高考数学压轴题突破训练--函数(含详解)
高考数学压轴题突破训练：函数
1. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数()8+=x x f ，()12+=
x x g ，
及任意的0≥x ，当甲公司投入x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于()x f 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于()x g 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题： (1)请解释()()0,0g f ；(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？
(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入121=a 万元，乙在上述策略下，投入最少费用1b ；而甲根据乙的情况，调整宣传费为2a ；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为2b ,, 如此得当甲调整宣传费为n a 时，乙调整宣传费为n b ；试问是否存在lim n n a →∞
，
n n b ∞
→lim 的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.
2. 已知三次函数c bx ax x x f +++=2
3
)(在y 轴上的截距是2，且在),2(),1,(+∞--∞上单调递增，在（－1，2）上单调递减. (Ⅰ)求函数f (x)的解析式； (Ⅱ)若函数)ln()1()
2(3)
()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间.
3. 已知函数155)(2
++=x x x ?)(R x ∈，函数)(x f y =的图象与)(x ?的图象关于点
)2
1
,0(中心对称。 （1）求函数)(x f y =的解析式；
（2）如果)()(1x f x g =，)2,)](([)(1≥∈=-n N n x g f x g n n ，试求出使0)(2 （3）是否存在区间E ，使{} Φ= N n ∈，且2≥n 时，都有0)( 4．已知函数：)(1)(a x R a x a a x x f ≠∈--+= 且 （Ⅰ）证明：f(x)+2+f(2a －x)=0对定义域内的所有x 都成立. （Ⅱ）当f(x)的定义域为[a+ 2 1 ,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]； （Ⅲ）设函数g(x)=x 2 +|(x －a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 . 5. 设()f x 是定义在]1,0[上的函数，若存在* x )1,0(∈，使得()f x 在],0[*x 上单调递增，在] 1,[* x 上单调递减，则称()f x 为]1,0[上的单峰函数，* x 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的]1,0[上的单峰函数()f x ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法. （1）证明：对任意的21,x x )1,0(∈，21x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间；若 )()(21x f x f ≤，则)1,(1x 为含峰区间； （2）对给定的)5.00(< 6. 设关于x 的方程0222 =--ax x 的两根分别为α、β ()βα<，函数1 4)(2 +-=x a x x f （1）证明)(x f 在区间()βα,上是增函数； （2）当a 为何值时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小 7. 已知函数31()(,)3f x x ax b a b R = ++∈在2x =处取得的极小值是4 3 -. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)若[4,3]x ∈-时，有2 10 ()3 f x m m ≤++恒成立，求实数m 的取值范围. 8. 已知二次函数),,0(1)(2R b a bx ax x f ∈>++=设方程f(x)＝x 有两个实数根x 1、x 2. (Ⅰ)如果4221<< 9. 函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ； ②对任意x 、R y ∈，有y x f xy f )]([)(=；③.1)3 1(>f 则 （1）求)0(f 的值； （4分） （2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数； （5分） （3）若ac b c b a =>>>2 ,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+ 10. 已知函数14)(2 3 4 -+-=ax x x x f 在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减； （1）求a 的值； （2）求证：x=1是该函数的一条对称轴； （3）是否存在实数b ，使函数1)(2 -=bx x g 的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由. 11. 定义在区间（0，∞）上的函f(x)满足：（1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x 、q,都有)()(x qf x f q =. （1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根； （2）若a>b>c>1,且a 、b 、c 成等差数列，求证：)()()(2 b f c f a f ?； （3）（本小题只理科做）若f(x) 单调递增，且m>n>0时，有)2 ( 2)()(n m f n f m f +==， 求证：32m << 12. 某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x 艘的产值函数R (x)=3700x + 45x 2 – 10x 3 (单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本） (1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x); (2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 13. 