2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.理)

试卷类型：B

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式1

3

V Sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式1

2

2

1

n

i i

i n

i

i x y nx y

b

x

nx

==-=-∑∑ ， a

y bx =- ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的． 1．

已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（ ） A ．{|1}x x >-

B ．{|1}x x <

C ．{|11}x x -<<

D ．?

2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2

B ．

1

2

C ．12

-

D ．2-

3．若函数2

1

()sin ()2

f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为

π

2

的奇函数

B ．最小正周期为π的奇函数

C ．最小正周期为2π的偶函数

D ．最小正周期为π的偶函数 4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）

5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1

210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）． 图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ） Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i < Ｄ．9i <

7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给

A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61

s s s

s A ． B ． C ． D ． 图1 图2 身高/cm

件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（ ） Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18

8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =

D ．()[()]****a b b a b b =

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．

9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 ．（答案用分数表示）

10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120

，则

a a +a

b = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(2

1)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 ．

12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；

()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示）

13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3

3x t y t

=+??

=-?（参

数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θ

θ=??

=+?

（参数[)02θ∈π，）

，则圆C 的圆心坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 ．

14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则

(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆

周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分

别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

图

5 A

图4

已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，

，(00)B ，，(0)C c ，． （1）若5c =，求sin A ∠的值；

（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（本小题满分12分）

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y

（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程 y bx

a =+

； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方

程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5?+?+?+?=） 18．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标

原点O ．椭圆22

219

x y a

+

=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；

（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）

如图6所示，等腰ABC △的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使

PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．

（1）求()V x 的表达式；

（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？

（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． 20．（本小题满分14分）

已知a 是实数，函数2

()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求

a 的取值范围．

21．（本小题满分14分）

图6

P

E

D F

B

C

A

已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()

(12)()

n n n n f a a a n f a +=-=' ，，． （1）求αβ，的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln (12)n n n a b n a β

α

-==- ，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

绝密★启用前 试卷类型：B

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室

号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，

再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式1

3

V Sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．

如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =

．

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1

2

2

1

?n

i i

i n

i

i x y nx y

b

x

nx ==-?=-∑∑，?a

y bx =-. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项

是符合题目要求的。

一、选择题（本题8小题，每题5分，满分40分） 1

．已知函数()f x =

M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=

（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）?

答案：C ；

2．若复数（1+bi ）(2+i)是纯虚数（i 是虚数单位，b 为实数），则b= (A) -2 (B) -12 (C) 1

2

(D) 2

答案：B ； 解析：（1+bi ）(2+i)=（2-b ）+(2b+1)i ，故2b+1=0，故选B ； 3．若函数21

()sin ()2

f x x x R =-∈，则f(x)是

（A ）最小正周期为

2

π

的奇函数； （B ）最小正周期为π的奇函数； （C ）最小正周期为2π的偶函数； （D ）最小正周期为π的偶函数； 答案：D ；

4．客车从甲地以60km/h 的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系图象中，正确的是

答案：C ； 解析：

5．已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k= （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 答案：B ；

解析：此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k-10<8得到k=8。

6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）在[150，155)内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （A ）i<6 (B) i<7 (C) i<8 (D) i<9

答案：C ； 解析：S=4567A A A A +++； 7．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，

那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维

修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为

（Ａ）１５ （Ｂ）１６ （Ｃ）１７ （Ｄ）１８ 答案：B ；

8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S,对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应）。若对于任意的a,b ∈S,有a*( b * a)=b ，则对任意的a,b ∈S,下列等式中不．恒成立的是 （A ）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a （B ）b*( b * b)=b （C ）( a*b) * [ b*( a * b)] =b 答案：A ；

二、填空题（本题7小题，每题５分，满分3０分，其中１3，１５是选做题，考生只能选做两

题，三题全答的，只计前两题得分）

9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示) 答案：2

9

解析：412

669

?=；

10．若向量,a b 满足||||1a b ==

，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+? =______；

答案：32

；

解析：13

11122

a a a

b ?+?=+??= ，

11．在直角坐标系xOy 中,有一定点A （2，1）。若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是______; 答案：54

x =-;

解析：OA 的垂直平分线的方程是y-

12(1)2x =--，令y=0得到x=54

; 12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这

些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)____f =；f(n)=______(答案用数字或n 的解析式表示) 答案：(1)

2

n n +;8;n(n-2)。 解析：

(1)

2

n n +;(4)428f =?=;()(2)f n n n =?- 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3

3x t y t =+??=-?

