2012年中考数学深度复习讲义——等腰三角形

?考点聚焦

1．等腰三角形的判定与性质．

2．等边三角形的判定与性质．

3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．

?备考后法

1．运用三角形不等关系，?结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．

2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．

3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．

?识记巩固

1．等腰三角形的性质定理及推论：____________________________．2．等腰三角形的判定定理及推论：____________________________．

识记巩固参考答案:

1．等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；?等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°.

2．如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．?三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

?典例解析

例1 （2011浙江衢州，23,10分）

，.

ABC

∠=∠==

C AC BC

?是一张等腰直角三角形纸板，Rt2

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的

ADE BDF ??和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这

两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x =====

222322,3

228()39

PNMQ

x x S ∴==∴==

正方形解得

又8

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点，

ABC CFDE S S =

= 正方形解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1

如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得

22322,3

1,3

x x EC MN ∴==>

> 解得又即

∴

甲种剪法所得的正方形的面积更大

（第23题）

（第23题图1）

B A

(2)212S =

(3)1091

S =

(3)解法1：探索规律可知：1

2n n S -=

‘ 剩余三角形的面积和为：()12109911112212422

S S S ??-+++=-++++= ??? 解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -

第二次剪取后剩余三角形面积和为12211

122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111

244

S S S -=-==

…

第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091

S S S -= 例

2 如图，△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 上的点．①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，?DF?⊥AC ；③AD ⊥EF ．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①．

（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；

（2）请证明你认为正确的命题．

解析（1）①②?③正确；①③?②错误；②③?①正确．（2）先证①②?③，如图1． ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF ，∠AED=∠AFD=90°．

在Rt △AED 和Rt △AFD 中，

,DE DF AD AD =??

∴△AED ≌△AFD （HL ）． ∴AE=AF ．

∴△AEF 是等腰三角形，∴AD ⊥EF ．

再证②③?①．

图1 图2 图3 方法一：如图2，DE ⊥AB ，EF ⊥AD ，DF ⊥AC ．易证△DEH ∽△DAE ，△DFH ∽△DAF ． ∴

,DE DH DH DF

AD DE DF AD

==， ∴DE 2=AD·DH ，DF 2=DH·AD ．

∴DE 2=DF 2，∴DE=DF ，∴AD 平分∠BAC ．方法二：如图3，取AD 的中点O ，连结EO ，FO ． ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

∴OE ，OF 分别是Rt △ADE ，Rt △ADF 斜边上的中线． ∴OE=

12AD ，OF=1

AD ．即O 点到A ，E ，D ，F 的距离相等．

∴A ，E ，D ，F 四点在以O 为圆心，

AD 为半径的圆上，AD 是直径，EF 是⊙O 的弦，而EF?⊥AD ，∴AD 平分 EDF

，即 ED DF =． ∴∠DAE=∠DAF ，即AD 平分∠BAC ．

点评本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第111?页拓广探索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第150页第13题，第158页第11题．因此，?在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式，?与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等．这样可以不断提高自己的综合解题能力．

2011年真题

一、选择题

1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形

BCED 的面积为（）

（A ）32

（B ）33

（C ）34

（D ）36

【答案】B

2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=

;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

【答案】D 3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，

四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：

① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ；一定正确的结论有

F G （第7题）

D E

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D

4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别

交AC 、AB

于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为何？

A ． 45

B ． 52．5

C ． 67．5

D ． 75

【答案】Ｃ 5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、

△DEF

的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十

六)与图(十

七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？

A ．2：1

B ． 3：2

C ． 4：3

D ． 5：4

【答案】Ｃ

6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是

A ．15cm

B ．16cm

C ．17cm

D ．16cm 或17cm 【答案】D

7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（） A ．

1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513

【答案】C 8.

二、填空题 1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________. 【答案】33cm

2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或6[ :]

3. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，

F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为．

【答案】

3131

+-或 4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,

EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80o ，则∠EGC 的度数为

【答案】80o

5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，?=∠40A ，则△ABC 的外角

∠BCD ＝ °．

【答案】110

6. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

（第14题）

A B

【答案】80°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。

7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则

= ．

【答案】

8. （2011湖南怀化，13，3分）如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6

，则AD=__________________.

【答案】4

9. （2011四川乐山16，3分）如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连结A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1 B 2= B 1 A 2，连结A 2 B 2…按此规律上去，记∠A 2 B 1 B 2=1θ，∠3232A B B θ=，…，∠n+11A n n n B B θ+= 则⑴1θ= ； ⑵ n θ= 。

E C

第15题

【答案】⑴2180α+? ⑵()

n 2

18012α

+??- 10．（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠

A=_______。

【答案】80°。

11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的

斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．

（第15题图）

【答案】31

12. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝度．

【答案】15

三、解答题

1.（2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE 重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.

