，n N *∈，n 为奇数
可靠性计算公式大全
常运行的概率，用R(t)表示． 所谓失效率是指单位时间内失效的元件数与元件总数的比例，以λ表示，当λ为常数时，可靠性与 失效率的关系为： Ｒ（λ）=e-λu(λu为次方） 两次故障之间系统能够正常工作的时间的平均值称为平均为故障时间(MTBF) 如：同一型号的1000台计算机，在规定的条件下工作1000小时，其中有10台出现故障 ，计算机失效率：λ=10/(1000*1000)=1*10-5(5为次方） 千小时的可靠性：R(t)=e-λt=e(-10-5*10^3(3次方）＝0.99 平均故障间隔时间MTBF=1/λ=1/10-5=10-5小时． 1）表决系统可靠性 表决系统可靠性：表决系统是组成系统的n个单元中，不失效的单元不少于k（k介于1和n之间），系统就不会失效的系统，又称为k/n系统。图12.8-1为表决系统的可靠性框图。通常n个单元的可靠度相同，均为R，则可靠性数学模形为： 这是一个更一般的可靠性模型，如果k=1，即为n个相同单元的并联系统，如果k=n，即为n个相同单元的串联系统。 2）冷储备系统可靠性 冷储备系统可靠性(相同部件情况)：n个完全相同部件的冷贮备系统,(待机贮备系统),转换开关s 为理想开关Rs=1,只要一个部件正常,则系统正常。所以系统的可靠度： 图12.8.2 待机贮备系统
3）串联系统可靠性 串联系统可靠性：串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整流器个系统失效的系统。下图为串联系统的可靠性框图。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为 式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度 多数机械系统都是串联系统。串联系统的可靠度随着单元可靠度的减小及单元数的增多而迅速下降。图12.8.4表示各单元可靠度相同时Ri和nRs的关系。显然，Rs≤min(Ri),因此为提高串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视串联系统的可靠性,单元数宜少,而且应重视改善最薄弱的单元的可靠性。 4）并联系统可靠性 并联系统可靠性：并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的失效的系统。图12.8.5为并联轴系统的可靠性框图。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为 式中 Ra——系统可靠度 Fi——第i单元不可靠度
数量运算公式总结
数量关系常用公式 1.两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+S2)/2 两岸型 S=3S1-S2 例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 7 20 米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留 10 分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？ A. 1120 米 B. 1280 米 C. 1520 米 D. 1760 米 2.漂流瓶公式： T=（2t逆*t顺）/ （t逆-t顺） 无动力的木筏，它漂到B城需多少天？ 3.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=(2t1*t2)/（t1+t2 ）车速/人速=(t2+t1)/(t2-t1) 例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，每隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？ A. 3 B.4 C. 5 D.6 4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2) 例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（） A.24 B.24.5 C.25 D.25.5 5.电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）*顺行运动所需时间（顺）能看到级数=（人速-电梯速度）*逆行运动所需时间（逆）
6.什锦糖问题公式：均价A=n /｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖每千克费用分别为4.4 元，6 元，6.6 元，如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？ A．4.8 元 B．5 元 C．5.3 元 D．5.5 元 7.十字交叉法：A/B=(r-b)/(a-r) 例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：8.N人传接球M次公式：次数=（N-1）的M次方/N 最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数。 例题：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。 A. 60种 B. 65种 C. 70种 D. 75种 9.对折问题：一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段 10.方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方 N排N列最外层有：4N-4人 11.过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/ (N-A)次。 例题 (广东05)有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）
a的n次方加上b的n次方如何因式分解
