16.2线段的垂直平分线
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D B A C 八年级上册数学导学案 16.2《线段的垂直平分线》(一）
学习目标：
1、掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理的证明和简单应用。
2、会用尺规作已知线段的垂直平分线及过已知点作已知直线的垂线过程。
一、合作探究（线段垂直平分线的性质定理）
1、写一写：线段垂直平分线的性质定理：__________________________________________
2、证一证
已知：________________________________________________________
求证：______________
证明： 3、写一写：几何语言：（如上图）
∵ MN 是线段AB 的垂直平分线（已知）
∴ = （___________________)
小试身手
1、如图1，EF 是△ABC 中BC 边上的垂直平分线，若FC=5，则BF=
2、如图2， AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，
（1）、如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC= （2）、如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是 （3）、如果∠A=28度，那么∠EBC 是
图1 图2 图3
3、如图3，△ABC 中AC>BC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
A B M
N P C
B
A C D
E A B C
E F
5、已知：点P,Q为线段垂直平分线上的两点
（1）如图1，当点P,Q在线段AB的两侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗？为什么？（2）如图2，当点P,Q在线段AB的同侧时，你认为∠PAQ和∠PBQ相等吗？为什么？
6、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．
O F
E
A
B
C
八年级上册数学导学案16.2《线段的垂直平分线》(二）
二、合作探究(线段垂直平分线的逆定理）
1、写一写：写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：
。
2、想一想：以上的命题是命题（“真”或“假”）
3、证一证：
已知：
求证：
4、概括：几何语言：（如上图）
∵ OB= OC（已知）
∴点在的垂直平分线上（_________________________）
小试身手（你能行）
1、在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC（）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
2、如图3，四边形ABCD，AB=AD，BC=DC，
则AC与BD的位置关系是，
点A在线段BD的上，
点C在线段BD的上。
3、如图4，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE，
则△ABC为三角形。
4、已知：在△ABC中，OE、OF分别是△ABC
边AB、AC的垂直平分线,
求证：点O在BC的垂直平分线
图2
A
B
C
D
图3
A
B C
D
E
图4
5、如图，AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，请写出AB+BD与DE的关系，
并给与证明。
当堂检测
1、已知，如图△ABC的边AB的中垂线与边AC的中垂线相交于点O.
求证：AO=BO=CO
2、如图，在△ABC中，BC的中垂线交BC与点E,交AB与点D,∠B=280，求∠ADC的度数
3、已知，如图，在△ABC内部一点P在BC的中垂线上，且PA=PB,
求证：点P在AC的中垂线上。
4、如图，在△ABC中，∠C=900,线段BC的垂直平分线交AB与点D，交BC与点E，
DF⊥AC,AD=BD,
求证：DF是AC的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质
§13.1.2线段的垂直平分线的性质 教学目标 1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质． 3．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．重点难点; 重点： 1．轴对称的性质． 2．线段垂直平分线的性质． 难点：体验轴对称的特征． 教学过程 一、创设情境，引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质． 二、导入新课：观看投影并思考． 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、 C′分别是点A、 B、C的对称点，线段AA′、BB′、 CC′与直线MN有什么关系？ 图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂 直． AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？ △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别 是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′ B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系． 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样， 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 归纳图形轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线． 下面我们来探究线段垂直平分线的性质． [探究1] 如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2， P3，…是L上的点， 分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B 的距离，你有什么发现？ 1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中 点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、 AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 讨论发现什么样的规律． 探究结果： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…
线段的垂直平分线各种证明
证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求
①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点
线段的垂直平分线典型例题
典型例题 例1．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证：D 在AB 的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可. 证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知）， ∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余） 又∵BD 平分ABC ∠（已知） ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =（等角对等边） ∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。 求证：BF CF 2=。 分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就可以了. 证明：连结AF ， ∵EF 垂直平分AB （已知） ∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）
∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角） 又∵?=∠120BAC （已知）， ∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2= 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。 求证：CAF B ∠=∠。 分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠. 证明：∵EF 垂直平分AD （已知）， ∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角） ∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， CAD FAD CAF ∠-∠=∠，
线段中垂线的性质定理
线段中垂线的性质定理 教学目的：1、掌握线段中垂线的性质定理； 2、学会线段中垂线的性质定理在几何证明及计算中的应用。 教学重点：线段中垂线的性质定理 教学难点：例2教学 教学过程： 一、复习引入： 1、 什么叫轴对称图形？ 2、 已知线段AB ，如何作出其对称轴？（学生口述， 教师作图如图1） 这条对称轴就是线段AB 的中垂线。 3、 提出问题：MN 是线段AB 的中垂线，则C 为垂足， C 也是中点，故CA=CB 。 现在，在MN 上任取一点P ，是否也有PA=PB 呢？本 节课我们要进一步研究线段的中垂线。（揭示课题：线段中垂线的性质定理） 二、新课讲授： 1、 线段中垂线的性质定理： 在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 证明方法：⑴全等证法；（学生口述简证）⑵利用轴对称证法。（学生了解） 2、 线段中垂线的性质定理的应用 Ⅰ图形认识强化： ⑴如图2，已知DF ，EH 分别为AB ，AB 的中垂 线，所能得到的结论是： ⑵如图3，已知AE 是BC 的中垂线，所能得到 的结论是： ⑶如图4，已知DE 是AB 的中垂线，所能得到的结论是： A B C D E 图3B A C E D 图4 Ⅱ例题教学 例1分析： A M N C B P 图1B A E C D 图2
⑴从已知出发考虑问题，AE垂直平分CF能推出什么?AC=AF，从而能更进一步推出 什么？∠AFC=∠ACF. ⑵再从已知考虑问题，由CD⊥AB，能推出∠1与∠AFC有什么关系？由∠ACB=90， 能推出∠2和哪个角互余？ ⑶由∠AFC=∠ACF能推出∠1=∠2吗？根据什么？ 写出规范证明过程. 例2分析： 4 三、练习巩固： 1、P66练习1； 2、P66练习2； 四、课堂小结： 1、线段中垂线的性质定理; 2、要避免在已知线段中垂线条件下不用性质避免而用全等繁证一些结论，例如：上 图3中若要证∠DEC=∠DCE，有同学通过证明△DEC≌△DCE来证，虽能证得，但方法很繁。 3、在已知中垂线的条件下，注意适当添线可创造中垂线性质定理的使用条件，如例2。 五、作业布置： Ⅱ 六、课后记录：
线段垂直平分线经典练习题
《线段垂直平分线》中一道习题的变式 例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线 交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长. 点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变. 变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A= . 点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B. 变式2： 如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。 点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。 图1 图2 图3
[变式练习1] 如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =°求：AC的长. 图4 例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求∠EAN的度数. (2) 求△AEN的周长. (3) 判断△AEN的形状. 图5 [变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图6
线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？
线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P
线段的垂直平分线练习及答案
线段的垂直平分线练习及答案 一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段A．6B．5C．4D．3 第1题图第2题图第5题图 2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分AB C．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB 3．下列说法中错误的是（） A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线 B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等 C．线段有且只有一条垂直平分线 D．线段的垂直平分线是一条直线 4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点 5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（） A．100°B．105°C．115°D．120° 6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（） A．48 B．24 C．12 D．6 7．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC 于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算 8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( ) A．28°B．25°C．22.5°D．20° 第6题图第7题图第8题图 二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． D
线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)
线段的垂直平分线 一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的2 1 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题 第2题 第3题 2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ） A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下： （甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求； （乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ） A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ） A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点 第7题 第8题 8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB
线段垂直平分线的性质
线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课
