高中物理必修2同步学案：第7章 机械能守恒定律 第4节

第4节重力势能

【学习目标】：

知识与技能

1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义进行计算．

2．理解重力势能的变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关．

3．知道重力势能的相对性．

过程与方法

用所学功的概念推导重力做功与路径的关系，亲身感受知识的建立过程．

情感、态度与价值观

渗透从对生活中有关物理现象的观察，得到物理结论的方法，激发和培养学生探索自然规律的兴趣．

【预习要点】：

要点一重力做功与重力势能的变化

1．重力做功的特点

图7－4－2

(1)物体运动时，重力对它做的功，只跟物体的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．

(2)重力做功W＝mgh1－mgh2＝mg(h1－h2)，其中(h1－h2)为物体始末位置的高度差(如图7－4－2所示)，说明重力做功与路径无关，只由起点和终点位置的高度差决定．

(3)重力做功与物体受到几个力的作用以及物体做什么样的运动等因素无关．

2．重力做功与重力势能变化的关系

(1)

图7－4－3

物体的高度变化时，重力要做功，重力势能的改变与重力做功有关．重力势能的改变只由重力做功引起．如图7－4－3所示，质量为m的物体，由A点下落到B点，A点高度为h1，B点高度为h2.在这个过程中，重力做功WG＝mgh1－mgh2＝mgΔh.

(2)若物体由B点上升到A点，则在这个过程中重力对物体做负功，即物体克服重力做功．

(3)重力做功的正负决定了物体重力势能减小还是增加．

(4)重力势能的改变只与重力做功相联系，与其他力做功无关．

要点二重力势能的理解

1．公式：Ep＝mgh，即物体的重力势能等于它所受的重力与其所处高度的乘积．

2．特点

(1)重力势能是物体和地球所组成的物体“系统”共同具有的能量，即重力势能具有系统性．

(2)重力势能具有相对性．Ep＝mgh与参考平面的选择有关，h是物体重心到参考平面的高度．重力势能是标量，只有大小没有方向，但有正、负，当物体在参考平面之上时，Ep取正值；当物体在参考平面之下时，Ep取负值．物体重力势能正、负的物理意义是表示其比零势能大还是比零势能小，与功的正、负的物理意义不同．

(3)重力势能的变化是绝对的．物体从一个位置到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选择无关，它的变化是绝对的．

3．重力势能的参考平面的选取是任意的．视处理问题方便而定，一般可选择地面或物体运动时所达到的最低点为零势能参考点．

4．关于绳子、链条类柔软物体的重力势能

(1)Ep＝mgh，h表示物体重心相对零势面的高度．

(2)重心的位置与物体的形状、质量分布是否均匀有关．

(3)粗细均匀，质量分布均匀的绳子或链条其重心在其长度的一半处，当以直线状(或水平或竖直或倾斜)形式放置时，Ep＝mgh，其中h表示长度一半位置相对零势面的高度，当不以直线状(如折线状)形式放置时，应当分段表示重力势能再求和.

【答疑解惑】：

1.平常我们总是说物体的重力势能，为什么说重力势能是物体和地球所组成的物体“系统”共有的呢？

重力势能跟重力做功密切相关，而重力是地球与物体之间的相互作用力．也就是说，倘若没有地球，就谈不上重力．所以，严格来说，重力势能是地球与物体所组成的物体“系统”所共有的，而不是地球上的物体单独具有的．

除了重力势能，还有其他形式的势能．任何形式的势能，都是物体系统由于其中各物体之间，或物体内的各部分之间存在相互作用(力)而具有的能，是由各物体的相对位置决定的．例如，分子之间由于存在相互作用而具有势能，叫做分子势能，由分子间的相对位置决定；电荷之间由于存在相互作用而具有势能，叫做电势能，由电荷间相对位置决定．分子势能或电势能分别属于分子或电荷组成的系统，不是一个分子或一个电荷单独具有的．2．重力势能为零的物体，不可能对别的物体做功，这种认识对吗？重力势能是过程量还是状态量？

(1)重力势能的大小具有相对性，其大小与参考平面的选取有关，所以重力势能为零的物体，是指物体处于参考平面上，并不能表明物体不具有做功的本领．如在地面上流动的一薄层水，若取地面为参考平面，则其重力势能为零，但当这些水流向更低处时仍可对别的物体做功．

(2)物体处于一定高度(即处于一定状态)时具有一定的重力势能，只要这个高度(即状态)不变，它的重力势能就不会改变，这说明重力势能跟动能一样，只与物体的状态有关，重力势能是状态量．

