弹塑性力学总结

弹塑性力学总结

弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：

一、弹性力学

1、弹性力学的基本假定

求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。

在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。

（1）假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。

（2）假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。

（3）假设物体是均匀的。就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。

（4）假设物体是各向同性的。也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。

（5）假设物体的变形是微小的。即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸代替变形后尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积都可以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。

2、外力和应力的概念

作用于弹性体的外力可以分为体（积）力和（表）面力。体力是分布在弹性体体积内质量上的力，例如重力和惯性力、磁力等。在物体内任一点的体力，用作用于其上的单位体积的体力沿坐标轴上的投影

、、来表示。它们的指向以沿坐标轴正方向为正；反之为负。这三个X Y Z

投影称为该点的体力分量。

面力是指作用于弹性体表面上的外力，例如流体压力和接触力等。可以是分布力，也可以是集中力。在弹性表面上任一点的面力，用作用于其上的单位面积上面力沿坐标轴上的投影X、Y、Z来表示。它们的指向也以沿坐标轴正方向的为正，反之为负。这三个投影称为该点的面力分量。

弹性体在外力作用下变形，而在弹性体内部为了阻止其变形就产生了内力来平衡外力。作用在单位面积上的内力称为应力。

3、一点的应力状态

出

如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面就称为一个正面，而这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面就称为一个负面，而这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。图上所示的应力分量全部都是正的。注意，虽然上述正负号规定对于正应力说来，结果是和材料力学中的规定相同（拉应力为正而压应力为负），但是，对于剪应力说来，结果却和材料力学中的规定不完全相同。

剪应力的互等关系：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）。

yz zy zx xz xy yx ττττττ===，，

（1）

4、斜截面应力公式，物体表面给定力的边界条件

现在，假定物体在任一点P 的六个应力分量x y z yz zx xy σσστττ、、、、、为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。为此，在P 点附近取一个平面

ABC

，平行于这一斜面，并与经过P 点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体P A B C ，如图2所示。当平面ABC 趋近于P 点时，平面

ABC

上的

图2 物体内任意一点的应力状态

设斜面ABC 的向外法线为N ，而N 的方向余弦为：

()()()

cos cos cos l n x m n y n n z ===,,, （2）

由平衡条件

0X

F

=∑、0Y F =∑及0Z

F

=∑可得出与上式相似的两个方

程。简化后三个方程为：

N x yx zx N y zy xy N z xz yz

X l m n Y m n l Z n l m σττσττσττ=++=++=++ （3）

设三角形ABC 上的正应力为N σ，则由投影可得：

222

222N x y z yz zx xy l m n mn nl lm σσσστττ=+++++

（4） 设三角形ABC 上的剪应力为N τ，则由于：

222222N

N

N

N

N

N

S

X

Y

Z

σ

τ

=+=++ （5） 而有：

22222N

N

N

N

N

X

Y

Z

τ

σ

=++-

（6）

由公式（4）和（5）可见，在物体的任意一点，如果已知六个应力分量

x y z y z

z x

σσστττ、、、、、，就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。因此，可以说，六个应力分量完全决定了一点的应力状态。

在特殊情况下，如果AB C 是物体的边界面，则N X 、N Y 、N Z 成为面力分量X 、Y 、Z ，于是由公式（3）得出：

x yx zx y zy xy z xz yz l m n X m n l Y n l m Z

σττσττσττ++=++=++= （7）

这就是弹性体的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。

5、应力分量的坐标转换关系

若物体处在某一确定的应力状态，在某一组坐标系中，这个应力状态可以用六个应力分量ij σ表示，在另一组坐标系中，同一个应力状态却以另外一组不同的应力分量kl σ表示。两组应力分量之间应力满足一定的坐标转换关系。在物体上任一点处，第一组坐标系的坐标轴为X Y Z 、、，第二组坐标系的坐标轴为'X ,'Y ,'Z ，它们之间的夹角方向余弦见表。

两组不同坐标系中的应力分量满足以下关系：

1112131

1111

12131232122232

2221

2223

12331

32333

3331

32

331

2

3l m n l l l l m n m m m l m n n n n σττστττσττστττσττσ????????

