2018年美国大学生数学建模A题翻译及解读

2018 MCM

Problem A: Multi-hop HF Radio Propagation

Background: On high frequencies (HF,defined to be 3 – 30 MHz), radio waves can travel long

distances (from one point on the earth’ssurface to another distant point on the earth’s surface) by multiplereflections off the ionosphere and off the earth. For frequencies below themaximum usable frequency (MUF), HF radio waves from a ground source reflect offthe ionosphere back to the earth, where they may reflect again back to theionosphere, where they may reflect again back to the earth, and so on,travelling further with each successive hop. Among other factors, thecharacteristics of the reflecting surface determine the strength of thereflected wave and how far the signal will ultimately travel while maintaininguseful signal integrity. Also, the MUF varies with the season, time of day, andsolar conditions. Frequencies above the MUF are not reflected/refracted, butpass through the ionosphere into space. In this problem, the focus is particularlyon reflections off the ocean surface. It has been found empirically thatreflections off a turbulent ocean are attenuated more than reflections off acalm ocean. Ocean turbulence will affect the electromagnetic gradient ofseawater, altering the local permittivity and permeability of the ocean, andchanging the height and angle of the reflection surface. A turbulent ocean is onein which wave heights, shapes, and frequencies change rapidly, and thedirection of wave travel may also change.

Problem:

Part I: Develop a mathematical model forthis signal reflection off the ocean. For a 100-watt HF constant-carriersignal, below the MUF, from a point source on land, determine the strength of thefirst reflection off a turbulent ocean and compare it with the strength of afirst reflection off a calm ocean. (Note that this means that there has beenone reflection of this signal off the ionosphere.) If additional reflections (2through n) take place off calm oceans, what is the maximum number of hops thesignal can take before its strength falls below a usable signal-to[1]noiseratio (SNR) threshold of 10 dB?

Part II: How do your findings from Part Icompare with HF reflections off mountainous or

rugged terrain versus smooth terrain?

Part III: A ship travelling across theocean will use HF for communications and to receive

weather and traffic reports. How does yourmodel change to accommodate a shipboard receiver moving on a turbulent ocean?How long can the ship remain in communication using the same multi-hop path?

Part IV: Prepare a short (1 to 2 pages)synopsis of your results suitable for publication as a short note in IEEECommunications Magazine.

Your submission should consist of:

One-page Summary Sheet,

Two-page synopsis,

Your solution of no more than 20 pages, for a maximum of 23 pageswith your

summary

and synopsis.

Note: Reference list and any appendices do not count toward the23-page limit and should appear after your completed solution.

2018年美赛A题赛题翻译

2018 MCM A题：多跳高频无线电传播

背景资料：在HF（HF：高频，3~30兆赫（MHz））的状态下，无线电波可以通过电离层和离地的多次反射进行远程（从地球表面的一点到地球表面的另一个遥远的地点）传播。

对于拥有低于最大可用频率（MUF）的频率的HF无线电波来说，来自地面源的此电波可从电离层反射回地球，反射回地球的无线电波还可能再向电离层射去，继而可能继续反射回地球，从而实现多次反射，HF无线电波随着每个连续的跳跃继续前进（这就是所谓的“多跳传播”）。

在众多因素当中，其中，反射表面的特性决定了反射波的强度以及信号在保持有用信号完整性的状态下最终传播的距离。而且，最大可用频率（MUF）随着季节、当日时间以及太阳能条件的变化而变化。高于MUF的频率不会被反射或者折射，而是通过电离层进入太空。

在这个问题上，便将重点放在在海洋表面的反射上。从经验上来说，在湍流的海洋上的反射比在平静的海洋上的反射要弱一些。海洋湍流会影响海水的电磁梯度，改变海洋的局部介电常数和渗透率，同时改变反射面的高度和角度。汹涌的海洋是波浪高度，形状和频率迅速变化的地方，波浪的行进方向也可能发生变化。

问题：

1.建立一个海洋信号反射的数学模型。对于一个频率低于MUF、功率为100W 的HF恒定载波信号（该信号来自于陆地上的一个点源），请确定其在一个湍流海洋表面的第一次反射的强度，并将该强度与其在平静海洋表面的第一次反射的强度进行比较。（注意：以上表明该信号已在电离层上反射了一次）