3．如何理解重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性？

选定水平面A 为零重力势能参考平面时，则物体在水平面A 时重力势能为零，下落到水平面B 时重力势能为－mgΔh ；选定水平面B 为零重力势能参考平面时，则物体在水平面A 时重力势能为mgΔh ，下落到水平面B 时重力势能为零．我们由此可以体会重力势能的相对性．

无论怎样选定零势能平面，最终下落过程的重力势能变化量均为－mgΔh.由此可以体会重力势能变化的绝对性．

同一个物体相对于不同的零重力势能参考平面来说，其重力势能的大小不同，这就是重力势能的相对性．

而重力势能的变化量与零重力势能参考平面的选择情况无关，这叫做重力势能变化的绝 对性.

【典例剖析】：

一、重力做功问题

例1 在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v 0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)( )

A ．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等

B ．从抛出到刚着地，重力分别对两球做的功都是正功

C ．从抛出到刚着地，重力对两球的平均功率相等

D ．两球刚着地时，重力的瞬时功率相等

解析 重力做功只取决于初、末位置的高度差，与路径和运动状态无关．由W ＝mgh 得出大小只由重力和高度的变化决定，故A 、B 项正确．由于竖直上抛比竖直下抛的运动时间长，由P ＝W

t ，知P 上

率P ＝mgv ，则相同，故D 项正确．

答案 ABD

方法总结

1．重力做功的特点，只与初、末位置有关，与路径无关． 2．做功大小只取决于mg 与h ，与运动状态及其受力无关.

二、重力势能及其变化的理解 例2 如图7－4－4所示，

图7－4－4

桌面距地面的高度为0.8 m ，一物体质量为2 kg ，放在距桌面0.4 m 的支架上，则(g 取10 m/s 2)

(1)以桌面为零势能参考面，计算物体具有的重力势能，并计算撤去桌面及支架后物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？

(2)以地面为零势能参考面，计算物体具有的重力势能，并计算撤去桌面及支架后物体

由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？

(3)比较以上计算结果，说明什么问题？

解析 (1)以桌面为零势能参考平面，物体距零势能参考面的高度为h 1＝0.4 m ，因而物体具有重力势能E p1＝mgh 1＝2×10×0.4 J ＝8 J.

物体由支架落至地面时，物体的重力势能为E p2＝mgh 2＝2×10×(－0.8) J ＝－16 J ，因此物体在此过程中的重力势能减少量ΔEp ＝E p1－E p2＝24 J.

(2)以地面为零势能参考面，物体的高度h 1′＝(0.4＋0.8) m ＝1.2 m ，因而物体的重力势能E p1′＝mgh 1′＝2×10×1.2 J ＝24 J.

物体落至地面的重力势能E p2′＝0. 在此过程中，物体的重力势能减少量 ΔEp ′＝E p1′－E p2′＝24 J －0＝24 J

(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关．而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关．

答案 (1)8 J 24 J (2)24 J 24 J (3)见解析

方法总结

1．重力势能具有相对性，h 是相对于参考面而言的，故计算重力势能时要先选参考平面．

2．重力势能的改变具有绝对性，它只取决于初、末位置的高度差. 三、重力做功与重力势能的变化关系

例3 起重机以g

4的加速度，将质量为m 的物体匀减速地沿竖直方向提升h 高度，则起

重机钢索的拉力对物体做的功为多少？物体克服重力做功为多少？物体的重力势能变化了多少？(空气阻力不计)

解析 由物体运动的加速度，据牛顿第二定律可确定物体所受的合力及钢索对物体的拉力．再由功的定义式及重力做功与重力势能的变化关系求解．

由题意可知，起重机的加速度a ＝g

4，物体上升高度h ，根据牛顿第二定律得mg －F ＝

ma

F ＝mg －ma ＝mg －m g 4＝3

4mg ，方向竖直向上

所以拉力做功WF ＝Fhcos 0°＝3

4

mgh

重力做功WG ＝mghcos 180°＝－mgh ，即物体克服重力做功为mgh. 又因为WG ＝E p1－E p2＝－mgh WG<0，E p1

即物体的重力势能增加了mgh. 答案 3

4

mgh mgh 增加了mgh

方法总结

在应用重力做功和重力势能变化关系解题时应注意：

(1)重力做的功等于重力势能的减少量而不是增加量，WG ＝E p1－E p2. (2)重力势能的变化由重力做功多少来量度.