教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字 在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对 称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我 们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线 段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成． 进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 教师演示线段垂直平分线的性质： 定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 同时，教师板演本节的题目： 1．3 线段的垂直平分线(一) 第二环节：探究新知 第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢．” 教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。 通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．” 教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．” 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． M 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°P
线段的垂直平分线
2.4线段的垂直平分线 姓名： 班级： 小组： 评价：_____________ 【课标要求】 理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 【核心素养体现】 直观想象、逻辑推理 【学习目标】 1.通过折纸实验，理解线段垂直平分线的定义，探究线段垂直平分线的性质及判定，并会用几何语言表示； 2.通过小组交流合作，会用尺规作已知线段的垂直平分线，并能利用性质定理求解线段. ——线段垂直平分线的定义 同学们，从你的卡片纸上，找到线段AB ，请进行以下操作： ①通过对折，使端点A 与端点B 重合； ②将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为CD ，直线CD 与线段AB 的交点为M ； ③请动手测量AM 与BM 的长度，∠CMB 的大小。 你有什么发现？ AM______ BM ，∠CMB=____________ 【归纳总结】 这时候，直线CD 为线段AB 的垂直平分线 ________且_________ 一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 ——线段垂直平分线的性质及判定 找到卡片纸上的直线CD ，任取一点P ,连接PA ，PB ，把卡片纸再沿CD 对折，PA 与PB 重合吗？你有什么发现？ 所以，PA______ PB 【归纳总结】 由此，就得到线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的______ 到______________________________相等 你能证明你的猜想吗？ 1. 已知：CD 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点M ，P 是直线CD 上的任意一点。求证：PA=PB 如何用几何语言表示？ ∵AM=MB,CD ⊥AB (或者CD 为线段AB 的垂直平分线） ∴PA=PB 学习活动1 学习活动2
线段的垂直平分线、角平分线经典习题及答案
3.线段的垂直平分线 4.角平分线 例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝0 40，求∠NMB 的大小 （2）如果将（1）中∠A 的度数改为070，其余条件不变，再求∠NMB 的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之. （4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。 例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。 例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。 例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。 例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF D ，自D 作D E AB ⊥于M=20°； AB 的垂直平分线与底边BC 则有∠B= 1/2（180°-α），∠M=90°- 1/2（180°-α）= 1/2α． （4）改为钝角后规律成立．上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半． 例2：解：连接BF ，由线段的垂直平分线的性质可得，FB ＝FA 又因为AC ＝AF+CF ＝6，所以BF+CF ＝6△BCF 的周长＝BC+CF+BF ＝4+6＝10 例3：证明：因为AC=AD 所以A 在线段CD 的垂直平分线上 又因为BC=BD 所以B 在线段CD 的垂直平分线上 所以直线AB 是线段CD 的垂直平分线 例4：解：作AH ⊥BC 于H ，HC=15/2 ∵等腰 A B C N M A B C N M A B C N M
线段的垂直平分线及其应用
线段的垂直平分线性质及其应用 一、基础知识归纳 1 线段的垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 说明：它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程. 2 线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 逆定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 说明：（1）关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；（2）要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可； （3）关于线段垂直平分线的判定定理的证明有多种思路，如①过点P 作已知线段AB 的垂线PC ，再证明PC 平分AB ；②取AB 的中点C ，证明PC⊥AB；③作∠APC 的平分线PC ，证明PC⊥AB，且AC=AB. 3 三角形的三边的垂直平分线 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等． 说明：（1）上面的定理是由实践操作（折纸）发现猜想，然后又经过逻辑推理而获得的，它是由实践到理论，从感性到理性的认识过程； （2）该定理综合了线段垂直平分线性质定理和判定定理，是两个定理的升华； （3）锐角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的内部的一点，直角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形斜边的中点，钝角三角形的三条边的垂直平分线相交三角形的外部的一点，但无论这个点在什么位置，它到这个三角形的三个顶点的距离是相等的． 二、典型例题剖析 典例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°， AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N. 求证：CM=2BM. 【研析】：由于MN 为线段AB 的垂直平分线，所以如果连接MA ，就可以得到MA=MB ，然后通过△M AC 把CM 和MA 联系起来。 证明：连接AM ，∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵MN 垂直平分AB ， ∴MB =MA ，∴∠B =∠MAB =30°，∴∠MAC =90°，∴AM =2 1CM ， ∴CM =2BM 典例2：城A 和城B 相距24千米，如今政府为便利两城居民生活， 决定修建一个仓库，使得仓库到两城距离相等，请问这样的 仓库位应该修建在什么位置？仓库的位置惟一吗？ 若要求仓库到两城距离均为15千米，则仓库的位置惟一吗？ 【研析】：这是一个把数学知识运用到生活中的实际问题，也就是找一个点到线段AB 的两个端点的距离相等，因此仓库的位置在线段AB 的垂直平分线上，这样的点有无数个，所以仓库的位置不惟一；若仓库到两城距离均为15千米，则AM=BM=15，AC=BC=12，所以 图1 图2
