自考线性代数学习指导110308

线性代数学习指导

第一章行列式

一、余子式与代数余子式

1.元素ij a 的余子式：ij M (本质是个实数或者代数式)

定义：划去元素ij a 所在的第i 和第j 列的所有元素后，剩下的元素位置不变

所构成的新行列式

2.元素ij a 的代数余子式：ij A (本质是个实数或者代数式) 关系：ij j

i ij M A +-=)

1((两者要么相等，要么相反)

二、关于行列式的计算方法一：对角线法(沙路法)

使用对象：二、三阶行列式

方法二：行列展开法

使用对象：任意阶行列式

公式：???

???

?=∑∑==)

()

(11

列展开按照第行展开按照第j A a i A a D n

i ij ij n

j ij ij

(注：实际计算中的两种常用方法。

方法一：按照行列式的性质化简后，尽量化为上三角行列式；

方法二：经过适当的化简后，接近上三角行列式，然后选择0元素最多的行或者列展开。)

三、行列式的性质

性质1：行列式与其转置行列式行列(互换后的行列式)相等(D D D T

'==)

性质2：任意交换行列式的两行(列)，行列式的值变号

推论：行列式中若有两行(列)元素对应相同，则行列式的值为0

性质3：若行列式中某一行(列)有共同因子k ，可以将该因子k 提取到行列式符号前面

n n in i i n nn

n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D

2121

112112

21112

11==

(对比：若A 是n 阶方阵，则A k kA n

性质4：行列式中若有两行(列)元素对应成比例，则行列式的值为0 性质5：(拆分性质)行列式可以按行(列)拆开

i n in i i n nn

n n in i i n nn

n n in in i i i i n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a D

112112121

112112

2211112

11+=+++=性质6：(放大平移不变性质)

把行列式D 的某一行(列)的所有元素都乘以同一个数k 以后加到另一行(列) 的对应元素上去，行列式D 的值不变

n n in i i in

n i i nn

n n in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a D

2112121112121

11211

+++=

(第i 行的k 倍加到第1行,行列式的值不变)

三、特殊行列式的值 1．上三角行列式

nn nn n nn

a a a a a a a a a a a a a a D

33221133323221131211

00000

2．下三角行列式

nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a a D

332211321333231

2221

0== 3．对角行列式

nn nn

a a a a a a a a D

332211332211

000

0== 四、几个行列式的关系(常考考点)

如A,B 为n 阶方阵，则

?===

==--B

A A

B A A A

A A A A k kA n T n )5()4(1)3()2()1(1*1

五、克拉默法则

含有n 个方程的n 元线性方程组的一般形式为

???????=++=++=++n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212*********(1)，它的系数构成的阶行列式 (实质：b X A n n n =?)

n n n

a a a a a a a a a D 2

2222111211

称为方程组(1)的系数行列式

定理(克拉默

Cramer 法则)如果n 个方程的n 元线性方程组(1)的系数行列式

0≠=n

ij a D ，则方程组必有唯一解：,2,1,n j D

D x j j ==

其中n j a a b a a a a b a a a a b a a D nn

j n n

j n n in j i i j i i n j j j

,2,1,1,1,11,1

11,111,111==+-+-+- (其实就是用方程组右边的常数列来代替系数行列式中的第j 列元素)

六、齐次线性方程组及其解

方程组(1)中的常数021===n b b b ，这时对应的方程组为

??????

?=++=++=++0

221122221211212111n nn n n n

n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (2) ,称为齐次线性方程组 (实质：0=?n n n X A )

结论：若此时系数行列式0≠=n

a D ，则方程组(2)只有零解： 021===n x x x

(此时,)()(n R A R == 故有唯一解(即零解) ); 若0==n

a D 时，则它有无穷多个解，必有非零解)

第二章矩阵及其运算

一、矩阵的概念(数表)

定义：由n m ?个数),2,1;,2,1(n j m i a ij ==排成的一个m 行n 列的数表

????

???????mn m m n n a a a a a a a a a 2

2222111211，称为一个m 行n 列矩阵．

(1)ij a 称为矩阵的第m 行第n 列元素 (2)i ：行标; j ：列标，

(3)第i 行与第j 列的交叉位置记为),(j i (4)一般用大写字母C B A ,,表示矩阵，如n m ij a A ?=)(,或n m ij a ?)(，或n m A ?

注意：一般情况下n m ≠，若n m =则称矩阵为n 阶方阵二、特殊矩阵

1．行矩阵：只有一行元素的矩阵

),,(211n n a a a A A ==? (也可以称为n 维行向量, ),,(21n a a a =α)

2．列矩阵：只有一列元素的矩阵

????????????==?m m b b b B B 2

(也可以称为m 维列向量,?????

