【最后一卷】江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测英语试题

【最后一卷】江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测

数学试题

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分，把答案填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．上．

. 1.已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则A B ?= . 2.命题:若2a ≥，则24a ≥.其否命题是 .

3.已知直线l 过点(2,1)P ，且与直线350x y ++=垂直，则直线l 的方程为 .

4.一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，恰有1只黑球的概率是 .

5.根据如下图所示的伪代码，当输入a 的值为3时，输出的S 值为 .

6.有100件产品编号从00到99，用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验，分组后每组按照相同的间隔抽取产品，若第5组抽取的产品编号为91，则第2组抽取的产品编号为 .

7.已知ABC ?

的等比数列，则其最大角的余弦值为 .

8.已知函数1

1,02

()1,0x x f x x x

?-≥??=??

9.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为

.

10.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥??

-≤??-+≥?

(a 为常数)所表示的平面区域的面积

等于2，则a = .

11.如果双曲线22

22:1x y C a b

-=的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率

为 .

12在ABC ?中， 5,4AB AC ==，且12AB AC ?=，P 为ABC ?所在平面内的一点，则

()PA PB PC ?+

的最小值是 .

13.若函数2()f x mx =+2cos ()x m m R +∈在0x =处取得极小值，则实数m 的取值范围是 .

14.已知数列{}n a 的首项1a a =， 121n n a a n ++=-.若对*

n N ?∈，且2n ≥，不等式

1(1)(1)2(1)n n a a n +--≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .

二、解答题:本大题共6小题，共计90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，点

P 是CD 中点， Q 是11A B 的中点.

(I)求证: AQ ∥平面1PBC ；

(l)若1BC CC =，求证:平面11A B C ⊥平面1PBC .

16.在平面直角坐标系xOy 中，以ox 轴为始边作角α，角4

π

α+的终边经过点(2,1)P -.

(I)求cos α的值； (Ⅱ)求5cos(

2)6

π

α-的值

.

17.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的焦距为2，12F F 、分别为

其左右焦点，过2F 的直线与椭圆交于A B 、两点，直线AB 的斜率为-1.

(I)若直线AB 与椭圆的右准线交于点C 且1224CF CF ?=，求椭圆的标准方程； (Ⅱ)若222OA OB AB +<，求2a 的取值范围.

18.某市公园内的人工湖上有一个以点C 为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径AB ，在AB 的另一侧建有控制台O ，OA 和OB 之间均有小径连接(小径均为直路)，且3

4

AOB π∠=

，喷泉中心C 点距离B 点60米，且CB 连线恰与OA 平行，在小径AB 上有一拍照点Q ，现

测得OB = 20OQ =米，且OQ OA ⊥.

(I)请计算小径AB 的长度；

(Ⅱ)现打算改建控制台O 的位置，其离喷泉尽可能近，在点A B C 、、的位置及AOB ∠大小均不变的前提下，请计算OC 距离的最小值；

(Ⅲ)一人从小径一端A 处向B 处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启t 分钟后的水幕

是一个以C 为圆心，半径r =(含边界)，此人的行进速度是v =/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数a 的最小值.

19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S *

()n N ∈n a λμ+.

(I)若122,6a a ==，求数列{}n a 的通项公式； (I)若1322a a a +=，求证: {}n a 是等差数列. 20.已知函数231()3

f x a x x =

-，1

()1n ()g x a x a R x =+∈.

(I)若0a >，求函数()()()h x f x g x =+的单调区间；

(Ⅱ)若()f x 存在极小值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证: 1020x x +=； (Ⅲ)试问过点(0,2)P 可作多少条直线与()g x 的图像相切?并说明理由.

数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中两题，井在答题卡指定区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答，．．

若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲

如图，过点A 的圆与BC 切于点D ，且与AB AC 、分别交于点E F 、. 已知AD 为BAC ∠的平分. 求证: EF BC ∥ B.选修4-2：矩阵与变换

直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转45的变换R 所对应的矩阵为M ，每个

T 所对应的矩阵为N . (I)求矩阵M 的逆矩阵1

M

-；

(Ⅱ)求曲线1xy =先在变换R 作用下，然后在变换T 作用下得到的曲线方程. C.选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐

标方程为4cos ρθ=，直线l

的参数方程为1cos 6

sin 6x t y t ππ?

=+????=??

(t 为参数).

