定积分计算公式和性质
第二节定积分计算公式和性质
一、变上限函数
设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为
这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为
如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的
x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数
记为
图
5-10
从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的
路程s为
图5-11
另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11）
即
由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分
，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量
即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法：
设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算
因为是的一个原函数所以
例 2 求曲线和直线x=0、x=及y=0所围成
图形面积A(5-12)
解这个图形的面积为
图
5-12
二、定积分的性质
设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质：
性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
(A为常数)
性质2函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即
这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3积分的上、下限对换则定积分变号，即
以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4如果将区间分成两个子区间及那么有
这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。
当a 图5-13a 图5-13b 因为所以 即性质4成立。 当a 显然，性质4也成立。 总之，不论c点在内还是外，性质4总是成立的。 例3求 例4求 解= 例5求 解 所以 例6求 解 于是， 例7 设求 解因为 所以 = == 例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以 加速度a=-5m/刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？ 解首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当时火车速度 刹车后火车减速行驶。其速度为 当火车停住时，速度，故从 解得 于是在这段时间内，火车走过的距离为 = 即在刹车后，火车需走过40m才能停住。 习题5-2 1 求下列定积分： （1）(2) (3)(4) (5)（6） (7) (8)(9)(10) (11)设 2.求由与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。 Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()('' x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1' 11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 1 1μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=)0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ?+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11 )2(22 ②? ?+=++-= =+--C x C x dx x x dx 21 )21(1 1)21(21 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥????++-=+=+=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2222222 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1 csc cot 22 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f +=++= +??1 ,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===???)5cos(5 1 sin 51555sin 515sin ②()()()()??+--=+-+? -=---=-+C x C x x d x dx x 8177 72116 12117121)21(212121 ③())20(arctan 111222C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??=+=+?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-=-? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??11,1 即 例2、求不定积分 ①( )() () () C x C x x d x dx x x +--=+-+?-=---=-+??2 32 12 12 212 2 12 2 13 1 11 121112 1 1 经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、 定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分 经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x) 定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样， 1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限 其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点 怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积； 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积） 设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立 §5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 ) (10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. ·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则 法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ?? 常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx d x=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C 5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)co s(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x 第二节 定积分的性质 和基本定理 用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭 示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效 §2.1 一、定积分的基本性质 性质 1 b a 1dx=∫b a dx=b-a 证 0 lim →λ∑=n 1 i f(ξi ）Δx i ＝ lim →λ∑=n 1 i １·Δx i ＝0 lim →λ (b-a)=b-a b a 1dx=∫b a dx=b-a 性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 证：设F(x)=αf(x)+β g(x), lim →λ∑=n 1 i F(ξi ）Δx i ＝0 lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］ Δx i ＝0 lim →λ［α∑ =n 1 i f(ξi ）Δx i ＋β ∑ =n 1 i g(ξi ）Δ x i ］ ＝αb a f(x)dx+β∫b a g(x)dx αf(x)+βg(x)在［a,b b a ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ b a f(x)dx+β ∫b a g(x)dx 特别当α=1,β=± 1 b a ［f(x)±g(x)］dx=∫ b a f(x)dx ±∫ b a g(x)dx 当β =0 b a αf(x)dx=α∫ b a f(x)dx 性质 2 性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意 两点构成的区间上可 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12 定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数. 例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?. 积分常用公式 一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）： 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? Y 卷终 公式表注解四 基本不定积分表 序言： 微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。 本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。 本表收录公式16组，151式。 公式一 基本初等函数的不定积分18式： 反三角函数 上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。 公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式： 对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。 对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ??=- ?++?? ，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ????=-=-++ ? ?++??????。而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ??=+-+??+++?? ，然后利用第一个积分式即可得到结论。 对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得 到的。我们注意第一式中有 111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ??==- ?+++??，积分即得。对于第二式依然可用分 不定积分最全公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2)dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx dx=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e|cos(x)|+C = log e|sec(x)|+C 5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12. ∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13. ∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14. ∫sin(ax)cos(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15. ∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16. ∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17. ∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18. ∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19. ∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20. ∫e x dx = e x +C 21. ∫a dx = a log |x| (a 为常数) x 常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分. 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢？我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设 ()0 ()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[] 1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? 常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration. 0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10< ?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算 问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.（1） AdX （ 2） XdX _ 1 丄+ 彳 解：（1 ） . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 （2 ）.XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式，然后应用幕函 法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数， 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和 C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时，被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解： (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式，然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx不定积分公式大全
第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
定积分的性质与计算方法
定积分的概念和性质公式
基本积分公式
积分公式表,常用积分公式表
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分最全公式
定积分的性质和基本定理
定积分计算公式和性质
定积分基本公式
积分常用公式
高等数学第五章定积分总结
不定积分表
不定积分最全公式
常用微积分公式大全
定积分计算的总结论文
常见不定积分的求解方法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法