已知函数()f x （0a ≠且1a ≠）． (1) 试就实数a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间； (2) 已知当0x >时，函数在上单调递减，在)+∞上单调递增，求a 的值并写出函数的解析式； (3) （理）记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问是否存在经过原点的直线l ，使得l 为曲线C 的对称轴？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． (文) 记(2)中的函数的图像为曲线C ，试问曲线C 是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由． 14. 已知函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈ 的图象在 2x =处的切线互相平行. (Ⅰ) 求t 的值； （Ⅱ）设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围. 15. 设函数()f x 定义在R + 上，对任意的,m n R +∈，恒有()()()f m n f m f n ?=+，且当 1x >时，()0f x <。试解决以下问题： （1）求(1)f 的值，并判断()f x 的单调性； （2）设集合{}{}(,)|()()0,(,)|(2)0,A x y f x y f x y B x y f ax y a R =++->=-+=∈，若A B ≠? ，求实数a 的取值范围； （3）若0a b <<，满足|()||()|2|()|2 a b f a f b f +==，求证：32b << 16. （理科）二次函数f(x)=)(2R b a b ax x ∈++、 （I ）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0； （II ）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)= )1(4 12 -a ； （III ）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得4 1)(≤ k f . (文科)已知函数f(x)=c bx ax ++2 ，其中.,,* Z c N b N a ∈∈∈ （I ）若b>2a,且 f(sinx)(x ∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值； （II ）若对任意实数x ，不等式)1(2)(42 +≤≤x x f x 恒成立,且存在 )1(2)(0200+ 17. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x 、y (-1,1)都有。 （I ）求证：函数f(x)是奇函数； （II ）如果当 时，有f(x)>0，判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并加以证明； （III ）设-1 18. 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. （l ）求证)(x f 在]1,1[-上是减函数； （ll ）如果)(c x f -，)(2 c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围； （lll ）证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2 c x f -存在公共的定义域，并求这个公 共的空义域. 19. 已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ∈N * ，b ∈N ，c ∈Z 。 （1）若b>2a ，且f （sinx ）（x ∈R ）的最大值为2，最小值为－4，试求函数f （x ）的最小值； （2）若对任意实数x ，不等式4x ≤f （x ）≤2（x 2 ＋1）恒成立，且存在x 0，使得f （x 0）<2 （x 02 ＋1）成立，求c 的值。 20. （理）已知)0()1()(2≤++=a ax x In x f （1）讨论)(x f 的单调性； （2）证明：2),()1 1()311)(211(*4 44≥∈<+++ n N n e n 其中无理数)71828.2 =e . （文）设函数)(3 1)(23 c b a cx bx ax x f <<++= ，其图象在点))(,()),1(,1(m f m B f A 处的切线的斜率分别为a o -,. （1）求证：10<≤a b ； （2）若函数)(x f 的递增区间为],[t s ，求]-[t s 的取值范围. 21.设函数)10(323 1)(223 <<+-+- =a b x a ax x x f （1）求函数f(x)的单调区间，并求函数f(x)的极大值和极小值； （2）当x ∈[a+1, a+2]时，不等a x f ≤'|)(|，求a 的取值范围. 22. 已知函数1 x x 716x )x (f --+ =，函数m x ln 6)x (g +=. （1）当1x >时，求函数f(x)的最小值； （2）设函数h(x)=(1－x)f(x)+16，试根据m 的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数. 23. 已知二次函数t t t t y l c bx ax x f .20(8:,)(2 12 ≤≤+-=++=其中直线为常数）； 2:2=x l .若直线l 1、l 2与函数f （x ）的图象以及l 1，y 轴与函数f （x ）的图象所围成的封 闭图形如阴影所示. （Ⅰ）求a 、b 、c 的值； （Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数S （t ）的解析式； （Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得y=f （x ）的图象与y=g （x ）的图象 有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 24. 已知()()()f x x x a x b =--，点A(s,f(s)), B(t,f(t)) (I) 若1a b ==,求函数()f x 的单调递增区间； (II)若函数()f x 的导函数()f x '满足：当|x|≤1时，有|()f x '|≤ 2 3 恒成立，求函数()f x 的解析表达式； (III)若0 不可能垂直. 25. 已知函数().)(2 R m x x m x f ∈-= (1)设x x f x g ln )()(+=,当m ≥ 4 1时,求g(x)在[221 ,]上的最大值； (2)若),1[)](8[log 3 1+∞-=在x f y 上是单调减函数，求实数m 的取值范围. 答案： 1.