考点31 等差数列的判定、基本运算与性质
考点31 等差数列的判定、基本运算与性质（王琪）
1. [云南红河州2016统一检测]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知
263,11a a ==，则7S 等于（ ） A ．13
B ．35
C.49
D ．63
答案：C
2. [湖南四县（市区）2016届联考]等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
20162015
220162015
S S =+，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．4 C.2015 D ．2016
答案：B
3. [辽宁省实验中学分校2016期中]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
369,36S S ==，则789a a a ++=（ ） A ．63
B ．45
C.43
D ．27
答案：B
4. [安徽江淮十校2016届第二次联考]有一个共有n 项的等差数列{}n a ，前四项
之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ）
A ．9
B ．10 C.11 D ．12
答案：B
5. [江苏2016·8,5分]已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若
21253,10a a S +=-=，则9a 的值是 .
答案：20
6. [湖北七校2016联考]已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若
224,0,8k k k S S S -+=-==，则k = .
答案：6
7. [江苏镇江2016第一次模拟] n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
21
42n n S n S n +=
+，则35a a = . 答案：35
考法1 等差数列的基本运算
真例1[课标全国Ⅰ2015·7,5分]已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为
{}n a 的前n 项和.若844S S =，则10a =（ ）
A ．
172
B ．
192
C.10 D ．12
答案：B
真例2[课标全国Ⅱ2014·5,5分]等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．()1n n +
B ．()1n n -
C. ()12
n n +
D ．()12
n n -
答案：A
1.[甘肃会宁四校2016模拟]设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则213a a a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->
答案：C
2. [辽宁2014·9,5分]设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数
列，则（ ）
A ． 0d >
B ．0d <
C. 10a d >
D. 10a d <
答案：D
3. [江苏淮安淮海中学2016期末模拟]在等差数列{}n a 中，已知
32545,12,41n a a a a a =+==+
，则n = . 答案：15
4. [北京2015·16,13分]已知等差数列{}n a 满足124310, 2.a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？
答案：（1）22n a n =+ （2）63
5. [课标全国Ⅱ2013·17,12分]已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，
且11113,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求14732.n a a a a -+++???+
答案：（1）227n a n =-+ （2）2328n S n n =-+ 考法2 等差数列的性质
真例3[辽宁2013·4,5分]下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命
题：
1p ：数列{}n a 是递增数列 2p ：数列{}n na 是递增数列
3p ：数列n a n ??
????
是递增数列
4p ：数列{}3n a nd +是递增数列
其中的真命题为（ ）
答案：D
真例4[课标全国Ⅱ2015·5,5分]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若
1353a a a ++=，则5S =（ ）
答案：A
1. [辽宁沈阳2016教学质量监测]等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则
3a =（ ）
A ． 12,p p
B ．34,p p C. 23,p p D. 14,p p
A ．
32
5
B ．2 C. 42 D.
532
答案：A
2. [浙江金丽衢十二校2016第一次联考]已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
345a a +=，则6S =（ ）
答案：C
3. [广东揭阳2016学业水平考试]在等差数列{}n a 中，已知
35710132,9a a a a a +=++=，则此数列的公差
d 为（ ） 答案：A
4. [云南玉溪一中2016第四次月考]已知n S 是非零等差数列{}n a 的前n 项和，若
739a a =，则
9
5
S S =（ ） 答案：B
5. [河北邯郸2015届摸底]设{}n a 是公差为正数的等差数列，若
A ． 5
B ．10
C. 15
D. 20
A ． 1
3
B ．3 C.
12 D. 16
A ．
185
B ．9 C. 5 D.
925
12312315,80a a a a a a ++==，则111213a a a ++=（ ）
答案：C
6. [陕西2015·13,5分]中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 .
答案：5
7. [山西大同2015届学情调研]设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若
11
n n S n T n +=-，则82
4637a a b b b b +=++ .
答案：
54
8. [广东惠州2016第一次调研]已知{}n a 为等差数列，且满足
13248,12.a a a a +=+=
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.
答案：（1）2n a n = （2）2k = 考法3 等差数列的判定与证明
A ． 75
B ．90
C. 105
D. 120
真例5[安徽2014·18,12分]数列
{}
n a 满足
()()111,11,n n a na n a n n n N *+==+++∈.
（1） 证明：数列n a n ??
????
是等差数列；
（2） 设3n n n b a =?，求数列{}n b 的前n 项和n S .
答案：（1）略 （2）()121334
n n
n S +-?+=
1. [河南内黄2015届月考]已知函数()y f x =对任意的实数x 都有
11
1(2)(1)
f x f x =+++，且(1)1f =，则(2013)f =
A.
1
2014
B.
12013
C. 2013
D. 2014
答案：B
2. [黑龙江牡丹江一中2016期末]已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为
n S ，且(1)
()2
n n n a a S n N *+=
∈， （1）求证：数列{}n a 是等差数列. （2）设1
n n
b S =
，12n n T b b b =++???+，求n T . 答案：（1）略 （2）21
n n
T n =
+ 3. [湖南衡阳2015届五校联考]已知数列{}n a 满足11a =，1
14n n
a a =-
，其中
n N *∈.
