第二章 随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布

教学目的与要求

1. 熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维离散型随机变量的分布列；

2. 熟练掌握一维随机变量分布函数的概念与性质；

3. 熟悉一维离散型随机变量的分布函数与分布列的关系； 3. 理解一维连续型随机变量分布函数与分布密度的概念及其关系；

4. 熟记常见的几种分布的表达形式.

6. 熟悉随机变量函数的分布函数与分布密度的计算公式. 教学重点 一维离散型、连续型随机变量及其分布 教学难点 随机变量函数的分布 教学方法 讲解法 教学时间安排

第11-12学时 第一节 随机变量

第四节 随机变量的分布函数

第13-16学时 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第17-18学时 第五节 随机变量函数的分布

习题辅导

教学内容

第一节 随机变量

一、随机变量

在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念.

定义2.1 设E 维随机试验，()ωΩ=为其样本空间，若对任意的ω∈Ω，有唯一的实数与之对应，且对{},x R x ξ?∈≤为事件，则称()ξω为随机变量.

这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表

示为事件，其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件.

二、分布函数的定义与性质

定义2.2 定义在样本空间Ω上，取值于实数域的函数()ξω，称为是样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称 ()(()),

(,)F x P x x ξω=≤∈-∞∞

是随机变量()ξω的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质：

（1）单调性 若12,x x <则12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0x F F x →-∞

-∞==

()lim ()1x F F x →+∞

+∞==

（3）右连续性 (0)()F x F x

+= 反过来，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 由分布函数还可以下列事件的概率：

{()}1()

{()}(0){()}1(0){()}()(0)

P x F x P x F x p x F x P x F x F x ξωξωξωξω>=-<=-≥=--==--

由此可见，形如12121212{()},{()},{()},{()}x x x x x x x x ξωξωξωξω≤≤<<<≤≤<这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率，都可以由()F x 算出来，所以()F x 全面地描述了随机变量()ξω的统计规律.

第二节 离散型随机变量

一、离散型随机变量的概念及其分布

定义 2.2 定义在样本空间Ω上，取之于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量

()ξξω=，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称

()i i P x p ξ==， 1,2,i =L

为随机变量()ξω的概率分布列，也称为分布律，有时就简称为分布.

离散型随机变量()ξω的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式：

12

1

2i

i x x x P

p p p ξ

L

L

L L

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0,1,2,;i p i ≥=L （2）

1

1i

i p

∞

==∑

反过来，任意一个具有以上两个性质的数列{}i p 都有资格作为某一个随机变量的分布列.

二、一维离散型随机变量的分布函数

如果()ξω是一个离散型随机变量，它们的分布列为

12

1

2i

i x x x P

p p p ξ

L

L

L L

那么()ξω的分布函数为 ()(())(())i i

x x

F x P x P x ξωξω<=<=

=∑

因为事件()()i i

a x b

a b a ξξ≤≤≤≤==U 右端的事件是两两互不相容的，

于是由概率的可列可加性有

()()i i a x b

P a b P a ξξ≤≤≤≤=

=∑

由此可知，()ξω取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得到，这件事实常常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律.

三、常见的离散型随机变量及其分布

1、两点分布 设离散型随机变量ξ的的分布列为

011P P ??

?-??

其中01P <<，则称ξ服从两点分布，亦称ξ服从（0—1）分布，简记为~(ξ0—1）分布. 显然，两点分布具有离散型随机变量的两个性质.

两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验.例如，掷一枚均匀硬币是出正面还是反面；产品质量是否合格；卫星的一次发射是否成功等试验. 2、二项分布 若离散型随机变量ξ的分布列为

(),0,1,2,,k k n k

n p k C p q k n ξ-===L

其中01,1p q p <<=-，则称ξ服从参数为,n p 的二项分布，简称ξ服从二项分布，记为

~(;,).b k n p ξ

易验证 0

()0,

()1n

k k n k n

n

k P k C p q p q ξ-==≥=+=∑

显然，当n =1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.

二项分布是离散型随机变量概率分布中重要的分布之一，它以n 重贝努里试验为背景，具有广泛的应用.例如，质量管理中，不合格产品数n p 控制图和不合格率p 控制图的绘制；一些抽样检验方案的制定，都是以二项分布为理论依据的.