解：(1))0(f 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入)0(f =8 万元; …………………… (2分) )0(g 表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入 )0(g =12万元. …………………………… (4分) (2) 解方程组 ???? ?+=+=8 12 x y y x ………………(6分) 得: x = 17, y = 25 ……………(9分) 故甲公司至少投入17万元, 乙公司至少投入25万元. …… (11分) (3) 经观察, 显见 25lim , 17lim ==∞ →∞ →n n n n b a . 故点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保 证自己不失败的一个平衡点. ………(16分) 2.解：(Ⅰ)∵c bx ax x x f +++=2 3 )(在y 轴上的截距是2，∴f(0)=2,∴c=2. 1分 又)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单调递增，（－1，2）上单调递减， 023)(2 =++='∴b ax x x f 有两个根为－1，2， 3 2231233()62226123a a f x x x x b b ? -+=-??=-??∴∴∴=--+????=--?=??? ，…………5分 (Ⅱ)2 '()3363(1)(2)f x x x x x =--=+- ， )2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且 ，………………6分 m x x m x m x h +-=++-='∴1 11)( ，……………………………………… 7分 当m ≤－2时，－m ≥2，定义域：),(+∞-m ， 0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单增； ……………………… 8分 当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m 0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增……………………… 9分 当m >－1时，－m <1，定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得x >1，由0)(<'x h 得x <1. 故在（1，2），（2，+∞）上单增；在)1,(m -上单减. ………………11分 综上所述，当m ≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增； 当12-≤<-m 时, ),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增； 当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m ，1）单减.…12分 3.解：（1）255)(x x x f -= ………………………………………………………………（6分） （2）由0)(5)(5)(2 112<-=x g x g x g 解得1)(0)(11> 即1550552 2 >-<-x x x x 或 解得10 5 5105510+<<-> 或…………………………………（12分） （1） 由{}}{ 100)(><= 又{}Φ=> 5 5,1055( x x x 或， 当)10 55,1055( +-∈x 时，0)(2 223<-=x g x g x g ， ∴对于3,2=n 时，)10 5 5,1055( +-?E ，命题成立。………………（14分） 以下用数学归纳法证明)10 55,1055( +-?E 对N n ∈，且2≥n 时，都有0)( 那么0)(5)(5)]([)(2 1<-==+x g x g x g f x g k k k k 即1+=k n 时，命题也成立。 ∴存在满足条件的区间)10 5 5,1055(+-?E 。 4.解：（Ⅰ）证明：x a a a x a x a a x x a f x f +--+-++--+= -++21221)2(2)( 01221121=--+--+-+=-+-++--+=x a x a x a a x a x x a x a a x ∴结论成立 ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：x a x a x a x f -+-=-+--=1 11)()( 当11 2,211211121-≤-≤--≤-≤-- -≤-≤--+≤≤+x a x a a x a a x a 时 21 13-≤-+-≤-x a 即]2,3[)(--值域为x f …………9分 （Ⅲ）解：)(|1|)(2 a x a x x x g ≠-++= （1）当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥4 3 )21(1)(,122 时且 如果211- ≥-a 即2 1 ≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增 2min )1()1()(-=-=a a g x g 如果a g x g a a a -=-=-≠<-<-4 3 )21()(,2121211min 时且即当 当2 1 - =a 时，)(x g 最小值不存在…………………………11分 （2）当4 5)21(1)(122 -+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时 如果4 5 )21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即 如果2min )1()1()()1,()(2 3 211-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即…13分 当0)2 1 ()43()1(210 )23 ()45()1(232222>-=---<>-=--->a a a a a a a a 时当时 综合得：当2121≠ 3 当 2321≤≤a 时 g （x ）最小值是2)1(-a 当23>a 时 g （x ）最小值为4 5 -a 当2 1 -=a 时 g （x ）最小值不存在 5.解：(1)证明:设* x 为()f x 的峰点,则由单峰函数定义可知, ()f x 在],0[*x 上单调递增, 在 ]1,[*x 上单调递减, 当)()(21x f x f ≥时,假设*x ?),0(2x ,则21x x <<* x ,从而),()()(12*x f x f x f >≥这与)()(21x f x f ≥矛盾,所以*x ∈),0(2x ,即),0(2x 为含峰区间. 当)()(21x f x f ≤时,假设*x ?)1,(1x ,则* x 21x x <≤,从而),()()(21*x f x f x f >≥这与)()(21x f x f ≤矛盾,所以*x ∈)1,(1x ,即)1,(1x 为含峰区间………………………….