2017届高考数学(文)二轮复习 课时巩固过关练(十) Word版含解析
课时巩固过关练(十) 等差数列 等比数列
一、选择题 1．(2016·河北邯郸月考)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，三个不同的点A ，B ，C 在直
线l 上，点O 在直线l 外，且满足OA →＝a 2OB →＋(a 7＋a 12)OC →
，那么S 13的值为( )
A.283
B.263
C.143
D.133
解析：由三个不同的点A ，B ，C 在直线l 上，点O 在直线l 外，且满足OA →＝a 2OB →
＋(a 7＋a 12)OC →，得a 2＋a 7＋a 12＝1.因为{a n }为等差数列，所以由等差中项，得3a 7＝1，a 7＝13
，∴
S 13＝13a 7＝13
3
.故选D.
答案：D
2．(2016·云南玉溪一中月考)已知函数f (x )＝?
???
?
2x －1(x ≤0)，f (x －1)＋1(x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x ＋1
的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和为S n ，则S 10＝( )
A ．45
B ．55
C ．210－1
D ．29－1
解析：当x ≤0时，g (x )＝f (x )－x ＋1＝x ，故a 1＝0；当0 故数列的前n 项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列．故S 10＝10×(10－1) 2 ＝45， 故选A. 答案：A 3．(2016·湖北一联)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝∫304x d x ，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－1 2 C ．1或－12 D ．－1或－1 2 解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为 S n ，a 3＝6，∫3 04x d x ＝2x 2 ??? 3 ＝18， ∴????? a 1q 2＝6，a 1＋a 1q ＋6＝18，解得????? a 1＝6，q ＝1 或????? a 1＝24，q ＝－12， ∴公比q 的值为1或－12.故选C . 答案：C 4．(2016·河北衡水中学四调)已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1a 20＝100，那么a 7＋a 14 的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在 解析：∵{a n }为正数组成的等比数列，a 1a 20＝100，∴a 1a 20＝a 7a 14＝100， ∴a 7＋a 14≥2a 7a 14＝2a 1a 20＝2100＝20，当且仅当a 7＝a 14时，a 7＋a 14取最小值20.故选A . 答案：A 5．(2016·浙江杭州一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 015＝( ) A ．22 015－1 B ．21 009－3 C ．3×21 007－3 D ．21 008－3 解析：设a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，∴a 2＝2，∴当n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1 ，∴a n ＋1a n －1＝2n 2n －1 ＝2， ∴数列{a n }中奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 015＝1－21 0081－2＋2(1－21 007)1－2 ＝21 009 －3， 故选B. 答案：B 6．(2016·河北衡水期中)1＋????1＋12＋????1＋12＋14＋…＋????1＋12＋14 ＋…＋1 210的值为( ) A ．18＋129 B ．20＋1 210 C ．22＋1211 D ．18＋1 2 10 解析：设a n ＝1＋12＋122＋…＋1 2 n －1＝1－12n 1－12 ＝2????1－12n ＝2－12n －1，∴S n ＝2n －1－12n 1－12 ＝2n －2????1－12n ＝2n －2＋12 n －1，∴S 11＝20＋1210.故选B. 答案：B 二、填空题 7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6 S 12 ＝__________. 解析：设S 3＝m ，∵S 3S 6＝1 3 ，∴S 6＝3m ，∴S 6－S 3＝2m ，由等差数列依次每k 项之和仍为 等差数列，得S 3＝m ，S 6－S 3＝2m ，S 9－S 6＝3m ，S 12－S 9＝4m ，∴S 6＝3m ，S 12＝10m ，∴ S 6 S 12 ＝310 . 答案：3 10 8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝__________. 解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴a n ＝－5＋(n － 1)×2＝2n －7，∴当n ≤3时，a n <0；当n ≥4时，a n >0，∴T n ＝? ???? 6n －n 2 ，1≤n ≤3， n 2－6n ＋18，n ≥4. 答案：? ??? ? 6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n ≥4 三、解答题 9．(2016·北京海淀期末)等差数列{a n }的首项a 1＝1，其前n 项和为S n ，且a 3＋a 5＝a 4＋7. (1)求{a n }的通项公式； (2)求满足不等式S n <3a n －2的n 的值． 解：(1)设数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 5＝a 4＋7，所以2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7.因为a 1＝1， 所以3d ＝6，即d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)因为a 1＝1，a n ＝2n －1，所以S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝n 2 ，所以n 2<3(2n －1)－2，所以n 2－6n ＋5<0，解得1 10．在各项为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝8 27 . (1)求证：{a n }是等比数列，并求出通项； (2)试问－16 81 是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理 由． 解：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23.∴数列{a n }是公比q ＝23的等比数列．又a 2·a 5＝8 27 ，∴ a 1q ·a 1q 4＝827，即a 21·????235＝827.∵数列各项均为负数，∴a 1＝－32.∴a n ＝－32×??? ?23n －1＝－????23n －2. (2)设a n ＝－1681，由(1)令－16 81＝－????23n －2， ∴????234＝????23n －2.由指数函数的单调性知4＝n －2，即n ＝6.∴－1681 是数列{a n }的第六项，即a 6＝－16 81 . 11．已知数列{a n }满足条件a 1＝t ，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)． (1)判断数列{a n ＋1}(n ∈N *)是否是等比数列； (2)若t ＝1，令C n ＝2n a n a n ＋1 ，记T n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n (n ∈N *)．求证：①C n ＝1a n －1 a n ＋1； ②T n <1. 解：(1)∵a 1＝t ，由a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当t ＝－1时，a 1＋1＝0，{a n ＋1}不是等比数列； 当t ≠－1时，{a n ＋1}是以t ＋1为首项，2为公比的等比数列． (2)∵t ＝1，由(1)可知{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1. ①C n ＝2n (2n －1)(2n ＋1 －1)＝12n －1－12n ＋1－1＝1a n －1 a n ＋1 . ②T n ＝????1－13＋????13－17＋…＋????12n －1－12n ＋1－1＝1－1 2n ＋1－1 <1.