(I)求曲线C 的直角坐标方程;

(I)若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数. D.选修4-5:不等式选讲 已知0a b >>，且1

()m a a b b

=+

-.

(I)试利用基本不等式求m 的最小值t ；

(Ⅱ)若实数,,x y z 满足2224x y z t ++=，求证：|2|3x y z ++≤.

[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分.请把笞案写在答题纸的指定区域内. 22.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PA ⊥面ABCD ，且2PA AD ==，点,M N 分别在

,PD PC ， 1

2

PN NC =

，PM MD =.

(I)求证：PC ⊥面AMN ；

(Ⅱ)求二面角B AN M --的余弦值.

23.袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n 次后，袋中红球的个数记为n X . (I)求随机变量2X 的概率分布及数学期望2()E X ； (Ⅱ)求随机变量n X 的数学期望()n E X 关于n 的表达式.

【最后一卷】江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测

数学试题 参考答案

一、填空题 1. {1,2}- 2.若2a <，则24a <. 3. 310x y -+= 4.

23

5. 9

6. 31

7. 4-

8.

2

3

或 -1 9. 6π 10. 3

12. 65

8

-

13. [1,)+∞ 14. 21a -≤≤ 二、解答题

15.解：(1)取AB 中点为R ，连接PR ，1B R . 由已知点P 是CD 中点， Q 是11A B 的中点可以证得， 四边形1AQB R ，11PRB C 都为平行四边形， 所以111,AQ B R B R PC ∥∥，所以1AQ PC ∥. 因为AQ ?平面1PBC ，1PC ?平面1PBC ， 所以AQ ∥平面1PBC .

(Ⅱ)因为四棱柱1111ABCD A BC D -为长方体， 1BC CC =，所以11B C BC ⊥. 因为11A B ⊥平面11BBC C ，所以111A B BC ⊥. 因为11

11A B B C B =，11A B ?平面11A B C ，1B C ?平面11A B C ，

所以1BC ⊥平面11A B C ， 1BC ?平面1PBC ，所以平面11A B C ⊥平面1PBC . 16. 解:(1)由于角4

π

α+

其终边经过点(2,1)P -，

故cos()4

5π

α+

=-

，sin()45

πα+=.

cos cos()4

4π

π

αα∴=+

-

cos()cos

sin 4

4

π

π

α=+

+()sin

4

4

10π

π

α+

=.

(2) sin sin()4

4

π

π

αα=+

-

sin()cos

cos 4

4

π

π

α=+-()sin

4

4

π

π

α+

=

. 则sin 22sin cos ααα==23cos 2cos 5

αα-=-2

4sin 5

α=-

，

55cos(

2)cos 66ππα-=5cos2sin sin 26παα+=17. 解:(1) 22(,1)C a a -，2222()1(1)24a a -+-=，

所以2

4a =，椭圆的标准方程为22

143

x y +=. (2)设:(1)l y k x =-， 11(,)A x y ， 22(,)B x y

222||||||OA OB AB +<

cos AOB ∴∠=222

||||||02||||

OA OB AB OA OB +-<

AOB ∴∠为钝角

12120OA OB x x y y ∴?=+<

联立直线与椭圆方程222222

(1)y x b x a y a b

=--???+=?222222

(1)b x a x a b +-=，其中1c =整理可得:

2222()2a b x a x +-222()0a a b +-=

212222a x x a b ∴+=+，222

1222

a a

b x x a b -=+.

1212(1)(1)y y x x ∴=--1212()1x x x x =-++

1212122x x y y x x ∴+=-12()12x x ++=2222

2

222

21a a b a a b a b --+++代入1c =

1212x x y y ∴+=242

2

4221021

a a a a --+<-，422410a a ∴-+>

解得：222a +>

22(12

a -<<舍去）. 18.解:(I)以O 为坐标原点， AO 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AO 的直线为y 轴，建

立如图所示的平面直角坐标系，由OB = 3

4

AOB π∠=，可知(40,40)B ，直线OB 的方程为y x =，(0,20)Q .所以直线AB 的方程为1

202

y x =

+，令0y =，得

(40,0)A -，所以，AB =千米；

(Ⅱ) O A B 、、三点共圆，可求圆的方程为22(20)(60)4000x y ++-=，(20,40)C -，则OC 距

离最小值为20- (此时点O 为直线20x =-与点A 及坐标原点之间劣弧的交点)； (Ⅲ)因为C 在B 的正西方向，且60CB =千米，所以(20,40)C -.人从A 行驶到B 所需要

4

= (分钟)，

假设在(04)t t <<时刻人所在的位置为M ，则10A M =千米，所以

(2040,10)M t t -，则22(2020)CM t =-+2(1040)100t -=2(51620)t t -+.