(7分) （2）证明：由(1)的结论可知: 当)()(21x f x f ≥时, 含峰区间的长度为21x l =； 当)()(21x f x f ≤时, 含峰区间的长度为121x l -=； 对于上述两种情况，由题意得? ??+≤-+≤r x r x 5.015.012 ① 由①得,21112r x x +≤-+即r x x 212≤-， 又因为r x x 212≥-，所以r x x 212=- ② 将②代入①得，，－r x r x +≥≤5.05.021 ③ 由①和③解得，＝，－＝r x r x +5.05.021 所以这时含峰区间的长度r l l +==5.021， 即存在21,x x 使得所确定的含峰区间的长度不大于r +5.0 6.解：(1)证明：2 22' )1() 22(2)(+---=x ax x x f ， 由方程0222 =--ax x 的两根分别为α、β ()βα<知 ()βα,∈x 时，0222<--ax x ，所以此时0)('>x f ， 所以)(x f 在区间()βα,上是增函数 (2)解：由（１）知在()βα,上，)(x f 最小值为)(αf ，最大值为)(βf ， 1 ]2)[(]44)()[(1 414)()(22 222+-++-++-=+-- +-= -αββαβααββααβααββαβa a a f f 2 a =+βα ，1-=αβ，可求得44 2 += -a αβ， 161 24 1)442(44)()(2 2 2 2+=+++++?+= -∴a a a a f f αβ， 所以当0=a 时，)(x f 在区间[]βα,上的最大值与最小值之差最小，最小值为４ 7.解：(1)2()f x x a '=+，由题意(2)40 4844(2)233f a a b f a b '=+=?=-?? ??? ==++=-??? ， 令2 ()40f x x '=->得()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(2,)∞. (2) 3 1()44 f x x x = -+，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表： 所以[4,3]x ∈-时，max 28()3f x =.于是2 10()3 f x m m ≤++在[4,3]x ∈-上恒成立等价于2 1028 33 m m ++ ≥，求得(,3][2,)m ∈-∞-?+∞. 8.解：(Ⅰ)设,0,1)1()()(2>+-+=-=a x b ax x x f x g 且 ∴由条件0)4(0)2(,4221><<< 144 30 34160124a b a b a b a -<<-??? ?>-+<-+（4 分） ∴.8 122 144 3>-<-a a a 得……（5分）对可得a b a 22 144 3-<<- . 8322411a a b a -<-<- .18 1 41141120 -=?->->-=∴a a b x ……（8分） （Ⅱ）由.0101)1()(21212同号与即可知x x a x x x b ax x g >==+-+= ,2,42,2012211=-∴<<<< .1)1(1244 )1(4)()(22 2122 122 12+-=+?=--=-+=-∴b a a a b x x x x x x 由01240)2(<-+ 1231)1(22 9.解：解法一：（1）令2,0==y x ，得：2 )]0([)0(f f =……………1分 1)0(0)0(=∴>∴f f …………………………4分 （2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,3 1,3 12211p x p x ==则21p p < 21)]3 1 ([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-…………………… 8分 )() ()(,1)3 1 (212 1x f x f x f p p f ∴<∴<> 在R 上是单调增函数…… 9分 （3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f b a b f b c b f a f )]([)()(=?= b c b f b c b f c f )]([)()(=?=………11分 b c a b c b a b f b f b f c f a f +>+=+∴)] ([2)]([)]([)()( 而)(2)] ([2)] ([2222 22 b f b f b f b b a c c a b b b c a =>∴==>++ )(2)()(b f c f a f >+∴ ……15分 解法二：（1）∵对任意x 、y∈R，有y x f xy f )]([)(= x f x f x f )]1([)1()(=?=∴………1分 ∴当0=x 时0 )]1([)0(f f =……2分 ∵任意x ∈R， 0)(>x f …………3分 1)0(=∴f ……………………4分 （2）1)]3 1([)313()1(,1)31(3>=?=∴>f f f f …………………………6分 x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数 即)(x f 是R 上单调增函数；…… 9分 （3）c a c a f f f c f a f +>+=+)]1([2)]1([)]1([)()(……………………11分 而)(2)]1([2)]1([222222b f f f b b ac c a b c a =>∴==>++ )(2)()(b f c f a f >+∴ 10.解：（1） ∵ [][]取得极大值，时，当上单调递减，，上单调递增，在，在)(12110)(x f x x f =∴∴ 0|)2124,0)(123/=+-==x ax x x x f 即（，∴4=a ， （ 2 ） 设 点 A （x )),(,21)())(,0000x f x B x x f x f -=（的对称点的坐标为上的任一点，它关于是 ∵的图象的一条对称轴。是)(1)()2(00x f y x x f x f ==∴=- 由个不同的的图象恰有与2144)(1)(2 3 4 2 -+-=-=x x x x f bx x g 交点对应于方程 个不同的实根，恰有214412342-+-=-x x x bx 即 04000442234=≠===∴=-+-b x b x x bx x x x 时方程有等根得，当时是一个根，当∴b=4或b=0为所求. 11.解：(1)取x=1,q=2,有 的一个根， 是即0)(10)1()2()1(2=∴==x f f f f 若存在另一个实根10≠x ，使得,0)()(),0(),0((0)(0101111==≠=+∞∈≠x qf x f q x x x x x f q 有成立，且对任意的10)(,0)0)(10==∴≡∴=x x f x f x f 有且只有一个实根与条件矛盾，（恒成立， （2）21,,1q q b c b a c b a ==>>>不妨设 ， ，则q 1 >0，20q >∴)()()()()(22121b f q q b f b f c f a f q q ?=?=?