???????=m b b b 21β) 注意：向量是特殊的矩阵，而且是非常重要的特殊矩阵，后面会详细介绍 3．0矩阵：所有元素都为0的矩阵，用n m O ?或者O 表示，如?

?????????0000000000，

三、特殊方阵

1．n 阶对角阵：???

????????

???=n n a a a

0022

11Λ, 或者简写为??

????

?????=Λn n a a a

2．n 阶数量阵：????

???

???a a a 000000 或者 ?

????

???????a a a 3．n 阶单位阵：?????????

???=100

010

001

n E ，或者?

???

???????=111 n E 4．n 阶对称矩阵(实对称矩阵) ：设)(ij a A =为n 阶实方阵，若T

A A =，称A 为对称阵

A A =?n j i a a ji ij ,2,1,,==)

5．n 阶反对称阵(实反对称矩阵)：设)(ij a A =为n 阶实方阵，若T

A A -=，称A 为

反对称阵 (T

A A -=?n j i a a ji ij ,2,1,,=-=)

注意：若A 为反对称矩阵，则必有n i a ii ,2,1,0==(主对角线上的元素都为0)

四、同型矩阵

行数和列数都相等的两个矩阵，称为同型矩阵。

(n m n m B A ??,就是两个同型矩阵) 五、矩阵的相等

定义：同型矩阵n m A ?与n m B ?，若对应元素都相等，即)2,1,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称这两个矩阵相等，记作B A = 六、矩阵的加法运算

1定义：同型矩阵n m A ?与n m B ?，由A 与B 的对应元素相加所得到的一个n m ?矩阵，称为

A 与

B 的和，记为B A +，即n m ij ij b a B A ?+=+)(

2运算法则：

(1)交换律 A B B A +=+

(2) 结合律 )()(C B A C B A ++=++ (3)A A O O A =+=+

(4)消去律 B A C B C A =?+=+ (5)O A A A A =-=-+)( 其中A -称为A 的负矩阵，即

??????????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

22221

11211,则 ?

????

?????---------=-mn m m n n a a a a a a a a a A 2

2222111211

七、矩阵的数乘运算

1.定义：对于任意一个矩阵n m ij a A ?=)(和任意一个数k ，规定k 与A 的乘积为 n m ij ka kA ?=)((每个元素ij a 都与k 相乘) 2运算法则：

(1) 结合律：klA lA k A kl ==)()(，和为任意实数

(2) 分配律：lA kA A l k kB kA B A k +=++=+)(,)(，l k ,为任意实数八、矩阵的乘法运算 (1S m A ?, n S B ?2)

1．判断可行性:要求前面矩阵的列数=后面矩阵的行数 (即21S S =)

2．如可行，确定新矩阵的行和列记C B A =?，则n m ij n m c C C ??==)((先宏观)

C 的行数等于前面矩阵的行数，C 的列数等于后面矩阵的列数

3．计算新矩阵中的每一个元素ij c 其中sj is j i j i s

k j

k ik ij b a b a b a b

a C ++==

∑=22111

(后微观)

(前面矩阵取行元素，后面矩阵取列元素，对应相乘再相加)

(比喻：前面矩阵行元素看作是观众，后面矩阵列元素看作是座位，观众到电影院看电影

找座位，然后再把他们用胶水粘在一起)

九、乘法运算的法则

1. 一般不满足交换律，即BA AB ≠

定义：若BA AB =，则称B A ,为可交换矩阵 2. )()(BC A C AB =

3. BC AC C B A +=+)(，AC AB C B A +=+)((两种情况，左分配与右分配)

4. )()()(kB A B kA AB k ==，k 为任意实数

5. A AE A A E ==, 十、方阵的方幂

1．

个

m m

A AA A AA A E A ===,,20 2．kl l k l k l k A A A A A ==+)(,, l k ,为任意正整数注意：方阵的方幂与实数域中的运算法则相同

十一、矩阵的转置

1.定义：设矩阵?

????

???=mn m m n n a a a a a a a a a A 2

22221

11211，把矩阵的行与列互换得到的m n ?矩阵，

称为矩阵A 的转置矩阵，记作T

A 或A '，即?

???

????

???=mn n n

m m T a a a a a a a a a A 212222112111 2.运算法则

1. A A T T =)(

2. T T T B A B A +=+)(

3.T T A k kA =)(，k 为实数

4. T T T A B AB =)( (交换位置) (对比：111)(---=A B AB ) (定义：若n 阶方阵A 满足E A A AA T

==,则称A 为正交矩阵) 十二、方阵的行列式

1.定义：由n 阶方阵A 的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A 的行列式，记作A 或

)det(A ，即,如果?