（1）设221
n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a .
（2）设41
n
n a c n =
-，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得1
1
n m m T c c +<
对于n N *∈恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.
答案： （1）1
2n n a n
+=
（2）m 的最小值为3
等差数列常用性质
合作探究： 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即： 2b a A += 反之，若2 b a A += ，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a b a A ?+=成等差数列 也就是说，A =2 b a +是a ,A ,b 成等差数列地充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 地数列地图象，这个图象有什么特点？ （2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5地图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=地图象与一次函数y=px+q 地图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 地等差中项 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 例1在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列地某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中地至少一项和公差，或者知道这个数列地任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项地问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来精品文档收集整理汇总例3已知数列{n a }地通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？ 分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列地定义，也就是看)1(1>--n a a n n 是不是一个与n 无关地常数. 等差数列地常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 地等差数列： (1)d>0时，{a n }是 ；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n }是 ； (2)d= = = （m ，n ∈N +） (3)通项公式地推广：a n =a m + d （m ，n ∈N +）. 精讲点评： 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算 知识点： 一．等差数列 1．等差数列基本概念 ⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列． 这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-． ⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即 2 x y A += ． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1) 22 n n n a a n n S na d An Bn +-= =+=+． 1．等差数列通项公式的推导： 2132121n n n n a a d a a d a a d a a d ----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得： 1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-． 由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导： 1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++ ++-， 把项的顺序反过来，可将n S 写成： ()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-+ +--， 将这两式相加得： 11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++ ++=+， 从而得到等差数列的前n 项和公式1() 2 n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-= =+． 二．等比数列
(完整版)数列经典试题(含答案)
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．
等差数列的基本性质
等差数列 一、等差数列的定义以及证明方法： 1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. 注意一些等差数列的变形形式，如： 111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1 n a }为等差数列） d =(d 为常数，此时，数列??为等差数列) …… 2、证明方法： （1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2 （3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列. 【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i . (I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值. (II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.
3、等差数列的通项公式： （1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如() 1n n a a f n --=的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项法或者累加法，从而达到求a n 的目的. 变形形式： a n =a m +(n-m )d 由以上公式可以得到：n m a a d n m -= - （2）等差数列通项公式的一些性质： ①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则： 2n m p a a a +=； ②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列； ③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列； 【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项 01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++=Λ,则k =（ ） A . 22 B . 23 C . 24 D. 25 【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加 ()()()111111222 n n n n n n S a a a a n d na d -= +=++-=+???? （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=； （2）奇偶项问题： 在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ， 1 = m m S a S a +奇偶；
等差数列基础测试题题库doc
一、等差数列选择题 1．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211, n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则 n a =（ ） A ．21n - B ．43n - C ．54n - D ．n 2．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 4．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，且 713n n S n T n -=，则5 5 a b =（ ） A ． 34 15 B ． 2310 C ． 317 D ． 62 27 5．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ． 43 C ．4 D ．4- 9．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30
等差数列的性质
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式为S n =na 1+n （n ﹣1）d 或者S n = 性质：①若项数为() *2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1 n n S a S a +=奇偶． ②若项数为() *21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 【例题精讲】 例1、若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列 例2、等差数列{a n }前n 项和为S n ，且﹣ =3，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则 =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例4、在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B.－4 C ．5 D.－5
高二数学 等差数列的定义及性质
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
等比数列基本量运算
2018年7月29日高中数学作业 1．已知等比数列满足，则（） A. 243 B. 128 C. 81 D. 64 2．已知数列是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和为（）A. 63 B. 64 C. 127 D. 128 3．正项等比数列中，，，则的值是 A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4．已知等比数列的前项和为,若，则=（） A. 2 B. C. 4 D. 1 5．已知等比数列中，，，则 A. 4 B. －4 C. D. 16 6．在等比数列中，已知，，则（） A. B. C. D. 7．数列为等比数列，若，，则为（） A. -24 B. 12 C. 18 D. 24 8．已知等比数列中，,则=( ) A. 54 B. -81 C. -729 D. 729 9．已知等比数列的公比，其前项的和为，则（） A. 7 B. 3 C. D. 10．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则公比为（） A. B. C. D. 11．等比数列的前项和为，已知，则等于（） A. 81 B. 17 C. 24 D. 73 12．等比数列{a n}中a1＝3，a4＝24，则a3＋a4＋a5＝( )