线段的垂直平分线含答案
线段的垂直平分线（含答案） 一、选择题（共8小题） 1、（2011?绍兴）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20 2、（2011?丹东）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（） A、6 B、4 C、6 D、4 3、（2010?义乌市）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3 4、（2010?烟台）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB 于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）
A、80° B、70° C、60° D、50° 5、（2010?台湾）如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下： （甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； （乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A、两人都正确 B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确 6、（2010?三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、（2010?巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、（2009?钦州）如图，AC=AD，BC=BD，则有（）
线段的垂直平分线,及性质
轴对称（二）——线段的垂直平分线及性质教学目标：⒈探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；⒉探索并理解线段垂直平分线的两个性质；⒊通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法⒋在数学学习的活动中，养成良好的思维品质。 教学重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质 教学难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。教学方法：小组讨论法、引导发现法 教学工具：多媒体、三角板、圆规 教学过程：一、创设情境，引入新课 ⒈什么样的图形是轴对称图形呢？下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴． ⒉前节课我们探讨了轴对称图形，今天我们一起来研究轴对称图形有什么性质？如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称) ⒊如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是
图 3 点A 、B 、C 的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN 有什么关系? 下面我们来动手做一轴对称的图形，从图形中能得到结论？ ⒋实验探究：⑴折一折：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A 和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A 和点A'关于直线MN 对称．连结点A ，A'，交直线MN 于点P 。 ⑵说一说：观察图形，线段AA'与直线MN 有 怎样的位置关系?你能说明理由吗?类似地， 点B 与点B'，点C 与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗? ⑶想一想：上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢? ⒌合作探究：⑴课本32P 探究，能用我们已有的知识来证明这个结论吗？反过来，如果PA=PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？（课本33P 探究）如果成立，试证明之。（利用判定两个三角形全等） （1） 证法一： 证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC ． ∵PA ＝PB ，PC ＝PC ， ∴Rt △PA C ≌Rt △PBC (HL 定理)．
《线段的垂直平分线(1)》说课稿
《线段的垂直平分线（1）》说课稿 各位老师： 大家好！我说课的内容是北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》第三节《线段的垂直平分线》第一课时。下面我就从教材、学情、教法与学法、教学过程、板书设计这五个方面把我的理解与认识说一下。 一、教材分析： 1、地位与作用 线段的垂直平分线性质，在今后学习中经常要用到，这部分内容是后面学习的基础。它是在认识了轴对称的基础上进行学习的，是今后证明线段相等、直线垂直的依据。因此，本节课具有承上启下的作用。 2、教学目标 知识与技能：会画线段垂直平分线，了解线段垂直平分线的性质，会用线段垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、证明。 过程与方法：自己动手探究发现线段垂直平分线的性质，培养学生观察、推理能力。 情感、态度与价值观：要求学生在学习几何知识的过程中，感受几何知识的乐趣与运用美。 3、教学重点 探究线段的垂直平分线性质定理，并给出证明。 4、教学难点 能够应用线段的垂直平分线性质定理解决简单问题。 二、学情分析： 八年级学生已经具备了一定的独立思考问题的能力和探究问题的能力，并能在探究问题的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐步完善自己的想法。学生已经基本掌握了用全等三角形证明线段相等、角相等，这为学习线段的垂直平分线性质提供了知识准备；在七年级时已经学习了轴对称的性质，这也对线段的垂直平分线有了一定的认识。但学生基础差，底子薄，努力程度不够，对线段的垂直平分线性质定理的掌握存在较大困难。 三、教法与学法：采用引导发现法 教师通过精心设置的一个个问题链激发学生的求知欲。学生在教
师的引导与合作下，通过自主、合作、交流、发现问题，并解决问题。引导学生观察、测量、猜想、探究、总结出线段的垂直平分线性质，培养学生善于观察、乐于思考、勤于动手、勇于表达的学习习惯，提高学生的学习能力。 四、教学过程 本节课设计了七个教学环节：第一环节：引入新课，忆一忆；第二环节：新课探究，找一找；第三环节：合作交流，做一做；第四环节：定理小结，说一说；第五环节：讲练结合，思路活；第六环节：课堂小结，谈收获；第七环节：作业布置，练一练。 第一环节：忆一忆 （1）什么叫线段的垂直平分线？ （2）线段是轴对称图形吗？ （3）怎样做出一条线段的垂直平分线？ （回顾旧知，导入新课，动手操作，激发探究学习兴趣。） 第二环节：找一找 线段垂直平分线的画法有哪些？你会用尺规作图吗？ 已知：线段AB。 求作：线段AB的垂直平分线。 作法： （1）分别以端点A、B为圆心，大于?AB长为半径画弧，两弧相交于点E、F. （2）作直线EF. 则EF就是线段AB的垂直平分线. 思考：直线EF是不是线段AB的垂直平分线呢？ （通过动手操作，激发学生学习及探究的兴趣，变“要我学”为“我要学”，充分调动了学生的积极性、求知欲。） 第三环节：做一做 在EF上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？你会证明这一结论吗？ 1、让学生大胆猜测发现的结论是什么。但是，我们仅仅凭观察就能说明这个结论的正确性吗？ 2、给学生留有时间和空间，交流讨论，如何证明结论的正确性。
