八年级数学上册全册全套试卷测试卷附答案

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E

三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

【答案】（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形

【解析】

解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．

∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．

∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．

又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE="AE+AD=" BD+CE．

（2）成立．证明如下：

∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE．

∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE=AE+AD=BD+CE．

（3）△DEF为等边三角形．理由如下：

由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．

∴△DEF为等边三角形．

（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得

DE=BD+CE．

（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得

∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以

△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．

2．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为___________，数量关系为___________

②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．

【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；

②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；

（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定

△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．

【详解】

（1）：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．

理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE．

又 BA=CA，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE （SAS）

∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD．

∵∠ACB=∠B=45°，

∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE⊥BD．

故答案为垂直，相等；

②都成立，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△DAB与△EAC中，

AD AE

BAD CAE

AB AC

∠∠

＝

∴△DAB≌△EAC，

∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，

∴∠ACB＋∠ACE＝90°，即CE⊥BD；

（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图）．

理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，

∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，

∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ACB＝∠AGC＝45°，

∴AC＝AG，

在△GAD与△CAE中，

AC AG

DAG EAC

AD AE

∠∠

＝

∴△GAD≌△CAE，

∴∠ACE＝∠AGC＝45°，

∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥B C．

3．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F

(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系

(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK

【答案】（1）AB ⊥CE ；（2）见解析. 【解析】【分析】

（1）由全等可得∠ECD=∠A ，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB ⊥CE. （2）延长HK 于DE 交于H ，易得△ACD 为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE ，然后证明△DGH ≌△DGE ，所以∠H=∠E ，则∠H=∠B ，可得HK=BK. 【详解】

解：（1）∵Rt △ABC ≌Rt △CED ，

∴∠ECD=∠A ，∠B=∠E ，BC=DE ，AC=CD ∵∠B+∠A=90° ∴∠B+ECD=90° ∴∠BFC=90°，∴AB ⊥CE

（2）在Rt △ACD 中，AC=CD ，∴∠ADC=45°，又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45° ∵CH ＝DB ，∴CH+CD=DB+CD ，即HD=BC ， ∴DH=DE ，

在△DGH 和△DGE 中，

DH=DE HDG=EDG=45DG=DG ??

∠∠???

∴△DGH ≌△DGE （SAS ） ∴∠H=∠E 又∵∠B=∠E ∴∠H=∠B ， ∴HK=BK 【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.

4．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．

（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持

AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．

（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析【解析】【分析】

（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；

（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；【详解】

（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：如图1中，连接OP ．

∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6）， ∴OB=OA=6，∠AOB=90°， ∵P 为AB 的中点，

∴OP=

AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，

在△PON 和△PAM 中，

ON AM PON PAM OP AP =??

∠=∠??=?

， ∴△PON ≌△PAM （SAS ）， ∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ， ∴∠NPM=∠OPA=90°， ∴PM ⊥PN ，PM=PN ．

（2）结论：OD=AE ．理由如下：

如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．

∵BD ⊥OP ，

∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，

∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°， ∴∠AOG=∠DBO ， ∵OB=OA ， ∴△DBO ≌△GOA ， ∴OD=AG ，∠BDO=∠G ， ∵∠BDO=∠PEA ， ∴∠G=∠AEP ，在△PAE 和△PAG 中，

AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△PAE ≌△PAG （AAS ）， ∴AE=AG ， ∴OD=AE ．

【点睛】

考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

5．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图（2），把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A ＝40°，则∠ABX+∠ACX ＝ °．

②如图（3），DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，若∠DAE ＝40°，∠DBE ＝130°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】

【分析】

（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝

∠BAC+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；

（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝

∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.

【详解】

（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：

过点A、D作射线AF，

∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，

∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①如图（2），∵∠X＝90°，

由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠ABX+∠ACX＝50°，

故答案为：50；

②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，

∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴∠ADC＝1

∠ADB，∠AEC＝

∠AEB，

∴∠ADC+∠AEC＝1

(ADB AEB)

∠+∠＝45°，

∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

6．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，

（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．

（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．

（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】

【分析】

（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；

（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．

【详解】

（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，

∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.

∵MD=ME，

∴∠MAD=∠MAE，

∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，

即∠BAM=∠CAM.

在△ABM和△ACM中，

AB=AC，

∠BAM=∠CAM，

AM=AM，

∴△ABM≌△ACM（SAS），

∴MB=MC.

（2）MB=MC．

理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.

∵CE∥BD，

∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.

∵M是ED的中点，

∴MD=ME.

在△MCE和△MFD中，

∠MCE=∠MFD，

∠MEC=∠MDF，

MD=ME，

∴△MCE≌△MFD（AAS）.

∴MF=MC.