（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；

（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

【解】（1）△HGA及△HAB；

（2）由（1）可知△AGC∽△HAB

∴CG AC

AB BH

=，即

=，

所以，

81 y

x =

（3）当CG＜1

BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH

∵AG＜AC，∴AG＜GH

又AH＞AG，AH＞GH

此时，△AGH不可能是等腰三角形；

当CG=1

BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=9

，即x=

当CG＞1

BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9

综上，当x=9或9

时，△AGH是等腰三角形．

2. （2011山东德州19,8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

【答案】（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ， ∴ △ACD ≌△ABE ．…………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………4分 (2) 互相垂直 ……………………5分在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ，

∴ △ADO ≌△A EO ． ……………………………………6分 ∴ ∠DAO =∠EAO ．

即OA 是∠BAC 的平分线． ………………………………………7分又∵AB =AC ，

∴ OA ⊥BC ． ………………………………………8分

3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证： ME=BD

．

【答案】（1）在等腰直角△ABC 中，

∵∠CAD =∠CBD =15o

，

∴∠BAD =∠ABD =45o -15o =30o

， ∴BD=AD ，∴△BDC ≌△ADC ，

∴∠DCA =∠DCB =45o

．

由∠BDM =∠ABD+∠BAD =30o +30o =60o

，

∠EDC=∠DAC +∠DCA =15o +45o =60o

， ∴∠BDM =∠EDC ， ∴DE 平分∠BDC ；（2）如图，连接MC ，

∵DC=DM ，且∠MDC =60°，

∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ． [ :]

又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°， ∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°， ∴∠EMC =∠ADC ．又∵CE=CA ，

∴∠DAC =∠CEM =15°，∴△ADC ≌△EMC ，∴ME=AD=DB ．

4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上

中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．

【答案】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，求得EF=5

5. （2011浙江衢州，23,10分）ABC ?是一张等腰直角三角形纸板，Rt 2C AC BC ∠=∠==，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

第18题图

F C

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的

ADE BDF ??和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这

【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x =====

222322,3

228()39

PNMQ

x x S ∴==∴==

正方形解得

又8

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点，

ABC CFDE S S =

= 正方形解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1

如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得

22322,3

1,3

x x EC MN ∴==>

> 解得又即

∴

甲种剪法所得的正方形的面积更大

（第23题）

（第23题图1）

B A

(2)212S =

(3)1091

S =

(3)解法1：探索规律可知：1

2n n S -=

‘ 剩余三角形的面积和为：()12109911112212422

S S S ??-+++=-++++= ??? 解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -

第二次剪取后剩余三角形面积和为12211

122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111

244

S S S -=-==

…

第十次剪取后剩余三角形面积和为910109

2S S S -=

6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论

当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB （填“>”,“<”或“=”）.

A B

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F . （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题

第25题图1 第25题图2

在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC ?的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.

【答案】（1）= . （2）=.

方法一：如图，等边三角形ABC 中，

A B C

60,ABC ACB BAC AB BC AC ∠=∠=∠=?==， //,EF BC

60,AEF AFE BAC ∴∠=∠=?=∠ AEF ∴?是等边三角形，

,AE AF EF ∴==

,,AB AE AC AF BE CF ∴-=-=即又60ABC EDB BED ∠=∠+∠=? ，

60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=?

,,,.

ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD =∴∠=∠∴∠=∠∴???∴=∴=

方法二：在等边三角形ABC 中，[ :]

60120,

,,,

,,//,

60,

180120,,

ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠=∠=?∠=?∠=∠+∠∠=∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=?=∠∴?∠=?-∠=?=∠∴???∴= ，是正三角形，

而由AEF ?是正三角形可得.EF AE = .AE DB ∴=[ :Z 。xx 。https://www.360docs.net/doc/707987243.html,] (3)1或3.

7. （2011浙江台州，23,12分）如图1，过△ABC 的顶点A 分别做对边BC 上的高AD 和中线AE ，点D 是垂足，点E 是BC 中点，规定BE

A =λ。特别的，当点D 重合时，规定0=A λ。另外。对

B λ、c λ作类似的规定。

（1）如图2，已知在Rt △ABC 中，∠A=30o，求A λ、c λ；

（2）在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC ，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且2=A λ，面积也为2；

（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×） ① 若△ABC 中，1A λ，则△ABC 为钝角三角形；（）【答案】解:（1）如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，作中线CE 、AF 。

∴BF

A =

λ=1 ∵ Rt△AB C 中，∠CAB=30o， ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60o， ∴△CEB 是正三角形，

∵ CD⊥AB ∴ AE=2DE ∴AE DE c =

λ=21； ∴A λ=1，c λ=2