【课堂练习】：

1.如图7－4－5所示，

图7－4－5

A点距地面高为h，B点在地面上，一物体沿两条不同的路径ACB和ADB由A点运动到B点，则()

A．沿路径ACB重力做的功多一些

B．沿路径ADB重力做的功多一些

C．沿路径ACB和路径ADB重力做的功一样多

D．无法判断沿哪条路径重力做的功多一些

答案 C

2．关于重力势能，下列说法中正确的是()

A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定

B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大

C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了

D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功

答案 D

解析物体的重力势能与参考面有关，同一物体在同一位置相对不同的参考面的重力势能不同，A选项错．物体在零势能面以上，距零势能面的距离越大，重力势能越大；物体在零势能面以下，距零势面的距离越大，重力势能越小，B选项错．重力势能中的正、负号表示大小，－5 J的重力势能小于－3 J的重力势能，C选项错．重力做的功量度了重力势能的变化，D选项正确．

3．下列关于重力做功及重力势能的说法中，正确的是()

A．两物体A、B，A的高度是B的2倍，那么A的重力势能也是B的2倍

B．如果考虑空气阻力，从某一高度下落一物体到达地面，物体重力势能的减少要比无阻力自由下落时重力势能减少得少

C．重力做功的多少，与参考平面的选取无关

D．相对不同的参考平面，物体具有不同数值的重力势能，但这并不影响研究有关重力势能的问题

答案CD

解析由重力势能计算公式Ep＝mgh可知，重力势能由mg和h共同决定，故A选项错误；由ΔEp＝－mgh可知，重力势能的变化只与mgh有关，而与阻力无关，故B错误，C正确；虽然重力势能具有相对性，选择不同的参考平面，物体具有不同重力势能的数值，但这并不影响对重力势能的研究，故D正确．

4．利用超导材料和科学技术可以实现磁悬浮．若磁悬浮列车的质量为20 t，因磁场间的相互作用而浮起的高度为100 mm，则该过程中磁悬浮列车增加的重力势能为() A．20 J B．200 J

C．2.0×104 J D．2.0×107 J

答案 C

解析因磁场间的相互作用，列车浮起的高度为100 mm，增加的重力势能为ΔEp＝mgh

＝20×103×10×100×10－

3 J ＝2.0×10

4 J ，正确选项为C.

5．甲、乙两个物体的位置如图7－4－6所示，

图7－4－6

质量关系m 甲

A ．E p1>E p2

B ．E p1

C ．E p1＝E p2

D ．无法判断 答案 A

6．一只100 g 的球从1.8 m 的高处落到一个水平板上又弹回到1.25 m 的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g ＝10 m/s 2)( )

A ．重力做功为1.8 J

B ．重力做了0.55 J 的负功

C ．物体的重力势能一定减少0.55 J

D ．物体的重力势能一定增加1.25 J 答案 C

解析 整过程重力做功WG ＝mgh ＝0.1×10×0.55 J ＝0.55 J ，故重力势能减少0.55 J ，所以选项C 正确．

7.

图7－4－7

面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a ，密度为水的1

2，

质量为m ，开始时，木块静止，有一半没入水中．如图7－4－7所示，现用力F 将木块缓慢地压到池底，不计摩擦．求从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量.

答案 2mg(H －a) 解析

如右图所示的1和2分别表示木块在刚没入水中时和到达池底时的位置，木块从位置1移到位置2，相当于使同体积的水从位置2移到位置1，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和在位置2的势能之差．因为木块密度为水的1

2，木块的质量为m ，所以与木块

同体积的水的质量为2m ，故池水的势能改变量：

ΔEp ＝2mg ????H －a 2－2mg a

2

＝2mg(H －a) 【课内探究】：

题型 ① 重力做功的特点问题

如图1所示，

图1

质量为m 的小球从高为h 的斜面上的A 点滚下经水平面BC 后，再滚上另一斜面，当它到达h

3

处的D 点时，速度为零，此过程中重力做的功是多少？

答案 2

3

mgh

解析 解法一 根据重力做功的特点，重力做功只与AD 的高度差有关． 即WG ＝mg(h －h 3)＝2

3

mgh.