???????

?=????????????????????????

（8）

上式也可以表示成抽象的矩阵乘式:

kl ki ij jl σβσβ=

（9）

例如：若第一组坐标系为直角坐标系()x z 、y 、，第二组坐标系为圆柱坐标系()r z θ、、，可知两组坐标系的转换矩阵为：

cos sin 0sin cos 000

1ki

θ

θβθθ??

?

?=-?????

?

（10）

6、主应力、应力主方向、主剪应力

若经过物体中一点P 处的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P 点的一个主应力，该斜面称为P 点的一个主应力面，而该斜面的垂线方向称为P 点的一个主应力方向。

可以证明，在弹性体的任一点，一定存在三个相互垂直的主应力面及和它们对应的三个主应力，通常用123σσσ、、。而且，任何一个斜面上的正应力都不会大于三个主应力中最大的一个，也不会小于三个主应力中最小的一个。主应力与主方向可以用以下的方法求得：

假设N 是P 点应力状态ij σ的一个主方向，N 与原始坐标系x y z 、、的夹角方向余弦为n l 、m 、，它们间总满足：

2

2

2

1l m n ++=

（11）

在垂直于N 的截面上只有正应力σ(某个主应力)作用，则由柯西公

式知：

x yx zx y zy xy z xz yz l m n l m n l m n l m n σττσσττσσττσ

++=++=++= （12）

上式中n l 、m 、为待求的方向余弦，将上式移项可以得到求解的齐次线性方程组：

()()()000

x yx zx xy y zy xz yz z l m n l m n l m n σστττσστττσσ

-++=+-+=++-= （13）

方程(13)零解的条件是其系数行列式值为零，即：

()

()

()3

2

1230x yx

zx

xy y

zy xz

yz

z I I I σστττσ

σ

τσσ

σττσσ??

-?

?-=-+-=????

-????

（14）

式（14）称为该应力状态的特征方程式，它是一个三次代数方程，

可以证明它有三个实根，称为特征根，就是应力状态ij σ所对应的主应力。可以证明，特征方程(14）式的系数13I I 2，I ，是只与应力状态有关，与所选择的原始坐标系无关的量，分别称为该应力状态的第一、第二、第三不变量。即

1x y

z I σσ

σ=++

（15） 2x

yx y zy x zx xy

y yz z xz

z I στστσττστστσ??

??

??

=++?

???????????

（16）

3x yx zx xy

y zy xz

yz

z I στττστττσ????

=??????

（17）

7、叠加原理与圣维南原理

在解决一个弹性力学问题时，我们常常利用叠加原理来有效地处理各种复杂载荷作用的情况。叠加原理是：

考虑同一物体受两组载荷作用，第一组为体力'i f ()123i =，，和面力

'

i

F

()123i =，

，；第二组为体力''

i

f

()123i =，

，和面力''

i F ()123i =，，，它们引起的应力和全移场分别为'ij σ和'i u 以及''ij σ和''i u ()123i j =，，，。如果物体处于线弹性、小变形状态，两组载荷同时作用时物体内的应力和位移场等于它们单独作用时相应的应力与位移场之和。

弹性理论要求在物体的每个边界点上都给定边界条件。实际工程问题却往往只知道总的载荷量，只能提出等效的近似边界条件，给不出详细的载荷分布规律。另外，解题时往往难于满足逐点给定的精确边界条件，因而也希望能找到一种边界条件的简化方案。

圣维南原理指出:由作用在物体局部表面上的自平衡力系(即合力与合力矩为零的力系)，所引起的应变，在远离作用区(距离远大于该局部作用区的线性尺寸)的地方可以忽略不计。圣维南原理的另一种提法是:若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效的力系来代替。则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离作用区的距离增加而迅速衰减。显然，上述两种提法是完全等效的。

8、平面应力问题与平面应变问题

平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。

平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。

具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是

o x y 平面，那么只有正应力x y

σσ

、和剪应力xy τ(它们都在一个平面内)，没

有z yz zx σττ、、。

平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是o xy 平面，则只有正应变x y εε、和剪应变xy γ，而没有z yz zx εγγ、、。

举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。 9、弹性力学的基本方法

在弹性力学里求解问题，主要有三种基本方法，分别是按位移求解、按应力求解和混合求解。

按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，根据基本方程和边界条件求出位移分量，从而求出其他分量。

按应力求解一般有逆解法和半逆解法。所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数?，从而求出应力分量。然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。所谓半逆解法，就是针对所要解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数?，然后来考察这个应力函数是否满足相容方程以及原来假设的应力分量和由这个应力函数求出其他应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。

相容方程：

()22

220x y x y σσ??