A. 33 B. 72 C. 84 D. 189
13．数列 中， ， （ ），则 （ ） A. B. C. D. 14．等比数列中，，，的前项和为（ ） A. B. C. D. 15．等比数列中， ，则数列的公比为（ ） A. 2或-2 B. 4 C. 2 D. 16．已知 为等比数列， ， ，则（ ） A. 5 B. 7 C. -7 D. -5 17．等比数列 中， ，则 等于( ) A. 16 B. ±4 C. -4 D. 4 18．已知等比数列中，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 19．在等比数列中， ， ，则公比等于（ ）． A. B. 或 C. D. 或 20．已知等比数列 满足 ，则的值为 A. 21 B. 32 C. 42 D. 170 21．已知数列{}n a 满足12n n a a +=， 142a a +=，则58a a +=（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 22．己知数列 为正项等比数列，且 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23．已知等比数列的前项和为，若成等差数列，则 的值为__________． 24．已知等比数列 的前项和为，若 ，则__________． 25．已知正项等比数列 的前项和为，.若 ，且．则=________．
数列系列等差数列的性质
数列系列 等差数列的性质 一、思维导图 ????????????????????????????++++++++++--? ????=+=+=+=++=++=+????????? ??+=?? ? ??????=-=-+=+= -++成等差数列 成等差数列 成等差数列则是等差数列若片段和性质当心则时若则若下标和性质即的等差中项和是中等差数列或则成等差数列若等差中项等差数列的性质6425319638527412321212 2,,,,,}{:2,2,:2:}{2222 ,,a a a a a a a a a a a a a a a S S S S S ，a a a a a a a a p n m a a a a q p n m a a a ，a a ，a a a b A b a A b a A b a A ， b A a n n n n n n n n p n m q p n m n m n m n m n m n
二、例题精析 1、（2018商洛模拟）等差数列}{n a 中，,12031581=++a a a 则1092a a -的值为__________ [解析]：已知,24,1202338881581=∴=+=++a a a a a a 242,281091089==-∴+=a a a a a a 2、（2018温州模拟）已知等差数列}{n a 的公差不为零，且242a a =，则3 21642a a a a a a ++++的值是__________ [解析]：2323332 224321642=?==++++a a a a a a a a a a ，下标和性质 3、（2017中原区校级月考）已知}{n a 为等差数列，,7,22683==+a a a 则=5a __________ [解析]：已知1572222,22655683=-=-=∴=+=+a a a a a a ，下标和性质 4、（2018南关区校级期末）在等差数列}{n a 中，102,a a 是方程0722=--x x 的两根，则=6a __________ [解析]：已知4 1)(21,21211026102=+=∴=-- =+a a a a a ，下标和性质 5、（2018塑州期末）在等差数列}{n a 中，若,39741=++a a a ,33852=++a a a 则=++963a a a _____ [解析]：设27,39332,963=∴+=?∴=++x x x a a a ，片段和性质 6、（2017商丘期末）等差数列}{n a 中,0>n a 且,301021=+++a a a 则=+65a a __________ [解析]：已知,6,30)(5101651011021=+=+∴=+=+++a a a a a a a a a 下标和性质 7、（2018太原期末）在等差数列}{n a 中，若,9531=++a a a ,21654=++a a a 则=7a __________ [解析]：已知,3,9333531=∴==++a a a a a ,7,21355654=∴==++a a a a a 92357=-=a a a
等差数列的性质总结
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘 以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．
数列基本量运算
等差、等比数列基本量的运算法宝 典例解析： 题型一 等差、等比数列的基本运算 例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2，则S 2 013的值为( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
跟踪训练 1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90C ．90 D ．110 2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数 的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1 a n ＋1－a n ＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比 数列，k 称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列； ③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n 2 n }的前n 项和．
等差数列综合练习题
一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S 2．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为 （ ） A ． 89 B ． 910 C ．1011 D ．11 12 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 7．已知数列{}n a 中，132a = ，且满足()* 1112,22 n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有 n a n λ ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 8．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．16 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333 122n n n a a a ++=+，则10a 等于 （ ） A ．10 B C ．64 D ．4 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ）
2.2等差数列的概念、通项公式、性质练习含答案
2.2 等差数列概念、通项公式、性质 第1课时 等差数列的概念及通项公式 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，…. 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 题型二 等差中项 例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中， (1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10. 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 等差数列的判定与证明 典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1. (1)证明：数列???? ??a n 3n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式． 【课堂练习】 1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13 的等差数列 C ．公差为－13 的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. 【巩固提升】 一、选择题 1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )
等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
经典等差数列性质练习题(含答案)(汇编)
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
一轮等差数列基本量练习题
等差数列基本量计算练习 1．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= A ．26 B ．27 C ．28 D ．29 2．已知等差数列{}n a 中，15123456a a a a a a a +=++++=，则（ ） A ．106 B ．56 C ．30 D ．15 3．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知10100S =，则29a a +=（ ）． A ．100 B ．40 C ．20 D ．12 4．设等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若58215a a a -=+，则9S 等于（ ） A 、60 B 、45 C 、36 D 、18 5．若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A ．1 B ．53 C ．2 D ．3 7．在等差数列{}n a 中，若4681012240a a a a a ++++=，则91113a a - 的值为（ ） A ．30 B ．31 C ．32 D ．33 8．已知等差数列{}n a 中，70,10161514134321=+++=+++a a a a a a a a ，则数列前16项的和等于（ ） A ．140 B ．160 C ．180 D ．200 9．在等差数列{}n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 10．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- ， 则它的公差为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2- D ．3- 11．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 12．已知等差数列的前n 项和为n S ，若,0,01213>