解法二 根据重力做功与重力势能变化的关系来求．规定地面为参考平面，则WG ＝－(13mgh －mgh)＝2

3

mgh. 拓展探究 将一个物体由A 移至B ，重力做功( )

A ．与运动过程中是否存在阻力有关

B ．与物体沿直线或曲线运动有关

C ．与物体做加速、减速或匀速运动有关

D ．与物体初末位置的高度差有关 答案 D

归纳总结

1．重力做功与物体的运动路径无关，只与初、末位置的高度差有关，这一点尤其在解一些往复运动或多个运动过程的复杂问题时，更为方便，在解题中可以省去大量中间过程，一步求解，灵活性强．

2．重力做功大小只与重力高度变化有关，与受其他力及运动状态均无关.

题型 ② 重力势能以及重力势能的变化问题

如图2所示，

图2

质量为m 的小球，从离桌面H 高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平

面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是() A．mgh减少mg(H－h)

B．mgh增加mg(H＋h)

C．－mgh增加mg(H－h)

D．－mgh减少mg(H＋h)

答案 D

解析以桌面为参考平面，落地时物体的重力势能为－mgh.末状态的重力势能为－mgh，初状态的重力势能为mgH，重力势能的变化即为－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，重力势能减少了mg(H＋h)．

拓展探究上题中，若以地面为参考面结果如何呢？

答案落地时重力势能为0，整个过程中重力势能减少了mg(H＋h)．

解析以地面为参考面，参考面上所有物体的重力势能为0.

初状态重力势能mg(H＋h)，故整个过程重力势能减少了mg(H＋h)．

归纳总结

1．物体所具有的重力势能具有相对性，计算公式Ep＝mgh，h是相对于参考平面而言的高度，参考平面选择不同，则相对高度h不同，重力势能的大小不同．2．重力势能的改变量ΔEp＝mgΔh，Δh具有绝对性，它表示物体初位置和末位置的高度差.

题型③重力做功与重力势能的改变之间的关系

如图3所示，

图3

总长为2 m的光滑匀质铁链，质量为10 kg，跨过一光滑的轻质定滑轮．开始时铁链的两端相齐，当略有扰动时某一端开始下落，求：从铁链刚开始下落到铁链刚脱离滑轮这一过程中，重力对铁链做了多少功？重力势能如何变化？(g取10 m/s2)

答案50 J重力势能减小50 J

解析

开始时，链条重心在A点，链条将要离开滑轮时，重心在B点，则此过程中链条重心下降距离

Δh＝0.5 m

重力做功WG＝mgΔh

＝10×10×0.5 J＝50 J

重心下降，重力做正功，故链条重力势能减小50 J.

拓展探究 一根均匀

图4

的直棒水平放在地面上，将它垂直立起时O 端不滑动，如图4所示，若棒的质量为m ，棒长为l ，则棒被垂直立起时外力做功至少为多少？重力做功为多少？重力势能如何变化？

答案 12mgl －mgl 2 势能增加mgl 2

解析 外力克服重力做功，使棒的重力势能增加，W 外

＝－WG ＝mgl 2，WG ＝－mgl

2

，

由于重力做负功，所以重力势能增加mgl

2

.

归纳总结

1．解决此类问题，必须理解重力做功与物体重力势能的改变之间的关系，即：重力做功量度重力势能的改变，重力做多少功，物体的重力势能就改变多少，重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势能增加．还要理解重力做功与路径无关的特点．

2．像链条、绳子等有形状的物体，计算势能，取它们重心的变化来分析高度的变化.

【课后练习】：

1.如图5所示，

图5

某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A 点滚到了山脚下的B 点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是( )

A ．从A 到

B 的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功 B ．从A 到B 过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功

C ．从A 到B 重力做功mg(H ＋h)

D ．从A 到B 重力做功mgH 答案 D

2．关于重力势能，下列说法中正确的是( ) A ．重力势能的大小只由重物本身决定 B ．重力势能恒大于零

C ．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零

D ．重力势能实际是物体和地球所共有的 答案 D

解析 重力势能Ep ＝mgh ，h 取决于零势能面的选取，势能具有系统性．故只有选项D 正确．

3．要将一个质量为m 、边长为a 的匀质正立方体翻倒，推力对它做功至少为( )

A.2mga

B.2

mga

2

C ．(2＋1)mga 2

D ．(2－1)mga

2

答案 D

解析 正确地画出物体在翻倒的过程中的示意图，是解答问题的关键．推力对物体所做的功，增加了物体的重力势能，即WF ＝ΔEp ，ΔEp ＝mg(

22a －1

2a)＝2－12

mga ，正确选项为D.