又在(04)t t <<时， 2

100r at =，欲使这个人行进的过程中会被水幕沾染，则存在(0,4)t ∈，

使得

22r CM ≥，即2100100(51620)at t t ≥-+成立，所以存在(0,4)t ∈，使得

4

5()16a t t

≥+-成立，

当(0,4)t ∈时， 4

5()1652t t

+-≥

?164=，

当且仅当4

t t =，即2t =时取等号. 所以4a ≥，即实数a 的最小值为4.

19.解:(1)

根据题意，有+6+λμλμ

=??

，解得=2

λμ?

??

?

???

， 故21

=28

n n S a +()，当*2,n n N ≥∈时有2

111=28

n n S a --+()，

两式相减得11()()n n n n a a a a --+-14()n n a a -=+， 又0n a >恒成立，则14n n a a --=， 所以数列{}n a 是等差数列，故42n a n =-，

(2)根据题意，有()()()2

112

12221233()1()23()a a a a a a a a a λμλμλμ?=+?+=+??++=+?

，

因为1322a a a +=，所以可设3221a a a a d -=-=， (2)-(1)得212(2)a a a d λλμλ=++? (4)， (3)-(2)得323(2)a a a d λλμλ=++? (5)

(5)-(4)得22

2d d λ=，当0d =时20a =故舍，则有212d

λ=

， 代入(4)式得41λμ=， 代入(1)式得12

d a =

， 所以22

22n n n S a a λλμμ=++211228n n d a a d =

++， 当*

2,n n N ≥∈时有211111228

n n n d S a a d ---=++. 两式相减得22

11()2n n n a a a d -=-11()2

n n a a -+-，整理得11()()0n n n n a a a a d --+--=. 又0n a >恒成立，则1n n a a d --=，所以{}n a 是等差数列. 20. 解:(1) 0a >，21

()(1)(1)h x ax ax x

'=-++

所以()h x 的单调减区间为1(0,)a 单调增区间为1(,)a

+∞； (2) 22()1f x a x '=-，()f x 存在极小值点0x ，则220

1a x =

. 10()()f x f x =，则2323

110

01133

a x x a x x -=-， 所以221011()[(x x a x x -+?2

00)3]0x x +-=代入220

1a x =

所以2

1011()(x x x x -+?2

002)0x x +=，

则21010()(2)0x x x x -+=，又10x x ≠，所以1020x x +=； (3) 0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线. 设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：

002

00

()21

0f x ax x x --=- 即

000111n 2a x a x x +-=-，化简得：00

2

1n 20a x a x +--= 设2

()1n 2F x a x a x

=

+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数.

22

22()a ax F x x x x -'=-

+= ①当0a =时， 2

()2F x x

=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1；

②当0a <时， 2

2

()0ax F x x

-'=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2

()20F e e =-<

故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点， 当0a <时， ()F x 在(0,)+∞上恰有个零点；

③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a

+∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数1n y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞，

故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02

1n a x a

+>

，此时 0002()1n 2F x a x x =

+--0022(1n )0a a a x x a

+=+-> 由于

2

1a a

+>， 函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点；

1

1(1)

1()2a a a

a

F e

e

a -++++

=-1

(1)2a a a ++--=1

122(23)a a e a a ++-++

先证明当0a >时， 112(2)a a

e a ++

≥+，即证1

121n(2)a a a

++

≥+ 若(0,2)a ∈，1

13a a

++

≥，而21n(2)21n4a +≤，由于21n41n163=< 若[2)a ∈+∞，构建函数

1()1x x x ?=++21n(2)x -+，212()12x x x ?'=--=+322(2)x x x x --=+22(1)2

0(2)

x x x x -->+

()x ?在[2)+∞为增函数， ()(2)3a ??≥=121n402

+->

综上0a >时，1

12(2)a a

e

a ++

≥+，所以

112

2

22(2)a a

e

a a ++

≥+=223(25)a a a +++++223a a >++，故1

(1)

()0a a

F e

-++>

又(1)0F <，1

(1)

1a a

e -++<，所以在1

(1)

(,1)a a

e

-++必有一零点.

