2014-2015学年天津市南开中学高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!）
1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A ∪B ）∩C 为（ ） A ． {1，2，5} B ． {﹣1，2，5} C ． {2，5，7} D ． {﹣7，2，5}
2．设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2
＞b 2
”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 3．不等式
的解集是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+y 的最大值为（ ）
A ． 4
B ． 11
C ． 12
D ． 14
5．函数f （x ）=|x ﹣2|﹣lnx 在定义域内零点的个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
6．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣），若存在a ∈（0，π），使得f （x+a ）=f （x+3a ）恒成立，则a=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜
）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是
（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc
的取值范围为（）
A．（1，10）B．（5，6）C．（10，15）D．（20，24）
二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）
9．已知向量=（2，5），=（，y），且⊥（+2），则y的值为．
10．设向量，，其中0＜α＜β＜π，若
，则β﹣α=．
11．已知，其中，则cosα=．
12．已知正数a．b满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是．13．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．
14．有下列四个命题：
（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题；
（2）“全等三角形的面积相等”的否命题．
（3）“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题的是．
三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p
或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．
16．已知，
（Ⅰ）求tanx的值；
（Ⅱ）求的值．
17．解关于x的不等式＞0（a∈R）．
18．设x∈R，函数f（x）=cos（ωx+?）（ω＞0，）的最小正周期为π，．
（Ⅰ）求ω和?的值；
（Ⅱ）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（Ⅲ）若的取值范围．
19．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）?﹣2．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．
20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若?a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有
＞0，
（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对?x∈[﹣1，1]及?a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．
2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试
卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!）
1．设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5} B．{﹣1，2，5} C．{2，5，7} D．{﹣7，2，5}
考点：交集及其运算；并集及其运算．
专题：计算题．
分析：由A与B求出两集合的并集，找出并集与C的交集即可．
解答：解：∵集合A={2，5}，集合B={1，2}，
∴A∪B={1，2，5}，
∵C={1，2，5，7}，
∴（A∪B）∩C={1，2，5}．
故选A
点评：此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．
解答：解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；
反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．
故选D
点评：判断充要条件的方法是：
①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法．
3．不等式的解集是（）
A．B．C．
D．
考点：其他不等式的解法．
分析：本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解．
解答：解：本小题主要考查分式不等式的解法．易知x≠1排除B；由x=0符合可排除C；
由x=3排除A，故选D．也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解
故选D
点评：本题考查分式不等式的解法，注意分母不为0，属基本题．
4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；数形结合．
分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
解答：解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：
三个顶点坐标为（0，1）、（2，3）、（1，0），
将（2，3）代入z=4x+y得到最大值为11．
故选B．
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
5．函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点：函数的零点；对数函数的单调性与特殊点．
专题：函数的性质及应用．
分析：先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x﹣2|，
y2=lnx（x＞0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．
解答：解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．
令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：
由图得，两个函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
故选C．
点评：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．
6．已知函数f（x）=sin（2x﹣），若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）
A．B．C．D．
考点：三角函数的周期性及其求法；函数恒成立问题．
专题：计算题．
分析：首先求出f（x+a）和f（x+3a），然后根据正弦的周期性求出a的值．
解答：解：f（x+a）=sin（2x+2a﹣）
f（x+3a）=sin（2x+6a﹣）
因为f（x+a）=f（x+3a），且a∈（0，π）
所以2x+2a﹣+2π=2x+6a﹣
∴a=
即存在a=使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立．
故选D．
点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题．
7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．B．C．D．
考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T==π，解得ω=2．由函数当x=时取得最大值2，得到+φ=+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣．由此即可得到本题的答案．
解答：解：∵在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，
∴函数的周期T满足=﹣=，
由此可得T==π，解得ω=2，
得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
又∵当x=时取得最大值2，
∴2sin（2?+φ）=2，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=0，得φ=﹣
故选：A．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题．
8．已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc
的取值范围为（）
A．（1，10）B．（5，6）C．（10，15）D．（20，24）
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：计算题；作图题；数形结合．
分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．
解答：解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，15）．
故选C．
点评：此题是中档题．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）
9．已知向量=（2，5），=（，y），且⊥（+2），则y的值为﹣3．
考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意可得=29+2（+5y）=0，解此方程求得y的值．