??++= ?????

（21）

二、塑性力学

1、塑性力学的基本假设

当作用在物体上的外力取消后，物体的变形不完全恢复，而产生一部分永久变形时，这中变形为塑性变形。

在实验的基础上，塑性力学一般采用以下假设：

（1）材料是连续的，均匀的。

（2）平均正应力（静水压力）不影响屈服条件和加载条件。

（3）体积的变化是弹性的。

（4）不考虑时间因素对材料性质的影响。

2、变形体的模型

对于不同的材料，不同的应用领域，我们可以采用不同的变形体的模型，这种模型必须符合材料的实际性质。不同的材料有不同的拉伸曲线，但它们具有一些共同性质。其拉伸曲线图如图3。

如按上面曲线来解决具体问题将异常复杂，因此将其简化，具体见图4。

3、屈服条件

对于处于单向拉伸（或压缩）的物体，当应力达到屈服极限时，材料开始进入塑性状态，对于处于复杂应力状态的物体，由弹性状态过渡到塑性状态的临界条件称为屈服条件。在应力空间将初始屈服的应力点连成的弹性和塑性的分界面称为屈服面。描述屈服面的数学表达式称为屈服函数。常用的各向同性金属材料的屈服试验表明，屈服应力数据点介于屈雷斯卡（Tre sc a ）屈服条件和密赛斯（Mis es ）屈服条件之间，而更接近于密赛斯屈服条件。

1）、屈雷斯卡屈服条件（最大切应力条件）

屈雷斯卡屈服条件为：当最大切应力达到某一极限值时，材料开始进入塑性状态，即

13s σσσ-=，123σσσ≥≥

（22）

在主应力空间，当差值12σσ-、23σσ-、31σσ-中任意一个达到2k 时，

材料进入塑料性状态，即

23311

2s

s s σσσσσσσσσ

?-≤?

-≤??-≤?

（23）

因此用屈雷斯卡条件表示的屈服面为由下列六个平面组成的正六边形柱

材料常数k 由实验确定。在拉伸试验时，12s k σσ==，即/2s k σ=。在纯剪切试验时，1322s k σστ-==，即s k τ=。如果屈雷斯卡条件成立，必有

/2s s τσ=。

2）、密赛斯屈服条件

密赛斯条件为：:当切应力强度I τ等于剪切屈服极限s τ时，材料开始屈服；或者当应力强度I σ等于拉伸屈服极限s σ时，材料开始屈服，即

()

()()()

()()()2

22

2

1223312

2

2

2

2

2

2262s

x

y

y z z x xy yz zx

s

σσσσσσσσ

σ

σσσστττσ

-+-+-=-+-+-+++=

（24）

对于密赛斯条件，s s τσ=。密赛斯条件与屈雷斯卡条件的最大差别不超过15%。

在主应力空间，密赛斯屈服面为一外接于屈雷斯卡屈服面的圆柱面。在平面应力状态，设30σ=，则在1σ、2σ应力平面上，密赛斯条件为一椭圆，屈雷斯卡条件为内接六边形（图6）。

4、塑性应力应变关系

塑性应力应变关系有增量（流动）理论和全量（形变）理论两种类型。

1）、增量理论

全量理论用应力和应变的瞬时值表示的塑性应力应变关系，是塑性应力应变增量关系沿加载途径的积分形式。当满足小变形及简单加载（应力分量成比例增长）条件，应力强度和应变强度之间存在单一的函数关系。

2）、全量理论

材料在塑性变形时，应力与应变之间一般不存在一一对应的关系。增量理论假设在塑性流动的任一瞬时，塑性应变增量矢量与加载面正交。