如果在平静的海洋表面发生额外的反射（2到N），该信号在其强度低于10 dB 的可用信噪比（SNR）之前所能完成的最大跳数是多少？

2.将第一问的研究结果与高山或崎岖地形与平坦地形的HF反射进行比较，结果如何？

3.一艘穿越海洋的船舶将使用HF进行通信，并且接收天气和交通报告。你将如何改变你的模型，以适用于在湍流的海面上移动的舰载接收器？并且使用相同的多跳路径，船舶能保持多长时间通信？

4.准备一份简短的（1到2页）结果概要，作为IEEE通讯杂志中的简短说明发表。

您提交的内容应包括：

●一页摘要

●两页的结果概要

●您的解决方案不超过20页，最多23页（包含摘要和概要）

注意：参考文献列表和附录不计入23页限制，应附在解决方案之后。

2018年美赛A题优秀论文解读

2018年美国大学生数学建模竞赛有2514支队伍选择了A题，其中有5支队伍获得了特等奖。他们分别是76082、76271、88255、86103、77845，我们对这5篇特等奖论文进行了简单的分析，结果如下：

（1）76082队伍构建了海洋信号反射的数学模型，并基于此模型构建了地面信号反射模型，并对两者相比较。他们将海洋表面归类为光滑和粗糙的海洋。基于菲涅耳反射系数方程，得到粗糙光滑海面的反射强度。基于上述模型，他们建立了地面信号反射的数学模型。同样，他们将地形分类为平滑地形和山地地形。并使用Epstein-Peterson方法研究典型的双边峰值衍射问题。通过对两种模型的比较，他们得出结论海洋表面比陆地表面更适合短波的传播。他们还介绍了船舶摇摆模型，以进一步建立海上船舶接收器的通信模型。通过计算信号覆盖区域中船舶的最大行程时间来获得最长的通信时间。

（2）76271队伍建立了一个可靠性通信的模型。他们进行高通量模拟波的路径，在平静和湍急的水域以及平坦和多山的土地上反弹。通过随机改变发射机位置，并测试来自沿海城市的路径，以确定最大有效传输距离。为了探索模型的灵敏度，他们将波浪条件从平静变为超湍流，增加传输功率，并改变电离层密度。最后，他们一起改变频率和仰角，将其确定为最敏感的参数。

（3）88255队伍在采用相关文献中证明的平静表面反射模型的基础上，通过使用相对介电常数εr和电导率σ来计算反射系数和衰减Lcal（dB），然后估计第一反射强度。使用P-M谱来模拟与风速相关的海浪分布。在此基础上，他们使用有限元分析来计算坚韧表面的修正系数ρ。根据对空气和电离层的分析，可以得到路径传输损耗Lb（dB）和电离层Lion的衰减（dB）。对于移动或摇晃的物体，他们采用圆极化方式来维持信号的稳定性，果已知船的方向和速度，就可以计算可以接收信号的时间。

（4）86103队伍根据PM波谱和随机波理论，建立了一个三维随机波模型来模拟波的运动。在这个基础上，分析了电磁波在海面上的反射。他们考虑不同风级引起的波高对反射系数的影响，并在不同条件下获得电磁波的反射损耗。然后得到

传输中的损失、湍流海洋的第一反射强度和平静海洋的总和。最后分析了接收点的信号电场和大气噪声电场，得到了信噪比，传输距离和跳数之间的关系。其次，他们在波浪模型的基础上分析地面传播。我们用波动模拟地形。由于地球的电磁特性不同于海面，我们校正相对电常数和电导率。最后，他们考虑船在海面上可能遇到的风和波，并计算接收信号在给定时可以传播的最长距离风级。

（5）77845队伍基于电离层的性质和一些物理定律，我们建立了一个完整的MHPM 数学模型，它可以很好地模拟多跳高频无线电波传播中的折射和反射。MHPM还可以模拟电子的分布电离层沿海拔高度的密度和折射率。使用MHPM模型，他们比较了平静和湍流海面对无线电波能量耗散的不同影响，并计算了几种情况（不同频率和不同掠射角）的最大传播距离和最大跳数。我们还分析了掠射角，频率和海面附近风速对海面粗糙度的影响。他们提出了一种无线电波发射方案，并建立了移动船舶接收信号模型（MSRSM），以使船舶在海上航行时以相同的多跳路径连续接收信号。他们还对模型进行了灵敏度分析，分析了它们的变化对多跳高频无线电波传播的影响。

（如果转载请注明出处：校苑数模）