∴当0a >时， ()F x 在(0,)+∞上有两个零点

∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线.

数学Ⅱ(附加题)

21. 【选做题】

A. 选修4-1:几何证明选讲 证明:如图，连接ED .

因为圆与BC 切于D ，所以BDE BAD ∠=∠. 因为AD 平分BAC ∠.所以BAD DAC ∠=∠. 又DAC DEF ∠=∠，所以BDE DEF ∠=∠. 所以EF BC ∥. B.选修4-2:矩阵与变换

解：

（Ⅰ） 22M -?

?=?

??，||1M =，11

||M M -∴

= 22??????

22?

???=???.

（Ⅱ）

2 0N ??

=???

，22M -??=???

， 1 11 1NM -??=??

??

x x y y x y '=-?∴??'=+?2

2

x y x x y y ''+?

=???

''

-+?=??代入1xy =中得：224y x ''-=. 故所求的曲线方程为: 2

2

4y x -=. C.选修4-4:坐标系与参数方程

解:(I)由4cos ρθ=得2

4cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：2

2

4x y x +=， 即2

2

(2)4x y -+=；

(Ⅱ)由直线

l 的参数方程消去参数t 得

1)y x +=

-，即40x

-=. 因为圆心(2,0)

C 到直线l 的距离为1d =

=，d 恰为圆C 半径的1

2

，

所以满足这样条件的点P 的个数为3个. D.选修45:不等式选讲

解:(I)由三个数的均值不等式得：

()m a b b =-++

1

3()a b b ≥

-3=

(当且仅当1

a b b a b

-==-即1,2b a ==时取“=”号)，故有3t =. （Ⅱ）

3x y z ++=，由柯西不等式得：

222[(2)]x y z ++2222(111)(2)x y z ++≥++

（当且仅当

2111x y z ==即63,55

x z y ===时取“=”号） 整理得：2(2)9x y z ++≤，即|2|3x y z ++≤. 22. 解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系.又

2PA AD ==，

(0,0,2)P ∴ ，(0,2,0)D ，(2,0,0)B

(0,1,1)M ∴，(2,2,0)C .(2,2,2)PC ∴=-，(0,1,1)AM =.

0220PC AM ?=+-=，PC AM ∴⊥.

设(,,)N x y z

12PN NC =

，求得224

(,,)333

N . 448

0333

PC AN ?=+-= ，AN PC ∴⊥.

又PC AM ⊥且AM AN A =，PC ∴⊥面AMN .

(Ⅱ)设平面BAN 的法向量为(,,)n x y z =，

n AB n AN ??=??

?=??，(0,2,1)n ∴=- (2,2,2)PC =-是平面AMN 的法向量， cos n ∴<，15

=

5

||||n PC PC n PC ?>=

.

∴二面角B AN M --

的余弦值为5

. 23. 解:(1)由题意可知23,4,5X =.

当23X =时，即二次摸球均摸到红球，其概率是21

33211889

(3)64

C C P X C C ==?=；

当24X =时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率2(4)P X ==111135541111

888835

64C C C C C C C C +=； 当25X =时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是1154211

885

(5)16

C C P X C C ===. 所以随机变量2X 的概率分布如下表：

(一个概率得一分不列表不扣分) 数学期望29()3464E X =?

+355267

5641664

?+?=. (Ⅱ)设(3)n P X k pk =+=，0,1,2,3,4,5k =.

则0123p p p p +++451p p ++=，012()345n E X p p p =++345678p p p +++.

103(3)8n P X p +==

，10154(4)88n P X p p +==+，11245(5)88n P X p p +==+，

12336

(6)88n P X p p +==+，

13427(7)88n P X p p +==+，14518

(8)88

n P X p p +==+.

所以，+1()n E X .

001354=3+4()888p p p ?

?+12455()688p p +?++?2336()788p p ++?3427

()888p p ++4518

()88p p ?+ 012293643888p p p =++345505764888p p p +++ 0127

(3458p p p =+++3450678)p p p p ++++12345p p p p p ++++

7

()18

n E X =

+. 由此可知，+17

()8(()8)8

n n E X E X -=

-. 又135()88E X -=-，所以1

357()8()88

n n E X -=-

.