，又a+c=2b, ∴ac-b 2 =2 ()04 a c --< 即ac< b 2 122 2121221,02,12q q q q b b q q q q ++?? ∴<∴<+<∴≤< ??? )()()(2b f c f a f <∴ (3) .0)(),1(;0)()1,0(),0()(,0)1(>+∞∈<∈+∞=x f x x f x x f f 时，当时单调递增，当在 又).()(,0),()(),()(,)()(n f m f n m n f m f n f m f n f m f -=∴>>-==∴= 令m=b 1q ,n=2 q b ,b ,1≠且q 021≠q 则f(m)+f(n)=(q )21q +f(b)=f(mn)=0,22)(,10.12 ??? ??+=<<<=∴n m f m f m n mn 且 ??? ???????? ??+= ∴+==>+>22)(),2 (2)(,12,1n m f m f n m f m f mn n m m 2 2??? ??+=∴n m m 即4m=, 22 2n mn m ++2 2 24n m m =--∴,由0 <-- 223+<<∴m 12.解：(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x 3 + 45x 2 + 3240x – 5000 (x ∈N 且x ∈[1, 20]); 2分 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x 2 + 60x +3275 (x ∈N 且x ∈[1, 20]). 4分 (2) P`(x) = – 30x 2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (x ∈N 且x ∈[1, 20]) 7分 当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 ∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 10分 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大. 11分 (3) 由MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (x ∈N 且x ∈[1, 20]). ∴当1< x ≤ 20时，MP (x)单调递减. 12分 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1 13.解：(1) ①当0a < 时，函数()f x 的单调递增区间为( 及， ②当01a <<时，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞及(0,)+∞， ③当1a >时，函数 ()f x 的单调递增区间为(, -∞及)+∞． （6分） (2) 由题设及(1) 1a >，解得3a =， （9 分） 因此函数解析式为()f x = (0)x ≠． （10分） (3) （理）假设存在经过原点的直线l 为曲线C 的对称轴，显然x 、y 轴不是曲线C 的对称轴，故可设l ：y kx =（0k ≠）， 设(,)P p q 为曲线C 上的任意一点，(,)P p q '''与(,)P p q 关于直线l 对称，且 p p '≠，q q '≠，则P '也在曲线C 上，由此得 22 q q p p k '' ++=，1q q p p k '-=-'-， 且 q q '=+ ， （14分） 整理得1 k k - =k =或k =， 所以存在直线y =及y x =为曲线C 的对称轴． （16分） （文）该函数的定义域(,0)(0,)D =-∞+∞ ，曲线C 的对称中心为(0,0)， 因为对任意x D ∈，()()f x f x -==-+=-?? ， 所以该函数为奇函数，曲线C 为中心对称图形． 14.解：(Ⅰ) 14()log ,()log 22 a a f x e g x e x x t ''= =+- ………………………3分 ∵函数()f x 和()g x 的图象在2x =处的切线互相平行 (2)(2)f g ''∴= …………………………………………………5分 14 log log 22 a a e e t ∴=+ 6t ∴= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）6t = ()()()F x g x f x ∴=-2log (24)log a a x x =+－ []2 (24)log ,1,4a x x x +=∈ …………………………………………7分 令[]2(24)16 ()416,1,4x h x x x x x += =++∈ []22 164(2)(2)()4,1,4x x h x x x x -+'=- =∈ ∴当12x ≤<时，()0h x '<,当24x <≤时，()0h x '>. ∴)(x h 在[)1,2是单调减函数，在(]2,4是单调增函数. …………………………9分 min ()(2)32h x h ∴==，()(1)(4)36max h x h h ∴=== ∴当10<a 时，有min ()log 32a F x =. ∵当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立, ∴min ()2F x ≥ …………………………11分 ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组 01,log 362;a a < log 32 2.a a >? ? ≥?② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1a <≤综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1a <≤ 15. 解：（1）在 ()()f m n f m f n ?=+中令1 m n ==，得 (1)f =； …………………2分 设120x x >>，则12 1x x >，从而有12()0x f x < 所以，11122222()()()()()x x f x f x f x f f x x x =?=+< 所以，()f x 在R + 上 单 调递 减 …………………5分 （2） 2 2 ()()()0(1)f x y f x y f x y f ++-=->=，由（1）知，()f x 在R + 上单调递减， ∴220 01x y x y x y ?+>? ->??- ， …………………7分 故集合A 中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分； 而(2)0(1)f ax y f -+==，所以，10ax y -+=， (8) 故集合B 中的点所表示的区域为一直线，如图所示， 由图可知，要A B ≠? ，只要1a <， ∴实数a 的取值范围是(,1)-∞ …………………10分 （3）由（1）知()f x 在R + 上单调递减，∴当01x <<时，()0f x >，当1x >时，()0f x <， 0a b <<，而|()||()|f a f b =，1,1a b ∴<>，故()0,()0f a f b ><， 1ax + 由 |()||()|f a f b =得，()(f a f b +=，所 以，1ab =， ………………… 12分 又12a b +>=，所以()(1)02 a b f f +<=， 又 2()2()22a b a b f b f f ??