????????

???=nn m n n n a a a a a a a a a A 2

22221

11211，则nn

n n n

a a a a a a a a a A 21

22221

11211=

2.运算法则

1. A A T =

2. A k kA n

= 3.B A AB = (行列式乘法规则)

十三、方阵多项式

定义：任意给定一个多项式0111)(a x a x a x a x f m m m m +++=--和任意给定一个

n 阶方阵A ，都可以定义一个n 阶方阵n m m m m E a A a A a A a A f 0111)(+++=--,

称)(A f 为A 的方阵多项式 (本质是个方阵)

(末项是数量矩阵n E a 0而不是常数0a ，方阵多项式是以多项式表示的方阵)

十四、逆矩阵的概念 (注意：逆矩阵存在则其唯一)

1. 定义：设A 是一个n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵B ，使得n E BA AB ==成立，

则称A 是可逆矩阵(或非奇异矩阵),并称方阵B 为A 的逆矩阵，

记为1

-=A B ;若这样的方阵B 不存在，则称A 为不可逆矩阵(或奇异矩阵)

2. 逆矩阵的性质运算法则 1. A A =--11)(

2. 111)(---=A B AB (交换位置) (对比：T T T A B AB =)()

推广：设m A A A ,,21是m 个同阶的可逆矩阵，则m A A A 21也可逆，且

121)

(------=A A A A A A A m m m 3. 11

)

(--=

A A λ

4. T T B A B A ])[(])[(11--+=+ (逆运算与转置运算可以互换顺序)

5. 可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去，即当P 为可逆矩阵时，有 B A BP AP B A PB PA =?==?=;

6. 设A 是一个n 阶可逆方阵，我们记n E A =0，并定义k k

A A )(1--=，其中k 是

任意正整数，则有kl l k l

k l

A A A

A A ==+)(,。这里，k 和l 为任意整数

(包括负整数，零和正整数) 十五、伴随矩阵

设n n ij a A ?=)(，ij A 为A 的元素ij a 的代数余子式),2,1,(n j i =，则定义矩阵

??????????nn n

n n A A A A A A A A A 212221212111为A 的伴随矩阵，记为*A ，即?

????

?????=nn n

n n A A A A A A A A A A 21222

1212111

注意：若A 为n 阶方阵，则1

-=n A A

十六、求逆矩阵的两种方法

方法一：A

A A *1

=-,其中*

A 为矩阵A 的伴随矩阵，A 为矩阵A 的行列式

(缺点：矩阵阶数为4阶以上时，计算量太大，使用不方便)

方法二：利用初等行变换法将原来矩阵化为单位矩阵即可，)()(1

-→A E E A

具体步骤：主要是对竖线左边的矩阵A 施行初等变换,首先要调兵遣将，实现011=a

第一步:从上到下，从左到右，化为0元素，同时实现1=nn a ，变为上三角矩阵；第二步:从下到上，从右到左，化为0元素，在每一步中，及时实现主对角线上的元素

)1,2,1(1-==n i a ii ；此时竖线右边的矩阵就是我们要求的1-A .

十七、分块矩阵

1.n m ?矩阵n m ij a A ?=)(的分块矩阵的一般形式为s

r ij rs r r s s A A A A A A A A A A A ?=?

????

???=)(2

22221

11211

对于同一个矩阵可以有不同的分快法。采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵。对于任意一个n m ?矩阵n m ij a A ?=)(，常采用以下两种特殊的分块方法

(1)(A 按行分块)行向量表示法??????

??????=m A ααα 2

1，其中m i in i i i ,,2,1),,,(21 ==αααα

(2)(A 按列分块)列向量表示法[]n A βββ,,,21 =，其中n j a a a mj j

j j ,,2,1,21 =??????

????????=β

十八、4种最常用的分块矩阵的运算

1.分块矩阵的加法

把n m ?矩阵A 和B 作同样的分块：?

????????

???=rs r r s s A A A A A A A A A A

122221

11211,

???

???????=rs r r s s B B B B B B B B B B 21

22221

11211, 其中，ij A 的行数=ij B 的行数；ij A 的列数=ij

B 的列数，

s j r i ≤≤≤≤1,1，则?

??????

???+++++++++=+rs rs r r r r s s s s B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A

12222

2221

211112121111

2.数乘分块矩阵

数k 与分块矩阵s r ij a A ?=)(的乘积为