解答：解：由题意可得=+2=29+2（+5y）=0，解得y=﹣3，
故答案为﹣3．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．
10．设向量，，其中0＜α＜β＜π，若
，则β﹣α=．
考点：向量的模．
分析：利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积公式求出；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程求出，求出两个角的差．
解答：解：∵，
∴，=cos（β﹣α）
∵
∴
∴
即cos（β﹣α）=0；
又有0＜α＜β＜π，
∴
故答案为
点评：本题考查向量模的坐标公式、向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方．
11．已知，其中，则cosα=．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由α的范围求得的范围，由平方关系结合已知求得，再由cosα=cos[（）﹣]展开两角差的余弦得答案．
解答：解：∵，∴，
又，∴．
则cosα=cos[（）﹣]=cos（）cos+sin（）sin
=．
故答案为：．
点评：本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，考查了两角和与差的三角函数，关键是“拆角与配角”思想的应用，是中档题．
12．已知正数a．b满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是（5，10）．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得结论、
解答：解：∵正数a．b满足4a+b=30，
∴=（4a+b）（）=≥?（5+）=0.3，
当且仅当，即a=5，b=10时，取最小值0.3．
∴实数对（a，b）是（5，10）．
故答案为：（5，10）．
点评：本题考查基本不等式的运用，考查“1”的代换，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键．
13．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，
则f（）+f（）=．
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．
解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）
=，
则f（）+f（）
=f（8﹣）+f（8﹣）
=f（﹣）+f（﹣）
=﹣f（）﹣f（）
=
==．
故答案为：．
点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．
14．有下列四个命题：
（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题；
（2）“全等三角形的面积相等”的否命题．
（3）“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题的是①③．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：阅读型．
分析：可写出各选项的命题内容，再去判断真假．
解答：解：（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题是“若X，Y互为相反数，则X+Y=0”．为真命题．
（2）“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”是假命题
（3）“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是“若x2+2x+q=0没有实根，则q＞1”
∵△=4﹣4q＜0，q＞1 所以为真命题．
（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边的三角形”是假命题．
故答案为：①③
点评：本题主要考查四种命题及命题的真假．属于基础题．
三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p
或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．
考点：复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题：分类讨论．
分析：根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．
解答：解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，
若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；
若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，
若p假q真，则，解可得1＜m≤2；
若p真q假，则，解可得m≥3；
综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．
点评：本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案．
16．已知，
（Ⅰ）求tanx的值；
（Ⅱ）求的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切．
分析：（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值．
（2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案．
解答：解：（1）由，，
∴．
（2）原式==，
由（1）知cosx﹣sinx≠0，
所以上式==cotx+1==．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系．这里二倍角公式是考查的重要对象．
17．解关于x的不等式＞0（a∈R）．
考点：其他不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：不等式即＜0，分a＜﹣1、a=﹣1、﹣1＜a＜2、a=2、a＞2这5种情况，分别求得它的解集．
解答：解：关于x的不等式＞0，即＜0，
当a＜﹣1时，原不等式解集为（﹣∞，a）∪（﹣1，2）；
当a=﹣1时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）；
当﹣1＜a＜2时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（a，2）；
当a=2时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）；
当a＞2时，原不等式解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，a）．
点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．
18．设x∈R，函数f（x）=cos（ωx+?）（ω＞0，）的最小正周期为π，．
（Ⅰ）求ω和?的值；
（Ⅱ）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；
（Ⅲ）若的取值范围．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象；余弦函数的单调性．
分析：（I）由周期求ω，由特殊点求φ；
（II）明确函数f（x），借用五点法，先列表，再画图；
（III）利用余弦函数的单调性解之即可．
解答：解：（I）周期，∴ω=2，
∵，
且，∴．
（II）知，则列表如下：
图象如图：
（III）∵，
∴
解得，
∴x的范围是．
点评：本题考查三角函数中ω、φ的确定方法、五点法作图及三角函数的单调性．
19．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）?﹣2．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．
考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用
周期公式可求；
（Ⅱ）由结合可得
，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面积公式可求．
解答：解：（Ⅰ）=（2分）
===（4分）
因为ω=2，所以（6分）
（Ⅱ）
因为，所以，（8分）
则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0
则b=2（10分）
从而（12分）
点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大．
20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f（1）=1，且若?a、b∈[﹣1，1]，a+b≠0，恒有
＞0，
（1）证明：函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数；
（2）解不等式；
（3）若对?x∈[﹣1，1]及?a∈[﹣1，1]，不等式f（x）≤m2﹣2am+1恒成立，求实数m的取值范围．
考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质；不等式的证明．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[﹣1，1]任取x1、x2，且x1＜x2，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，不等式即为﹣1≤x+＜≤1，
解不等式即可得到解集；
（3）根据函数f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．
解答：解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵＞0，
即＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，
不等式即为
﹣1≤x+＜≤1，
解得﹣≤x＜﹣1，
即解集为[﹣，﹣1）；
（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．
点评：本题考查了抽象函数的单调性与函数的