++??== ? ? ????? 由|()|2|()|2 a b f b f +=得，2224()2b a b a b =+=++，∴2242b b a -=+， 又01a <<，所以2 223a <+<，由 2243b b <-< 及1b >解得，32b << 16.解：（理）（I ）.0.,0,0,42>∴≥?≤-=?b b b a 方程有实根与题设矛盾则若（3分） （II ）设两整根为x 1,x 2，x 1>x 2 ??? ??=-=-=+, 1,,21 2121x x b x x a x x 411422-==-∴a b b a )1(4 1)(2 -= =-∴a b a f (5分) （III ）设m 4 042 2 a b b a - ]2 1 ,(2.1+∈- ?m m a 即021<+≤-m a f(m)=41 )2(4222 2 ≤+=++<++a m a am m b am m )1,2 1 (2.2++∈- ?m m a f(m+1)=41 )21(4)1()2()1()1(222 2 ≤++=++++<++++a m a m a m b m a m .存在∴ (6分) （文）f(sinx)=c x b x a ++sin sin 2 左边对称轴在1,12-=∴-<- x a b ,4)1()(sin min -=-=∴f x f f(sinx)max =f(1)=2, ?? ?=++-=+-∴,2,4c b a c b a ???--==, 1, 3a c b 又b>2a>0,.2,1-==∴c a .23)(2-+=∴x x x f 4 17 )(min - =x f (7分) (2))1.(4)1(,4)11(2)1(4),1(2)(42 分=∴=+≤≤∴+≤≤f f x x f x )1).((4,4分即c a b c b a +-=-=++∴ .0)4(,4)(2恒成立即又≥+-+≥c x b ax x x f ,04)(,04)4(2≤---≤--=?∴ac c a ac b 即 )1.(21.,2,024) 2.(,0)(* 2分或又分==∴∈≤≥-=∴=∴≤-∴a a N a a a b c a c a .22)(,0,2,22+=∴=∴==x x f b c a 时当 不存在 .22)(2 000+ 当a=1时，c=1,.12)(,22 ++=∴=∴x x x f b 此时存在x 0,使)2.(1).1(2)(200分故=+ 17.解：(I)证：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0), 故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)= ∴f(-x)=-f(x) ∴函数f(x)的奇函数 4’ （II ）设-1 因此 ∴函数f(x)在（-1，1）上是减函数 8’ （III ） 是（-1，1）上的减函数， 由 得x<0或x>2 9’ 当a=0时， ，原不等式的解集为{x|x>2} 10’ 当-1 故原不等式的解集为 12’ 当0 若x>2，则a(x-1)<1,x<1+ ∴ 故原不等式的解集为{x| } 18.解：（1）∵奇函数)(x f 的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意]11[21，、-∈x x 且21x x ≠有 0x x ) x (f )x (f 2 121<--……………………………………………………3分 从而21x x -与)()(21x f x f -异号 ∴)(x f 在]11 [，-上是减函数…………………………………………5分 （2） )(c x f -的定义域为]11 [+-c c ， 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 难点41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上， 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图）， 现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上 以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本 身的大小）. 2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟. 3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ ●案例探究 ［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水 中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料 60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ 命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目. 知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y = ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b ) 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 难点34 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-= x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 2222222222 22222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(] ))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+' +--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21 v －21·2x =f ′(12+x )·211 1 2+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21- ·(x 2+1)′ 2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110)[数学]数学高考压轴题大全
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