∴在△MFB和△MCG中，

MF=MC，

∠FMB=∠CMG，

BM=MG，

∴△MFB≌△MCG（SAS）.

∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，

∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.

在△FBC和△GCB中，

FB=GC，

∠FBC=∠GCB，

BC=CB，

∴△FBC≌△GCB（SAS）.

∴FC=GB.

∴MB=1

2GB=

FC=MC.

（3）MB=MC还成立．

如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.

∵CE∥BD，

∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.

又∵M是DE的中点，

∴MD=ME.

在△MDB和△MEF中，

∠MDB=∠MEF，

∠MBD=∠MFE，

MD=ME，

∴△MDB≌△MEF（AAS），

∴MB=MF.

∵CE∥BD，

∴∠FCM=∠BGM.

在△FCM和△BGM中，

CM=MG，

∠CMF=∠GMB，

MF=MB，

∴△FCM≌△BGM（SAS）.

∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.

∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.

在△CFB和△BGC中，CF=BG，

∠FCB=∠GBC，

CB=BC，

∴△CFB≌△BGC（SAS）.∴BF=CG.

∴MC=1

2CG=

BF=MB．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．

7．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.

(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.

(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出

∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；

(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出

∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.

【详解】

解：（1）连结AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,

∴AD ⊥BC ,BD=AD , ∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°, 又∵BE=AF ,

∴△BDE ≌△ADF （SAS ）, ∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°, ∴△DEF 为等腰直角三角形. （2）连结AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 , ∴AD=BD ,AD ⊥BC , ∴∠DAC=∠ABD=45° , ∴∠DAF=∠DBE=135°, 又∵AF=BE ,

∴△DAF ≌△DBE （SAS ）, ∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°. ∴△DEF 为等腰直角三角形. 【点睛】

本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．

8．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ?，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH

AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接

FG 交AB 于点l .

（1）若10AC =，求HI 的长度；

（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.

【答案】（1）HI =5；(2)见解析. 【解析】【分析】

（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ?是等边三角形得到AH=PH ，再证明

PFI BGI ???得到PI=BI ，于是可得HI =1

AB ，即可求解；

（2）延长BD 至Q ，使DQ=AB ，连结EQ ，就可以得出BE=BQ ，得出△BEQ 是等边三角形，就可以得出BE=QE ，得出△BCE ≌△QDE 就可以得出结论．【详解】

解：如图1，作FP ∥BC 交AB 于点P ，

∵ABC ?是等边三角形, ∴∠ABC=∠A=60°, ∵FP ∥BC,

∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI, ∴∠APF=∠A=60°, ∴APF ?是等边三角形, ∴PF=AF, ∵FH

AB ⊥，

∴AH=PH, ∵AF=BG, ∴PF=BG,

∴在PFI ?和BGI ?中，

PIF BIG

PFI BGI

PF BG

∠=∠

∴PFI BGI

???,

∴PI=BI,

∴PI+PH=BI+AH=

AB,

∴HI=PI+PH =

AB=

?=5；

(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠B=60°．

∵AE=BD，DQ=AB，

∴AE+AB=BD+DQ，

∴BE=BQ．

∵∠B=60°，

∴△BEQ为等边三角形，

∴∠B=∠Q=60°，BE=QE．

∵DQ=AB，

∴BC=DQ．

∴在△BCE和△QDE中，

BC DQ

B Q

BE QE

∠=∠

，

∴△BCE≌△QDE（SAS），

∴EC=ED．

∴∠ECD=∠EDC.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.

9．数学课上，张老师举了下面的例题：

例1 等腰三角形ABC 中，110A ∠=，求B 的度数.（答案：35）

例2 等腰三角形ABC 中，40A ∠=，求B 的度数.（答案：40或70或100）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下两题：变式1: 等腰三角形ABC 中，∠A=100°，求B 的度数. 变式2: 等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ，求B 的度数. （1）请你解答以上两道变式题.

（2）解（1）后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，当B 只有一个度数时，请你探索x 的取值范围. 【答案】（1）变式1: 40°；变式2: 90°或67.5°或45°；（2）90°≤＜180°或x=60° 【解析】【分析】

(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分类讨论，即可得到答案；

(2)在等腰三角形ABC 中，当B 只有一个度数时，A ∠只能作为顶角时，或∠A=60°，进而可得到答案. 【详解】

变式1:∵等腰三角形ABC 中，∠A=100°， ∴∠A 为顶角，∠B 为底角， ∴∠B =

180100

-=40°；变式2: ∵等腰三角形ABC 中，∠A= 45° ， ∴当AB=BC 时，∠B =90° ，当AB=AC 时， ∠B =67.5° ，当BC=AC 时 ∠B =45° ；

（2）等腰三角形ABC 中，设A x ∠=，

当90°≤x ＜180°，∠A 为顶角，此时，B 只有一个度数，

当x=60°时，三角形ABC 是等边三角形，此时，B 只有一个度数，综上所述：90°≤x ＜180°或x=60° 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想的应用，是解题的关键.