a的n次方±b的n次方，怎么进行因式分解 解：①n为奇数时，a^n-b^n=0由唯一解a=b，a^n-b^n只能分解为两个因式相乘 a^n-b^n=[a^n-a^(n-1)b]+[a^(n-1)b-a^(n-2)b2]+…+[ab^(n-1)-b^n]=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…b^(n-1)] a^n+b^n=a^n-(-b)^n同理即可。 ②n为偶数时，a^n-b^n先使用平方差公式，指数变为奇数时，按①分解因式即可n是4的倍数时， a^n+b^n=[a^(n/2)]2+[b^(n/2]2+2a^(n/2)b^(n/2)-2a^(n/2)b^(n/2)=[a^(n/2)+b^(n/2)]2- [√2a^(n/4)b^(n/4)]2平方差公式分解即可。此外，a^n+b^n2实数范围无法分解， a=1,b=2,n=2时，a^n+b^n=1^2+2^2=5,a^2-b^2=1^2-2^2=-3, a=2,b=3,n=3时，a^n+b^n=2^3+3^3=35,a^n-b^n=2^3-3^3=-19, a=4,b=3,n=5时，a^n+b^n=4^5+3^5=1267,a^n+b^n=4^5-3^5=781. ......................... 由此可见，a^n+b^n,a^n-b^n的结果都是一些实数，其规律是很复杂的。如果需要对这些结果做变形，应该视需要和可能而定。可能的情况有 n是奇数时，a^n+b^n=(a+b)[(a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-......+(-b)^(n-1)] n是偶数时,一般情况下a^n+b^n不能进一步变形。例如a^2+b^2,a^4+b^4,a^6+b^6=(a^2+b ^2)[a^4-(ab)^2+b^4)]...... a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+......+b^(n-1)] a的n次方加上b的n次方如何因式分解 当n为奇数时： a^n+b^n=(a+b)[a^(n-1)-a^(n-2)b+a^(n-3)b^2-.......+a^2b^(n-3)-ab^(n-2)+b^(n-1)] 当n为3的倍数时：令n=3m，则 a^3m+b^3m=(a^m+b^m)(a^2m-a^mb^m+b^2m] n=5m ......... n为2的幂时无法分解
矩阵n次方的几种求法的归纳
矩阵n 次方的几种求法 1.利用定义法 () () ,,ij kj s n n m A a B b ??==则() ,ij s m C c ?=其1122...ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ 1 n ik kj k a b ==∑称为A 与B 的乘积，记为C=AB ，则由定义可以看出矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数要相[]1 同。 例1:已知矩阵34 125310210134A ??? ?=- ? ???，44 5 130621034510200B ??? ? ? = ? ? ??，求AB 解：设C AB ==() 34 ij c ?，其中1,2,3i =；1,2,3,4j = 由矩阵乘积的定义知： 111526533032c =?+?+?+?=121122543231c =?+?+?+?= 131321553030 c =?+?+?+?=14102051305 c =?+?+?+?= 21150623101c =-?+?+?+?= 22110224129c =-?+?+?+?= 23130125107c =-?+?+?+?= 24100021102c =-?+?+?+?= 310516334015c =?+?+?+?= 320112344222c =?+?+?+?= 330311354016c =?+?+?+?= 34001031403c =?+?+?+?= 将这些值代入矩阵C 中得：
C AB ==34 323130519721522163??? ? ? ??? 则矩阵A 的n 次方也可利用定义的方法来求解。 2.利用矩阵的分块来求解 这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵 由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵乘法的定义来求解这些小矩阵的乘积所构成的矩阵。即设 () () ,,ij kj s n n m A a B b ??==把A ，B 分解成一些小矩阵： 1111l t tl A A A A A ?? ?= ? ???K M O M L ，1111 r l lr B B B B B ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中ij A 是i j s n ?小矩阵且1,2...i t =，1,2...j l =，且12...t s s s s +++= ，12...l n n n n +++=；ij B 是j k n m ?小矩阵且1,2...j l =，1,2...k r =；且12...l n n n n +++=， 12...r m m m m +++=；令C AB ==1111r t tr C C C C ?? ? ? ??? K M O M L ，其中ij C 是i j s m ?小矩阵且1,2...i t =，1,2,...,j r =，且12...t s s s s +++=， 12...r m m m m +++=；其中1122...ij i j i j il lj C A B A B A B =+++。这里我们应注意：矩阵A 列的分法必须与矩阵B 行的分法一[]1 致。
笔算开立方和N次方
今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。 在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的： 在这里，我“定义”a^b=a的b次方。 (10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b) a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。 因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。 (10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2 笔算开立方 一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。 笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组； 2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数； 3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右
