黑龙江省大庆一中2014年度高三年级下学期第二次阶段考试数学(理)试题

黑龙江省大庆一中2014年度高三年级下学期第二次阶段考

试

数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1．在复平面内，复数122i i

-+对应的点的坐标为（ ）

A ．（0，1）

B ．（0，－1）

C ．（45，－35）

D ．（45，35）

2．设随机变量δ服从正态分布N （3，7），若p （δ＞a +2）=p （δ＜a －2），则a =（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．4 3．已知某几何体的三视图（右上图），则该几何体的体积为（ ） A ．4+52π B ．4+32

π

C ．4+2

π D ．4+π

4．如右图，已知K 为如图所示的程序框图输出结果，二项式(x k +1x

)n 的展开式中

含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

5．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x 、y ，设事件A 为“x +y 为偶数”，事件B 为“x 、y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )=（ ） A ．12 B ．13 C ．14

D ．25

6．正项等比数列｛a n ｝中，存在两项a m 、a n

=4a 1，且a 6=a 5+2a 4，则14m n

+的

最小值是（ ） A ．32 B ．2 C ．73 D ．256

7．函数f (x )=sin ωx +a cos ωx （ω＞0）的图象关于M （3π，0）对称，且在x =6

π处函数有最

小值，则a +ω的一个可能取值是（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．9

8．已知半径为5的球O 被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ） A

B

C

． D

9．设x 、y 满足约束条件223231

x y x y x y --??

-??+?≥≤≥，若x 2+y 2≥a 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）

A ．12

B ．34

C ．45

D ．56

10．若函数()()???

??<-??? ??≥-=2,1212,2x x x a x f x 是R 是的单调递减函数，则实数a 的取值范围是

（ ）

A. ()2,∞-

B. ??????2,813

C.()2,0

D. ??? ?

?

∞-813,

11.已知向量b a ,是垂直单位向量，||c =13，a c ?=3，4=?b c ，对任意实数t 1,t 2,求|c -t 1a -t 2b |的最小值. ( )

A. 12

B. 13

C. 14

D. 144

12. 已知函数,ln )(x e ex x f -=,若)(503)2013(2012

1

b a ke

f k +=∑=，则22b a +的最小值为

（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．12

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清、模棱两可均不得分）

13．已知函数f (x

)=111x x e

x ->?≤≤，则21

()f x dx -?= ．

14．已知,71tan ,31tan -==

βα且,2

,20πβπ

πα<<<<则βα-2的值_________ 15．某校高三（1

）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的

破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）频率分布直方图中［80，90）间的矩形的高为 ．

（2）若要从分数在［80，100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在［90，100］之间的概率为 ．

16．已知函数()()()()()()

2

12,211122

+<

<'=∈x x f x f x f f R x x f 则不等式的导数，且满足的解集为______________

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

(1)求角C 的大小；

(2)若7=c ，且△ABC 的面积为

2

3

3，求b a +值.

18．（本小题满分12分）

公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施，新规实施后，获取驾照要经过三个科目的考试，先考科目一（理论一），科目一过关后才能再考科目二（桩考和路考），科目二过关后还要考科目三（理论二）．只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证．某驾校现有100名新学员，第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表：

（Ⅰ）估计该驾校这100名新学员有多少人一次性（不补考）获取驾驶证；

（Ⅱ）第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试，求他能通过科目二却不能通过科目三的概率；

（Ⅲ）该驾校为调动教官的工作积极性，规定若所教学员每通过一个科目的考试，则学校奖励教官100元．现从这20人中随机抽取1人，记X 为学校因为该学员而奖励教官的金额数，求X 的数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ⊥AD ，AD = CD = 2AB = 2，E ，F 分别

为PC ，CD 的中点，DE = EC （1）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；

（2）设PA = a ，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43

ππ

θ∈，

求a 的取值范围。

20．（本题满分12分）

在平面直角坐标系xoy 中，过点)0,(p C 的直线与抛物线)0(22

>=p px y 相交于A 、B 两点.设),(11y x A ，),(22y x B

（1）求证：21y y 为定值

（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出

该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由. 21．（本题满分12分）

已知函数2(2)()ln x m f x x -=（其中m 为常数）.(Ⅰ)当0m =时，求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)

当1

02m <<时，设函数)(x f 的3个极值点为a ，b ，c ，且a b c <<. 证明：

a c

+>

四、选做题（本小题满分10分，请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,△ABC 内接于⊙O ,AB AC =,直线MN 切⊙O 于点C ,弦//BD MN ,AC BD 与相交于点E . (1)求证:△ABE ≌△ACD ; (2)若6,4AB BC ==,求AE 长.

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系中,已知曲线221:1C x y +=,将曲线1C 上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为

倍后,得到曲线2C (1)试写出曲线2C 的参数方程;

(2)在曲线2C 上求点P ,使得点P 到直线:0l x y +-=的距离最大,并求距离最大值.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()122f x x x =-++

(1)解不等式()3f x <; (2)若不等式()f x a <的解集为空集，求实数a 的取值范围.