3、泊松（Poisson ）分布 设离散型随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，L ，且取各个值的概率为 (),0,1,2,,!

k e P k k k λ

λξ-==

=L

其中0λ>为常数，则称ξ服从参数为λ的泊松分布，记为~(;)P k ξλ.易验证

(1)()

0,0,1,2,;

(2)()1

!

k

k P k k P k e k λ

ξλξ∞-==>====∑∑

L

泊松分布是重要的离散型随机变量的概率分布之一，有广泛的应用.例如，来到某售票口买票的人数；进入商店的顾客数；布匹上的疵点数；纱锭上棉纱断头次数；放射性物质放射出的质点数；热电子的发射数；显微镜下在某观察范围内的微生物数；母鸡的产蛋量等，

这些随机变量都可利用泊松分布.

定理2.1 （泊松定理）在n 重贝努里试验中，事件A 在一次试验中出现的概率为n p （与试验总数n 有关）如果当n →∞时，(0n np λλ→>常数），则有 0

l i m (;,)

,0,1

,2,!

k

n x b k n p e k k λ

δλ-→==L 4、几何分布 设ξ是一个无穷次贝努里试验序列中事件A 首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2,L ，而取各个值的概率为 1

1()(1)

,1,2..k k P k p p q p k ξ--==-==L

其中01,1p q p <<=-，则称ξ服从几何分布.记为~(,)g k p ξ.易验证

1

11

(1)()0,1,2,

(2)1

k k k P k p q k pq ξ-∞

-===>

==∑

上面讨论了几种常见的离散型随机变量的分布.两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布都是以贝努里试验为背景.即在一次试验中事件A 要么出现，要么不出现.而试验的次数是不同的，两点分布的次数为1，二项分布的次数是n ，泊松分布是无穷，随机变量k ξ=的取值从0到试验的次数.由此可见，两点分布是二项分布的特例，泊松分布是二项分布的地推广.注意几何分布k ξ=的取值从1开始到无穷.在应用中，一定要分清该问题属于哪一种类型，准确灵活地应用. 作业 1, 2, 3, 4, 6, 8。

第三节 连续型随机变量及其分布

一、连续型随机变量及其分布的概念与性质

定义2.3 若()ξω是随机变量，()F x 是它的分布函数，如果存在函数()f x ，使对任意的x ，有 ()()x

F x f t dt -∞

=

?

（*）

则称()ξω为连续型随机变量，相应的()F x 为连续型分布函数.同时称()f x 是()ξω的概率

密度函数或简称为密度函数.

由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数()f x 具有下述性质：

(1)()

(2)

()1

f x f x dx ∞

-∞

≥=?

反过来，任意一个R 上的函数()f x ，如果具有以上两个性质，即可由（*）式定义一个分布函数()F x .

由（*）式可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数.给定随机变量ξ的概率密度函数()f x ，由（*）式可求出分布函数()F x .这说明连续型随机变量的概率密度函数也完全刻画了随机变量的概率分布.且由概率密度函数可()f x 直接求出ξ落在任意区间[,]a b 内的概率.事实上，如果随机变量()ξω的密度函数为()f x ，则对任意的1212,()x x x x <，有 2

1

1221(())()()()x x P x x F x F x f t dt ξω<≤=-=

?

（**）

这一结果有很简单的几何意义：()ξω落在12[,)x x 中的概率，恰好等于在区间12[,)x x 上由曲线()y f x =形成的曲边梯形的面积（如图3.4中的影阴部分）,而

()1f x dx ∞

-∞

=?

式表明，

整个曲线()y f x =以下，x 轴以上的面积为1. 由（**）式还可以证明，连续型随机变量()ξω取单点值的概率为零，也就是说对任意的x ，(())0P x ξω==，于是有

121

22(())(())(())

P x x P x x P x ξωξωξω≤≤=≤<+= 2

1

12(())()x x P x x f y dy ξω=≤<=

?

（***）

如果()f x 在某一范围内的数值比较大，则由（***）式与（**）式可知，随机变量落在这个范围内的概率也比较大，这意味着()f x 的确具有“密度”的性质，所以称它为概率密度函数.此外由()()x

F x f t dt -∞

=?

式可知，对()f x 的连续点必有

()

'()()dF x F x f x dx

== 二、常见的几种连续型随机变量及其分布 1、 均匀分布

若随机变量()ξω的概率密度函数为

1()0

a x

b f x b a

?≤≤?

=-???其他

时，则称随机变量()p x 服从[,]a b 上的均匀分布.显然()f x 的两条性质满足.其分布函数为

0()1

x a x a F x a x b b a x b

=≤≤?

-?>??