（参

数t ∈R ），圆C 的参数方程为cos 2sin 2

x y θ

θ=??=+?（参数[0,2]θπ∈），则圆C 的圆心坐标为_______，

圆心到直线l 的距离为______. 答案：（0，2）

；.

解析：直线的方程为x+y-6=0，

=14．（不等式选讲选做题）设函数()|21|3,f x x x =-++则(2)f -=_____；若()5f x ≤，则x 的取值

范围是________；

答案：6；1[,1]2

-

15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE 的长为_______。

答案：

6

π

；3。 解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案； AE=EC=BC=3； 三、解答题 16．（本小题满分１2分）

已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （１） 若c=5，求si n ∠A 的值；

（２） 若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解析： （1）(3,4)AB =-- ，(3,4)AC c =-- ，若c=5， 则(2,4)AC =-

，∴

A

cos cos ,

A AC A

B ∠=<>= ，∴si n ∠A ； （2）若∠A 为钝角，则391600

c c -++，∴c 的取值范围是25

(,)3+∞；

17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生

产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据

（１） 请画出上表数据的散点图；

（２） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程 y bx

a =+ ； （３） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性

回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5） 解析：

（１） 略；

（２） 方法1（不作要求）：设线性回归方程为y bx a =+，则

22222

2

2

2

2

(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)

f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-

∴79 3.5 4.52

b

a b -=

=-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-

即2225

0.5[(32)(1)]572

b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时ｆ（ａ，ｂ）取得最小值；

所以线性回归方程为0.70.35y x =+；

方法2：由系数公式可知，2

66.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b

-??-=====-? 93.50.70.352

a

=-?=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+； （３）ｘ＝１００时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技

术改造前降低１９．６５吨标准煤． 18．（本小题满分14分）

在直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y=x 相切于坐标原点O ，椭圆22

219x y a

+=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（1）求圆C 的方程；

（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）圆C ：22(2)(2)8x y ++-=；

（2）由条件可知a=5，椭圆22

1259

x y +=，∴F （4，0），若存在，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、

Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称；

直线CF 的方程为y-1=1(1)3x --,即340x y +-=，设Q （x,y ），则334022y

x x y ?=????+-=??，解得4512

5x y ?=???

?=??

所以存在，Q 的坐标为412

(,)55

。

19．（本小题满分14分）

如图6所示，等腰三角形△ABC 的底边

AB=CD=3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且E F ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使P E ⊥AE ，记BE=x ，V （x ）表示四棱锥P-ACEF 的体积。 （1）求V(x)的表达式； （2）当x 为何值时，V(x)取得最大值？

（3）当V （x ）取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。

（1）由折起的过程可知，P E ⊥平面

ABC

，

ABC S ?=

，

22

54BEF

BDC x S S x ??=?=

21

(9)12

x x -

（0x << （2

）

21

'())4

V x x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)

单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)

取得最大值 （3）过F 作MF//AC 交AD 与M,则

,2122

BM BF BE BE

MB BE AB BC BD AB

=====，

PM=

MF BF PF ===

=

在△PFM 中， 84722cos 427PFM -∠==，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为2

7

； 20．（本题满分14分）

已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，求实数a 的取值范围。

解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -?≤或

F 图6

P E

D B A

(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a

-≥??≥??

?=++≥??

?-∈-??15a ?≤≤

或a ≤

或5a ≥

?a 或a ≥1. 所以实数a

的取值范围是a ≤

或a ≥1. 解析2：a=0时，不符合题意，所以a ≠0,又

∴2

()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，2

(21)32x a x ?-=-在[-1，1]上有解2121

32x a x

-?=

-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数221

32x y x -=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则23x t =-，

t ∈[1,5],21(3)217

(6)22t y t t t

--=?=+-，

设2277

().'()t g t t g t t t

-=+=

，t ∈时，'()0g t <，此函数g(t)

单调递减，t ∈时，'()g t >0,

此函数g(t)单调递增，∴y

的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解

1

a

∈3,1]1a ?≥

或a ≤。

21．（本题满分14分）

已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，

1()

'()

n n n n f a a a f a +=-

（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；

（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ；

（3）记ln n n n a b a a

β

-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。

解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，

∴αβ=

； （2）'()21f x x =+，21

115

(21)(21)12442121

n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-

+-=-=-++ =5114

(21)4

212n n a a ++

-

+，∵11a =

，∴有基本不等式可知20a >

（当且仅当1a 时取等号）

，∴20a >

>

同，样3a >

，……，n a α>=（n=1,2,……）， （3）1()()(1)2121

n

n n n n n n n a a a a a a a a αββ

ββα+----=--=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，

21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=

，又11ln 1b βα-===-

2(2n n S =-