数学（理科）模拟试题参考答案

13．2π 14．34 15．① 0.016 ② 35

16.），（），（∞+?∞11--

三、解答题

17．解：（1）∵A c a sin 23=

∵0﹤C ﹤180°∴C=60°或120°…………6分 （2）∵

233sin 21==

?C ab S ABC

∴6=ab ………8分

若C=60°，由余弦定理C ab b a c cos 2-2

2

2

+=可得b a +=5…………10分 若C=120°，可得12

2

=+b a ，无解………12分

18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由表中数据可知一次性（不补考）获取驾驶证的频率为110

，估计这100名新学员中

有100×

110

=10人； ............................................................................................................ 3分 （Ⅱ）设“通过科目一、二、三”分别为事件A ，B ，C ，则 P =P (B C |A )=

21126

= ........................................................................................................... 6分

............................ 8分

EY =0×2

5+1×25

+2×

110+3×110=910

.................................................................................. 10分 而X =100Y ，所以EX =100EY =100×910

=90...................................................................... 12分 解19.(Ⅰ) ,//CD AB ,AD CD ⊥22===AB CD AD ，F 分别为CD 的中点，

ABFD ∴为矩形，BF AB ⊥ ·

················ 2分 EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF AB CD AB ⊥∴,//

⊥∴=AE E EF BF , 面BEF ,?AE 面ABE ,

∴平面ABE ⊥平面BEF · ···················· 4分

(Ⅱ) EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF PD //，PD AB CD AB ⊥∴,//

又PD AB ⊥,所以⊥AB 面PAD ,PA AB ⊥ ·

·················6分 建系AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴,

)0,2,0(),0,0,1(D B ),0,0(a P ，)0,2,2(C ,)2

,1,1(a

E

平面BCD 法向量1(0,0,1)n =，平面EBD 法向量)2,,2(2-=a a n ··········9分

]22

,21[4

52

cos 2∈+=a θ，可得]5152,552[∈a .·············12分 解20：（1）

（解法1）当直线AB 垂直于x 轴时，p y p y 2,221-==,因此2212p y y -=(定值)

2分

当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)(p x k y -=

由???=-=px

y p x k y 2)(2得0222

2=--k p py ky 2212p y y -=∴ 因此有2212p y y -=为定值 4分

（解法2）设直线AB 的方程为p x my -=

由??

?=-=px

y p x my 22

得02222=--p pmy y 2

212p y y -=∴ 因此有2

212p y y -=为定值

（2）设存在直线l ：a x =满足条件，则 AC 的中点)2

,2(

11y p x E +，2

121)(y p x AC +-= 因此以AC 为直径的圆的半径22

121212

1)(2121p x y p x AC r +=+-==

E 点到直线a x =的距离|2

|

1a p

x d -+= 7分 所以所截弦长为2122

12

2)2

()(412

2a p x p x d

r -+-+=- 2122

1)2(a p x p x -+-+=

=

分

这时直线方程为122

p

x =

---------分

(Ⅱ)由题，22(2)(2ln 1)

'()ln m

x m x x f x x -+-=

对于函数2()2ln 1m h x x x =+-，有2

22'()x m

h x x

-= ∴函数)(x h 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增 ∵函数)(x f 有3个极值点a b c <<，

从而min ()()2ln 10h x h m m ==+<，所以m <，

当1

02

m <<时，(2)2ln

20h m m =<，(1)10h m =-<，

∴ 函数)(x f 的递增区间有(,2)a m 和(,)c +∞，递减区间有(0,)a ，(2,1)m ，(1,)c ， 此时，函数)(x

f 有3个极值点，且2b m =；

∴当

102m <<时，,a c 是函数2

()2ln 1m

h x x x =+-的两个零点，————8分

即有22ln 1022ln 10

m a a m c c

?

+-=??

??+-=??

，消去m 有2ln 2ln a a a c c c -=-

令x x x x g -=ln 2)(，1ln 2)('+=x x g 有零点e

x 1=，且a c <<

∴函数x x x x g -=ln 2)(在)1,0(e 上递减，在),1

(+∞e

上递增

要证明 a c +>?c a >-?())g c g a >- ()()g a g c = ∴即证())())0g a g a g a g a >-?->

构造函数())2

()(x e g x g x F --=，???

? ??e F 1 =0————10分

只需要证明]1,

0(e

x ∈单调递减即可.而()2)2ln(

2ln 2+-+='x e

x x F ，

()0)

2(

)

22(

2''>--=

x e

x x e x F ()x F '∴在]1

,0(e 上单调递增, ()01=???

?

??<'∴e F x F —12分

解22.(1)在△ABE 和△ACD 中 AB AC = ABE ACD ∠=∠ BAE EDC ∠=∠

BD ∥MN EDC DCN ∴∠=∠ 直线是圆的切线 DCN CAD ∴∠=∠ BAE CAD ∴∠=∠ ∴△ABE ≌△ACD ……………5分 (2)EBC BCM ∠=∠ BCM BDC ∠=∠ ∴EBC BDC BAC ∠=∠=∠ 4BC CD ==

又BEC BAC ABE EBC ABE ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠ 4BC BE ∴==

设,AE x =易证△ABE ∽△DEC ∴

42

63

DE DC DE x x AB ==?= 又AE EC BE ED ?=? 6EC x =- ()2463x x x ∴?=- 10

3

x = ………10分

解23.(1)曲线1C 的参数方程为cos (sin x y θ

θθ=??=?

为参数）

………1分

由x y ?'=??'=??

得x y θ

θ

?'=??'=?? ………3分 ∴2C

的参数方程为(x y θθθ

?=??=??为参数）

……5分 (2)由(1)

得点)

P

θθ

点P 到直线l 的距离

d

tan ?=

………7分

max

d =

=

(9)

分 此时P ? ?

点的坐标为 …………10分 解24.(1)()31,1

3,1131,1

x x f x x x x x --≤-??

=+-<≤??+>?

()3f x < 解得403x -<< ……………5分

(2)由()f x 的图像可得()2f x ≥ 2a ∴≤ ……………10分