《常微分方程》教学大纲

《常微分方程》教学大纲

课程编号：E09B2410

课程中文名称：常微分方程

课程英文名称：Oridinary Differential Equations

学时/学分：48/3

开课学期：□√秋季□春季

先修课程：数学分析，高等代数，解析几学，物理学

一、课程教学目标

通过本课程的学习,使学生掌握常微分方程的基本概念和初等积分法的一般方法,熟练掌握线性方程与方程组的解的结构和求解方法，并能运用这些方法去，解决一些简单的实际问题，也为以后的学习打下良好的基础。

二、教学内容及基本要求

第一章一阶微分方程的初等解法(16学时)

要求熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程等的解法，会应用降阶法解某些高阶方程。并会建立简单的微分方程模型。

第二章解的存在性与唯一性定理(10学时)

掌握解的存在、唯一性定理及证明，了解解的延展定理和解关于初值的连续、可微性定理。会求方程的奇解并理解其含义。

第三章一阶线性微分方程组(8学时)

掌握线性微分方程组的一般理论及常系数线性微分方程组的解法，会计算矩阵指数。并对方程的解的渐近状态有所了解。

第四章n阶线性微分方程(12学时)

掌握线性微分方程的一般理论及常系数线性微分方程的解法，了解二阶线性方程的幂级数解法和Laplace方法。会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

第五章定性与稳定性理论简介(2学时) (机动)

微分方程定性和稳定性理论简介，后续课程及相关研究方法介绍(讲座形式)

三、教学安排及方式

1.§1.1 微分方程与解（建摸例子）；§1.2 变量可分离方程；

2.§1.3 齐次方程；

§1.4 一阶线性方程（齐次，非齐次线性方程解的结构，渐近性质）；

3.§1.5 全微分方程及积分因子；

4.§1.6 一阶隐式微分方程；

5.§1.7 几种可降阶的高阶方程；

6.§1.8 一阶微分方程应用举例(几何、光学、生物，力学方面的应用)；

7.*§1.9 变分法简介(泛函极值问题、欧拉方程)；

8.第一章小结，习题课(补充习题).

9.§2.1常微分方程的几何解释(线素场. 欧拉折线)；

10.§2.2 解的存在性与唯一性定理（Picard 逼近法）；

11.§2.3 解的延展, 比较定理；

12.§2.4 奇解与包络；

§2.5 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性；

13.第二章小结，习题课

期中考试

14.§3.1一阶微分方程组(补充向量函数与矩阵函数的相关知识)；

§3.2 一阶线性微分方程组的一般概念；

15.§3.3 一阶线性齐次方程组的一般理论；

§3.4 一阶线性非齐次方程组的一般理论;

16.§3.5 常系数线性微分方程组的解法(1)；

17.§3.5 常系数线性微分方程组的解法(2)；

§3.6 指数矩阵；

18.第三章小结，习题课. (机动)

19.§4.1 n阶线性微分方程的一般理论；

20.§4.2 n阶常系数线性齐次微分方程解法；

21.§4.3 n阶常系数线性非齐次微分方程解法；补充: 欧拉方程;

22.§4.4 二阶常系数线性方程与振动现象；

23.§4.5 拉普拉斯变换；

§4.6 幂级数解法大意；

24.第四章小结，习题课.

25.机动：微分方程定性和稳定性理论简介(讲座形式)

四、考核方式：

考试方式：闭卷考试

期末总成绩：期终考试占70%，期中考试占20%，平时作业占10%.

五、教材及参考资料：

[1]. 《常微分方程》，东北师范大学数学系微分方程教研室编，高等教育出版

社。

[2]. 《常微分方程》，王高雄等著，高等教育出版社。

[3]. 《常微分方程教程》，丁同仁，李承治编，高等教育出版社。

[4]. 《常微分方程讲义》，王柔怀，吴桌群编，人民教育出版社。

[5]. 《常微分方程》，庞特里亚金著，林武忠、倪明康译，高等教育出版社。