4．有关重力势能的变化，下列说法中正确的是( )

A ．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J ，但物体重力势能的增加量有可能不是1 J

B ．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的

C ．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的

D ．物体运动中重力做功是－1 J ，但物体重力势能的增加量不是1 J 答案 ABC

解析 据重力做功与经过路径无关，与是否受其他力无关，只取决于始末位置的高度差的特点，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知B 、C 对，D 错．对于A 选项，当物体加速运动时克服重力做功少于1 J ，重力势能增加少于1 J ．物体减速运动时，克服重力做功即重力势能增加量大于1 J ，只有物体匀速向上运动时，克服重力做功重力势能增加量才是1 J ，A 对．

5．运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是( )

A ．阻力对系统始终做负功

B ．系统受到的合外力始终向下

C ．重力做功使系统的重力势能增加

D ．任意相等的时间内重力做的功相等 答案 A

解析 运动员无论是加速下降还是减速下降，阻力始终阻碍系统的运动，所以阻力对系统始终做负功，故选项A 正确；运动员加速下降时系统受到的合外力向下，减速下降时系统所受的合外力向上，故选项B 错误；由W G ＝－ΔEp 知，运动员下落过程中重力始终做正功，系统重力势能减少，故选项C 错误；运动员在加速下降和减速下降的过程中，任意相等时间内所通过的位移不一定相等，所以任意相等时间内重力做功不一定相等，D 错误．

6．一条长为l 、质量为m 的匀质轻绳平放在水平地面上，在缓慢提起全绳的过程中，设提起前半段绳人做的功为W 1，提起后半段绳人做的功为W 2，则W 1∶W 2等于( )

A ．1∶1

B ．1∶2

C ．1∶3

D ．1∶4 答案 C

解析 由于重力做功与物体的运动路径无关，只与初、末位置的高度差有关，所以提起前半段绳子克服重力做功

W 1＝mg 2·l 4＝18

mgl

提起整条绳子克服重力做功W 0＝mg l

2

所以提起后半段绳子克服重力做功W 2＝W 0－W 1＝3

8mgl

则W 1∶W 2＝1∶3，故选项C 正确． 7．如图6所示，

图6

在光滑的桌面上有一根均匀柔软的质量为m 、长为l 的绳，其绳长的1

4悬于桌面下，从

绳子开始下滑至绳子刚好全部离开桌面的过程中，重力对绳子做的功为多少？绳子重力势能变化如何？(桌面离地高度大于l.)

答案

1532mgl 重力势能减少了1532

mgl 解析 取桌面为参考平面，刚开始时绳子的重力势能为E p1＝14mg ×(－18l)＝－1

32mgl ，

当绳子刚好全部离开桌面时，绳子重力势能为E p2＝－mg ×12l ＝－1

2mgl ，ΔEp ＝E p2－E p1＝－

12mgl －(－132mgl)＝－1532mgl ，负号说明重力势能减少了，WG ＝－ΔEp ＝15

32

mgl. 8．如图7所示，

图7

杆中点有一转轴O ，两端分别固定质量为2m 、m 的小球a 和b ，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a 和b 构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少？

答案 减少 减少了mgL

解析 分别求解重力对a 、b 做功的情况，进而得出重力对系统做的总功，由此根据重力做功与重力势能之间的变化关系得出结论即可．本题也可以选原来水平放置为零势能参考平面，分别计算a 、b 两物体势能的改变，最终得出系统势能的变化情况．

重力对小球a 做的功为W 1＝2mgL 重力对小球b 做的功为W 2＝－mgL

则重力对由a 、b 组成的系统所做的总功为 WG ＝W 1＋W 2＝2mgL ＋(－mgL)＝mgL

因为WG>0，所以小球a 和b 构成的系统重力势能减少，且减少了mgL. 9．如图8所示，

图8

有一连通器，左右两管的横截面积均为S ，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h.若打开底部中央的阀门K ，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力势能变化了多少？

答案 重力势能减少了1

4

ρgSh 2

解析 由于A 、B 两管的横截面积相等，所以B 管中液面下降的高度和A 管中液面上升的高度相同，液面最终静止在

初始状态A 管液面上方1

2h 处．由于物体重力势能的变化与过程无关，可将上述过程简

化，视为将B 管中1

2h 高的液柱移到A 管中，达到液体最终静止的状态，而其他的液体位置

没有变化，对应重力势能也没有变化．不难判断，B 管中重力势能变化的部分液柱其重心的高度减小了Δh ＝12h ，它所受的重力mg ＝1

2ρSh·g ，所以全部液体的重力势能减小了ΔEp ＝

mg·Δh ＝1

4h 2ρgS.