这正是上一节讲过的引例.均匀分布可用来描述在某个区间上具有等可能结果的随机试验的统计规律性.例如，在数值计算中，假定只保留到小数点后一位，以后的数字按四舍五入处理，则小数点后第一位小数所引起的误差，一般可认为在[0.5,0.5]上服从均匀分布.在一个较短的时间内，考虑某一股票的价格ξ在[,]a b 内波动的情况，若区间[,]a b 较短，切无任何信息可利用，这时可近似认为ξ~[,]U a b .

2、 指数分布

若随机变量ξ的密度函数为

,0

()0,0x e x f x x λλ-?>=?

≤?

其中：

0λ>为常数，则称ξ服从参数为λ的指数分布，记为()~E ξλ。

指数分布的分布函数：

1,0

()0,0x e x F x x λ-?->=?≤?

注：许多“等待时间”是服从这个分布的；一些没有明显“衰老”机理的元器件的寿命也可以用指数分布来描述.所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域中有着广泛的应用.

3. 正态分布

若随机变量ξ的密度函数为

22

()2(),x f x x μσ--

=

-∞<<∞ （*）

,(0)μσσ>是两个常数，则随机变量ξ服从参数为,(0)μσσ>的正态分布，记为

2~(,)N ξμσ.

分布函数为

22

()2(),y x

F x e

dy x μσ--

-∞

=

-∞<<∞

并且称()F x 为正态分布，记作2

(,)N μσ.如果一个随机变量()ξω的分布函数是正态分布，也称()ξω是一个正态变量.

正态分布是概率论中最重要的一个分布，高斯（Gauss ）在研究误差理论时曾用它来刻划误差.经验表明许多实际问题中的变量，如测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年男子的身高等都可以认为服从正态分布.进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是正态变量.

正态分布的密度函数()f x 的图像称为正太曲线。

性质：1、关于x μ=点对称，在x μ=

处达到极大，极大值为()f μ=

2、当μ固定时，σ的值愈小，()f x 的图像就愈尖、愈狭，σ的值愈大，()f x 的图像就愈平、愈宽.由此可见，如果()f x 在μ点的附近愈尖、愈高，则随机变量在μ点附近取值的概率也愈大.事实上，对任一服从2

(0,)N σ的随机变量ξ有

22

22

22

2222323(())0.688

(2()2)0.955(3()3)0.997

x x x P e

dx P e dx P e

dx σ

σσ

σ

σσσ

σσ

σξωσσξωσσξωσ-

-

-

--

--≤≤=

≈-≤≤=≈-≤≤=

≈ 这说明，随机变量ξ的绝对值不超过σ的概率略大于2/3，不超过2σ的概率在95%以上，而超过3σ的概率只有0.003，即 (3)0.003P ξσ>≈

因为(3)P ξσ>很小，在实际问题中常常认为它是不会发生的.也就是说，对服从2

(0,)

N σ分布的随机变量ξ来说，基本上认为有3ξσ≤，这种近似的说法被实际工作者称作是正态分布的“3σ”原则.

(0,1)N 分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以()x ?表示，相应的分布函数

则记作()x Φ

，所以22

()()y x

x

x y dy e

dy -

-∞

-∞

Φ=

?=

?

附录中给出了(0,1)N 分布的()x ?和()x Φ的表，如果要查(,)N 2

μσ分布，只要通过一个函数关系（变换）就能解决.

设ξ是2

(,)N μσ分布的随机变量，则

22

()2()y x

P x e dy -μ-

σ-∞

ξ<=

这时，令

ξ-μ

η=

σ

则η也是一个随机变量，并且有

()(

)()2

P x P x P x ξ-μ

η<=<=ξ<σ+μ

22

()2y x e dy -μ-σ+μσ-∞

=

对上述积分作变量代换，令y u -μ

=

σ即得

22

()()u x

p x e

du x -

-∞

η<=

=Φ?

由此可知η是一个服从(0,1)N 分布的标准正态随机变量。于是要查()()F x P x =ξ<，只要查()y Φ，其中x y -μ

=

σ

，这就是说只要查(0,1)N 分布表就可以了，因为这时有 ()()()x F x P x P ξ-μ-μ

=ξ<=<

σσ

()()x x P -μ-μ

=η<=Φσσ

两边求导还有

1()()()x p x F x '-μ==

?σσ

可见一张(0,1)N 分布表解决了所有2

(,)N μσ分布的查表问题。其中把一般的

2(,)N μσ分布的随机变量ξ变换成标准正态变量η，所以常常称它为“标准化”变换.

小结 本节我们学习了一维连续型随机变量的分布函数和密度函数的概念及性质，并且讨论了几种常见的随机变量的分布，望熟记它们的分布函数和密度函数的表达方式并会应用.

作业 11， 12， 13， 14.