06-07概率论与数理统计 试卷A评分标准

山东经济学院2006~2007学年第二学期期末考试

《概率论和数理统计》试卷（A ）

评分标准

一、填空题(每小题3分)

1. 0.7;

2. 0.6;

3. 22

).exp{1/(2).[ln ]}0y y y σμ-->; 4. 4; 5. 53; 6. n/2; 7. (2)Φ二、计算题

1. 解：记 A:取得正品硬币； B ：投掷r 次，每次都得到国徽； 取{,}A A 作为样本空间的划分.

(|)(|)()/[(|)()(|)()P A B P B A P A P B A P A P B A P A =+ 1

.212.2r

r

r m m m n m n m n m n m n

+==++

++ 2. 解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为P ，

(/5)210

(1/5)x P e dx e +∞

--==?

注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为2

e -. 所以2~(5,)Y B e -，即

2255{}()(1)0,1,,5k

k k

P Y k C e e k ---==-=

25{1}1{0}1(1)P Y P y e -≥=-==--

3. 解：

(1) ||2

2

||21/(||)||()(,)0

a x a x X a dy a x x a f x f x y dy a

+∞

--∞

?=≤?==?????

其它 由对称性

||2

2||21/(2||)|/2()(,)0

a y a y Y a dx a

y y a f y f x y dx a

+∞

--∞

?=≤?==?????

其它 (2)

当||y a <

|||(,)(|)()0 X Y Y x a y f x y f x y f y ≤==?其它

4. 解：记取出的四只电子管寿命分别为1234,,,X X X X ，所求概率为P ，则

1234{min(,,,)180}P P X X X X =≥

44{180}[1{180}] 1,2,3,4i i P X P X i =≥=-≤= 4[1(1)]0.00063=-Φ=

5. 解：记圆盘面积为S ，圆盘直径为R ，则2

(1/4)S R π=， 由随机变量函数的数学期望的计算方法有

2

()(1/4)(1/)

b

a E S r

b a d r π=-? 22(/12)()b ab a π=++

三、解：

（1） 矩法估计量

()()| |x x x x x

E X xf x dx e

dx xe

e

dx

e μ

μ

μ

θ

θ

θ

μμ

μ

μ

θ

μθ

μθμθ

----

-

-

+∞

+∞

+∞∞

-∞

--+∞===-+=-=+?

?

?

2

2

2

2

222

()()|2 2()()x x x x E X x f x dx e

dx x e

xe

dx

μ

μ

μ

θ

θ

θ

μμ

μ

θ

μθμθμθθ----

-

-

+∞

+∞

+∞

∞

-∞

===-+=++=++?

?

?

令 222

2()()()()E X X

E X A μθμθθ?

=+=?

=++=? 解之得,μθ的矩法估计量:

?X μ=

?θ= （2） 极大似然估计

11

1

1

(,)exp{()}min{,,}n

i n n

i L x n x x μθμμθθ

==

--<∑

11

1

ln ln ()min{,,}n

i n i L n x n x x θμμθ

==---<∑

ln L n

μθ

?=?>0, 故ln L 是μ的递增函数，故1?min{,}n x x μ

= 由

ln 0L θ

?=?得 1?min{,,}n x x x θ=- ， 所以极大似然估计量为1?min{,}n X X μ= ，1?min{,,}n

X X X θ=- 四、证明：

由方差的计算公式有：2?()E θ

2?[()]E θ==?()D θ+2?[()]E θ， 再由?θ是θ的无偏估计可得：

2?()E θ

=2?()D θθ+ 易见当?()0D θ

>时，2

?θ2?()θ=不是2

θ的无偏估计. 五、解：构造检验统计量2

122S F S =，

当0H 为真时，2

11222~(1,1)S F F n n S =--,

当0H 不真而1H 为真时，由2222

1111222

22222/./S S F S S σσσσ==，即一个12(1,1)F n n --的统计量乘以一个小于1的数，2122S F S =有偏小的趋势. 所以当2

122S F S =偏小时我们拒绝0H 而接受1H ，

拒绝域的形式是:2

122S F K S =<.

由0H 为真时2

11222

~(1,1)S F F n n S =--确定常数K ，得拒绝域为：

2

111222

(1,1)S F F n n S α-=<--.