福建省清流一中2010届上学期期中考高三(数学理)

福建省清流一中2010届高三上学期期中考

数学（理科）试题

命题人：陈琛 审核人：林钟洲 金 中

（满分150分，时间120分钟）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）

1. 已知全集{}{}{}()=?===N M C ，N M U U 则3,2,2,1,0,4,3,2,1,0（ ）

。 A. {}2 B. {}3 C. {}432，， D. {}4321,0，，， 2. 方程lg 3x x =-的根所在的区间是（ ）。

A.（1，2）

B. （3，4）

C.（2，3）

D.（0，1）

3、若向量a 与b 的夹角为60

，4b = ，12a b ?= ，则向量a 的模是（ ）。

A ．2

B ．4

C ．6

D ．12 4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11

2

a =

，420S =，则6S =（ ）。 A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

5、若不等式0252

>-+x ax 的解集是}221

|{<-+-a x ax 的解集是（ ）。

A ．1

(2,)3- B ．1(,3)2

- C ．1(,2)3

- D ． 6、下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）。

A ．x y π2sin 21-=

B ．)

32(sin π

π+

=x y

C ．tan

2

y x π

= D ．x x y ππcos sin =

7、将函数y=sin(2x+6

π)(x ∈R)的图象上所有点向右平移3π

个单位(纵坐标不变)，则所得

到的图象的解析式是 ( ) 。

A ．y=－cos2x

B ．y=cos2x

C ．y=sin(2x+

65π) D ．y=sin(2x －6

π

)8、已知等比数列{}n a 中，n a 0>，199,a a 为方程2

10160x x -+=的两根，则405060..a a a =

（ ）。

A ．64

B ．32

C ．256

D ．64或-649、设函数f (x)在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图1所示，则导函数y ＝f '(x )可能为（ ）。

A

D

C

B

第（10）题

10．

为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输

信息．设定原信息

为012i a

a a a ，{0

1}∈，

（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，

例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）。

A ．11010

B ．01100

C ． 00011

D ．10111

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a

垂直，则λ是 。

12、

2

(2)x x e dx -=?

。

13、已知函数2log ,0,

()2,

0.

x

x x f x x >?=?

≤?若1

()2

f a =

，则a = 。 14、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西

75方向，与A 相距23海

上停泊D 处；乙船 位于灯塔B 的北偏西 60方向，与B 相距5

里的

的C 处，则两艘船之间的距离为 。

海里

A B C D 图1

15、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?且1k A +?，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

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数学（理科）答题卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11、 12、 13、 14、 15、

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本题满分13分）

设向量1)OQ =- ，向量(cos ,sin )OP αα=

，0απ≤<．

（1）若向量OP ⊥OQ

，求tan α的值；

（2）求PQ

的最大值及此时α的角。

17.（13分）若二次函数2()(0)f x ax x c a =+≠+b 满足(1)()2(0)1f x f x x f +-==且，（1）求()f x 的解析式； （2） 若在区间[-1,1]上，不等式()f x >2x+m 恒成立，求实数m 的取值范围。

18、（13分）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求)4

2sin(π

-A 的值。

19. （13分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-． （Ⅰ）求a ，b ，c 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间。

20、（14分）设数列{}n a 的前n 项和22n S n =，{}n b 为等比数列，且

11a b =,1122)(b a a b =-．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n

n n

a c

b =

求数列{}n c 的前n 项和Tn.

21（14分）

位于函数4

13

3+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以2

5

-为首项,1-为公差的等差数列{}n x .

(Ⅰ)求点n P 的坐标;

(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*

N 第n 条抛物线n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k , 求证:10

1

11113221<

+++-n n k k k k k k .

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数学（理科）参考答案

1-5CCCDD 6-10DAADD

2(11)1(12)5(13)114156e ---（（）

16解：（1）由于OP ⊥OQ

sin 0αα-=， ……………3分

显然cos 0α≠，两边同时除以cos α得，tan α= 6分

（2）由于PQ = ………………8分

即PQ =

PQ == ………………10分

由于0απ≤<，则2333

ππα-≤-<，

则32ππα-=，即56πα=时， ………………12分

PQ

最大值为3． ………………13分

17.解：22(1)(),(0)1,1,()1f x ax bx c f c f x ax bx =++=∴=∴=++设由

221

(1)()2,22,01

a a f x f x x ax a

b x a b b ==??+-=∴++=∴∴??

+==?? 2()1f x x x ∴=-+ ………………6分

2(2):12[1,1],x x x m -+>+-由题意在上恒成立 2310[1,1],x x m -+->-即在上恒成立 2()31[1,1]g x x x m x =-+-∈-设 ()[1,1](1)1310,1g x g m m ∴-∴=-+->∴<-在递减………………13分

18、解：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，A

BC

C AB sin sin =， 于是522sin sin ===BC A BC

C

AB 6分

（2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 222=5

5

2 8分

于是A A 2cos 1sin -==

5

5

， 10分

从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==

=A A A A A A 12分

102

4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=

-=-πππA A A 13分

19、解：（Ⅰ）∵()f x 为奇函数 ∴()()f x f x -=-

即3

3

ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c = …………………2分 ∵2'()3f x ax b =+的最小值为12-∴12b =- …………………3分 又直线670x y --=的斜率为

1

6

因此，'(1)36f a b =+=-……………5分 ∴2a =，12b =-，0c =． …………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：2'()6126(f x x x x =-=…………………9分令0)('

>x f 得： 22>

-

∴函数()f x 的单调增区间是(,-∞和)+∞ …………………11分令0)('

<-x

∴函数()f x 的单调减区间是()

2,2- …………………13分20、解：(1)由于S n =2n 2

,∴n =1时，a 1=S 1=2；

n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n 2-2(n -1)2=4n -2, ……………………4分

当n =1时也适合.∴a n =4n -2，∴b 1=a 1=2，b 2(6-2)=b 1=2，

∴b 2=2

1，∴b n =2·??

? ??41n-1

. ……………………8分

(2)c n =

n

n b a =(2n -1)·4n -1

，…………………… 9分 ∴T n =1+3·4+5·42

+…+(2n -1)·4n -1，∴4T n =4+3·42+…+(2n -3)·4n -1+(2n -1)·4n

， ∴-3T n =1+2·4+2·42

+…+2·4n -1-(2n -1)·4n

……………………12分

=1+2·4

144--n -(2n -1)·4n =365n -·4n -35，∴T n =95-965n -·4n

.…………14分

21、解: (Ⅰ)由于n P 的横坐标构成以2

5

-为首项,1-为公差的等差数列{}n x ,

故153

(1)(1)22

n x x n d n n =+-=---=--…………………..3分

又),(n n n y x P 位于函数4

13

3+=x y 的图象上,

所以y

4

53413)23(34133--=+--=+

=n n x n n . ………..5分 所求点),(n n n y x P 的坐标为()4

5

3,23----n n . ……….6分

2

证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2()n n n y a x x y =-+,即

235

()324

n y a x n n =++--.

由抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,于是有2

2

3

51()32

4

n n a n n +=+--. 由此可得2

35

1,()32

4

n a y x n n ==++--. ………9分 故32)23

(20

+=++='

===n n x y k x x n .

所以

)2)(3

21

121(21)32)(12(111≥+-+=++=

-n n n n n k k n

n , …….11分

于是

??

????+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n )3

2151(21+-=n . 故10

1)32151(2111113221<+-=+++-n k k k k k k n n …………………14分