10．（阅读理解）

截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.

解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝B D ．连接AE ，根据∠BAC ＋∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.

根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________ （拓展延伸）

（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝A C ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由; （知识应用）

（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.

【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）

7276

+ 【解析】【分析】

（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ?=∠=，结合120BDC ?∠=知

180ABD ACD ?∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ?得

,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论；

（2）同理可证ABD ACE ?得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得

222DA AE DE +=，等量代换即得结论；

（3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知

2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.

【详解】

解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，

ABC 是等边三角形

,60AB AC BAC ?∴=∠= 120BDC ?∠=

180ABD ACD ?∴∠+∠=

又

180ACE ACD ?∠+∠=

ABD ACE ∴∠=∠

()ABD ACE SAS ∴?

,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠ 60BAC ?∠= 60BAD DAC ?∴∠+∠= 60DAE DAC CAE ?∴∠=∠+∠=

ADE ∴是等边三角形

DA DE DC CE DC DB ∴==+=+

（2）2DA DB DC =+

延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，

90BAC ?∠=，90BDC ?∠= 180ABD ACD ?∴∠+∠=

又

180ACE ACD ?∠+∠= ABD ACE ∴∠=∠ ,AB AC CE BD ==

()ABD ACE SAS ∴?

,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠ 90DAE BAC ?∴∠=∠=

222DA AE DE ∴+=

222()DA DB DC ∴=+

2DA DB DC ∴=+

（3）连接PQ ，

14,30MN QMN ?=∠=

QN MN ∴=

= 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =

-=-==

由（22PQ QN QM =+

7737276

PQ ++∴=

【点睛】

此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

11．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每一个数为它上方（左右）两数的和．事实上，这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,5,6

)n =的展开式（按a 的次数由大到小的顺序）的系数规

律．例如，此三角形中第三行的3个数1,2,1，恰好对应着2

()2a b a ab b +=++展开式中的各项系数，第四行的4个数1,3,3,1，恰好对应着

+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中的各项系数，等等．请依据上面介绍的数

学知识，解决下列问题：

（1）写出4

()a b +的展开式；

（2）利用整式的乘法验证你的结论．

【答案】（1）++++432234a 4a b 6a b 4ab b ；（2）见解析【解析】【分析】

(1)运用材料所提供的结论即可写出；（2）利用整式的乘法求解验证即可. 【详解】

（1）4322344

()464a b a a b a b ab b +=++++，

（2）方法一：()()()43

a b a b a b +=+?+ =()(

33a b a a b ab b

++++

4322332234=33+33a a b a b ab a b a b ab b ++++++

432234464a a b a b ab b =++++

方法二：()()()4

a b a b a b +=+?+ =2222(2)(2)a ab b a ab b ++++

=43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b ++++++++ = ++++432234a 4a b 6a b 4ab b . 【点睛】

解决阅读题的关键是读懂题目所给材料并理解，应用题目中给出的信息解决问题.

12．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，

()2

22222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.

（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．. 【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】

（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】 (1)

22228,8+=∴是完美数；

222925,29=+∴是完美数 (2) ()2

22)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数 (3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则(

)()

()()22

2mn a b c

d ac bd ad bc =++=++-

即mn 也是完美数. 【点睛】

本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．

13．一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”；把四位数m 的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd ，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c ﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m 的“伴随数”，并规定F （m′）＝a 2+c 2﹣2bd ；例如：m ＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5

﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．

（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F

（P'）的最大值．

【答案】（1）4192，7324；（2）42.

【解析】

【分析】

（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．

（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．

【详解】

解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．

∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．

∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．

故答案为4192；7324．

（2）∵P为“半期数”

∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣

c=900a+9c+511．

∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991

化简得：2a+c=7

①当a=1时，c=5，此时这个四位数为1456符合题意；

②当a=2时，c=3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；

③当a=3时，c=1，不符合题意，舍去；

综上所述：这个四位数只能是1456，则P'可能为4561，5614，6145．

∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P的“伴随数”，∴F（5614）=a2+c2﹣2bd=25+1﹣2×6×4=﹣22；

F（4561）=a2+c2﹣2bd=16+36﹣2×5×1=42；

F（6145）=a2+c2﹣2bd=36+16﹣2×1×5=42；

∴F（P'）的最大值为42．

【点睛】

解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b+2c﹣a﹣d|最小时，称此时的m'是m的“伴随数”来确定伴随数．