边写上第二组数； 4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所 得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若 大于，就减小试商再试。 5．用同样方法继续进行下去。 类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。关键是第4步如何进行。 当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。 以两位数ab为例，2 ab= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。事实上，100a2已在第3步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。 类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3 步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数
复利计算公式
复利计算公式 F=P*(1+i)^n F=A((1+i)^n-1)/i P=F/(1+i)^n P=A((1+i)^n-1)/(i(1+i)^n) A=Fi/((1+i)^n-1) A=P(i(1+i)^n)/((1+i)^n-1) F：复利终值P：本金 A ：每年末投资i：利率N：利率获取时间的整数倍复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。复利的计算公式是：S=P（1+i）^n 复利现值 复利现值是指在计算复利的情况下，要达到未来某一特定的资金金额，现在必须投入的本金。所谓复利也称利上加利，是指一笔存款或者投资获得回报之后，再连本带利进行新一轮投资的方法。复利终值 复利终值是指本金在约定的期限内获得利息后，将利息加入本金再计利息，逐期滚算到约定期末的本金之和。 例题 例如：本金为50000元，利率或者投资回报率为3%，投资年限为30年，那么，30年后所获得的利息收入，按复利计算公式来计算就是：50000×（1+3%）^30 由于，通胀率和利率密切关联，就像是一个硬币的正反两面，所以，复利终值的计算公式也可以用以计算某一特定资金在不同年份的实际价值。只需将公式中的利率换成通胀率即可。例如：30年之后要筹措到300万元的养老金，假定平均的年回报率是3%，那么，现在必须投入的本金是3000000×1/（1+3%）^30 每年都结算一次利息（以单利率方式结算），然后把本金和利息和起来作为下一年的本金。下一年结算利息时就用这个数字作为本金。复利率比单利率得到的利息要多。编辑本段复利率的计算主要分为2类：一种是一次支付复利计算：本利和等于本金乘以（1+i）的n次方，公式即F=P（1+i ）^n；另一种是等额多次支付复利计算：本利和等于本金乘以（1+i）的n次方-1后再除以利息i，公式即 F=A((1+i)^n-1)/i 复利计算公式 时间：2011-09-19 作者：来源：新东方论坛 复利计算公式：本息=本金*｛（1+利率）的N次方｝，N为相差年数 例题：某人将10万远存入银行，银行利息2%/年，2年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元？（） A.10.32 B.10.44 C.10.50 D10.61 两年利息为（1+2%）的平方*10-10=0.404税后的利息为0.404*（1-20%）约等于0.323，则提取出的本金合计约为10.32万元 计算复利的数学公式： 年收益是x%，那N年以后的收益是(1+x%)^N。 用excel可以自动计算，公式是：=power(1.08,n)，1.08是1+年增长，n是年数。 简单的估算方式： 72法则-用来计算在给定年收益的情况下，约需要多少年投资才会翻倍。 举例说明：比如年收益是5％，那用72/5=14.4。也就是约14.4年可以将投资翻番（如果用标准公式计算结果为14.2年）；如果年收益为7%，用72/7=10.3，也就是约10.3年投资可以翻一番（用公式计算为10.24年）；如果年收益为10％，用72/10=7.2，也就是约7.2年投资可以翻一番(用公式计算为7.27年)……
找次品的规律公式
找次品的规律公式 小学数学找次品的公式：找次品的公式计算 规律： 2～3个物品称1次 4～9个物品称2次 10～27个物品称3次 28～81个物品称4次 （以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次） 小学数学找次品的公式：五年级数学题找次品公式 找次品的规律 1、把待测物品尽量平均分成三份（使称量次数最少）； 2、不能平分的也使多的一份与少的一份相差1。 3、方法：三个（或三堆）物品随机称一次，平衡：次品在天平下；不平衡：次品在天平上（按题目所给重或轻条件找出。 4、知道称量次数求物品个数：3^n。 5、知道物品个数求称量次数：取n值，3^(n-1)<个数<3^n。先估算，再实际求出。 小学数学找次品的公式：找次品的公式有那些
2～3个物品称1次 4～9个物品称2次 10～27个物品称3次 28～81个物品称4次 （以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次） 找次品的规律 找次品有公式吗?做找次品应用题的格式应该怎样? 例如：有6个零件,知道其中一个是次品,比其他5个稍轻,其他五个一样重,至少称几次? 我更想要的是找次品的公式和做应用题的格式，例题的解是次要的。 {不平衡6—2（2，2） 平衡6—2（2，2） 答：2次。 平均分成三组,称一次就可以知道在哪一组了! 所以： 如果知道其中一个是次品,比其他稍轻, 则称n次,最多可以分辨出3^n个零件! 称两次最多可以分辨9个零件! 找次品的规律很复杂,要涉及很多方面,不是好总结的!
希望能帮到你，满意望哦。 小学数学找次品的公式：找次品有公式吗？ 在知道次品轻重的情况下，运气好时最少一次，取两个天平两边各放一个就可以了。当然事实上这种概率是很低的，因此要说是最多少多少次。要找的个数小于3的n大于3的n-1次时最多n次即可。如33=27，32=9，因此在10~27个之间最多3次即可找出次品。望，有点累数字公式是1至3 1次后来后面的乘三前面的是后面的乘三加以 小学数学找次品的公式：找次品的公式方法 2～3个物品称1次 4～9个物品称2次 10～27个物品称3次 28～81个物品称4次 （以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次） 小学数学找次品的公式：五年级数学题找次品公式 找次品的规律 1、把待测物品尽量平均分成三份（使称量次数最少）； 2、不能平分的也使多的一份与少的一份相差1。
幂级数求和函数方法概括与汇总
幂级数求和函数方法概括与汇总
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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