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质 知识点:1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 2、逆定理就是: 3、在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半。 典例分析:例1:如图1,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,△BCE 的周长等于50,求BC 的长、 变式1:如图1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,若∠BEC=70°,则∠A= 变式2: 如图3,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2,∠B =15° 求:AC 的长。 [变式练习1] 如图4,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 、若BC=2+2,AE=2, ∠B =22、5° 求:AC 的长、 例2: 如图 5,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N 、 (1) 求△AEN 的周长、 (2) 求∠EAN 的度数、 (3) 判断△AEN 的形状、 [变式练习3]:如图7,在△ABC 中, BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N 、 (1) 求△AEN 的周长、 (2) 求∠EAN 的度数、 [如图分线交BC 求练习 (1)如已,那 么(A)CD AB 垂直(C)CD 以上说法(2)如的交点正好在三角形的一条边上, 那么这个三角形就是( ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上都有可能 (3)在ABC ?中,AC AB =,AD 为角平分线,则有AD______BC (填⊥或//),=BD _____、 如果E 为AD 上的一点,那么=EB _______、 如果?=∠120BAC ,8=BC ,那么点D 到AB 的B C A E D 图1 A E D C B 图3 A E D C B 图4 A B C D E M N 图5 A C 图8
北师大版八年级数学下册 线段的垂直平分线教学设计教案
《3 线段的垂直平分线》教案 第1课时 教学目标 教学知识点： 经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理． 思维训练要求： 1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． 3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 情感与价值观要求： 1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重难点 教学重点：能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论． 教学难点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题并证明它． 教学过程 Ⅰ．创设现实情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ [生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上． [师]同学们认同他的看法吗？ [生]是的． [师]认为对的说说你的理由是什么呢？ [生]（回忆定理）我们以前曾学过线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成． [师]（边说边用折纸的方法再现定理）这位同学分析得很好，我们在七年级时研究过线段的
性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经像这样利用折纸的方法得到“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”这一简单事实，但是用这种观察的方式是很难说服别人的，你能用公理或学过的定理来证明这一结论吗？ 教师演示线段垂直平分线的性质： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． Ⅱ．讲述新课 [第一部分]线段垂直平分线的性质定理． [师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．那么如何证明呢？ [师]（引导） 问题一：①要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？ （强调）我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．（开始让学生有这样的数学思想） ②你能根据定理画图并写出已知和求证吗？ ③谁能帮老师分析一下证明思路？ [生]（思考回答） [师生共析] 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点． 求证：PA＝PB． 分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS)． ∴PA＝PB（全等三角形的对应边相等）． [第二部分]线段垂直平分线的判定定理． 教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现： 想一想： 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
线段的垂直平分线的性质和判定精选优秀练习
13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5， CD 边垂直平分线的交点 ，连接EC；则∠AEC等于（） F， ： 第1题图第2题图第5题图 第6题图第7题图第8题图 B
二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． 10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ． 11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________. 12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度． 13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm． 14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ． 15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ． 17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ． 18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度． 第10题图第12题图第13题图第14题图 第15题图第16题图第17题图第18题图 三、解答题（共5小题） 19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O． （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明． 20．如图，在△AB C中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长． 21.如图，已知：在ABC 中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.
线段的垂直平分线---知识讲解(提高)
线段的垂直平分线---知识讲解(提高) 【学习目标】 1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理. 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段AB 的垂直平分线. 作法： （1）分别以点A ，B 为圆心，以大于 2 1 AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线． 要点诠释： (1)作弧时的半径必须大于 2 1 AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释： 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释: